（01）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「偽にはなり得ない」。
従って、
（01）により、
（02）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「命題」は、「恒に真」である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
という「命題」は、
（ⅰ）Ｐ＝真。Ｑ＝真。
（ⅱ）Ｐ＝真。Ｑ＝偽。
（ⅲ）Ｐ＝偽。Ｑ＝真。
（ⅳ）Ｐ＝偽。Ｑ＝偽。
に於いて、すなわち、
（ⅰ） Ｐ＆ Ｑ
（ⅱ） Ｐ＆～Ｑ
（ⅲ）～Ｐ＆ Ｑ
（ⅳ）～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、「恒に真」である。
然るに、
（04）
補題：任意の論理式に対する真理表テストの各行に対応して、導出可能な連式を書くことができる。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０７頁）
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）
Ｐ＆ Ｑ（１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
Ｐ＆ Ｑ（２） Ｐ １＆Ｅ
Ｐ＆ Ｑ（３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
Ｐ＆ Ｑ（４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
Ｐ＆ Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
Ｐ＆ Ｑ（６） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ５ド・モルガンの法則
Ｐ＆ Ｑ（７） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（ⅱ）
Ｐ＆～Ｑ（１） Ｐ＆～Ｑ Ａ
Ｐ＆～Ｑ（２） ～Ｑ １＆Ｅ
Ｐ＆～Ｑ（３） ～Ｑ∨Ｐ ２∨Ｉ
Ｐ＆～Ｑ（４） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ ３∨Ｉ
Ｐ＆～Ｑ（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ４結合法則
Ｐ＆～Ｑ（６） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ５ド・モルガンの法則
Ｐ＆～Ｑ（７） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ６含意の定義
（ⅲ）
～Ｐ＆ Ｑ（１）～Ｐ＆Ｑ Ａ
～Ｐ＆ Ｑ（２）～Ｐ １＆Ｅ
～Ｐ＆ Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
～Ｐ＆ Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆ Ｑ（５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
～Ｐ＆ Ｑ（６） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ５含意の定義
（ⅳ）
～Ｐ＆～Ｑ（１）～Ｐ＆～Ｑ Ａ
～Ｐ＆～Ｑ（２） ～Ｑ １＆Ｅ
～Ｐ＆～Ｑ（３）～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（４）～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
～Ｐ＆～Ｑ（５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｐ ４∨Ｉ
～Ｐ＆～Ｑ（６） Ｐ＆Ｑ→Ｐ ５含意の定義
といふ「計算」は、４つとも、「正しい」。
然るに、
（06）
「プログラミング」の「二重ループ」に倣って、
Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」してから、
～Ｐで、（Ｑ∨～Ｑ）を「計算」するならば、
（１） Ｐ∨～Ｐ 排中律（ＴＩ）
２ （２） Ｐ Ａ
（３） Ｑ∨～Ｑ 排中律（ＴＩ）
４ （４） Ｑ Ａ
２４ （５） Ｐ＆ Ｑ ２４＆Ｉ
２４ （６） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅰ）による。
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ ７ （８） Ｐ＆～Ｑ ２７＆Ｉ
２ ７ （９） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅱ）による。
２ （ア） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ ３４６７９∨Ｅ
イ（イ） ～Ｐ Ａ
４ イ（ウ）～Ｐ＆ Ｑ イ４＆Ｉ
４ イ（エ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅲ）による。
７イ（オ）～Ｐ＆～Ｑ イ７＆Ｉ
７イ（カ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ （ⅳ）による。
イ（キ） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ ３４エ７カ∨Ｅ
（ク） Ｐ＆ Ｑ→Ｐ １２アイキ∨Ｅ
然るに、
（06）により、
（07）
この例から、どうして一般に∨Ｅの適用によって、論理式Ａが依存する仮定の数が次第に減って行き、排中律の代入例が最後に用いられるときには、全く仮定が残らなくなる（仮定の数がゼロになる）かということが明らかになるはずである。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１１３頁）
然るに、
（08）
定理とは、仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（03）～（08）により、
（09）
例へば、
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝女性である。
として、
① Ｐ＆Ｑ→Ｐ
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
という「トートロジー（恒真命題）」に関して、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、１０４頁）
といふ『メタ定理』は、「正しい」。
然るに、
（10）
わざわざ、「このやうな証明」をしなくとも、
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことは、「直観的に、明らかである」。
然るに、
（11）
といふよりも、
特に第２章の第５節は、本書の他の部分よりも遥かに難しい（good deal more difficult）。
普通の読者（the ordinary reader）はとばす（つまり早く読み通す）のが賢明であろう。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、昭和４８年、６４頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（日本人の女性である）ならば日本人である。
といふ「命題」が「偽」になり得ないことを、
メタ定理Ⅱ：すべてのトートロジー的論理式は、定理として導出可能である。
といふ『メタ定理』として「理解」することは、「普通の人には、かなり難しい」。