iPhoneにIMAPでメールを読み込んだ場合、メールの削除が出来ないことがありました。
メールアプリで、不要なメールを削除すると画面から消えるものの、削除できなかったというダイアログが表示され、後でまた消したかったメールが復活するのです。
メールを迷惑メールに移動するときも同様でした。
私の場合、メールサーバはさくらインターネットを使っています。
さくらのWEBメール画面では、受信箱、下書き、送信済み、ゴミ箱、迷惑メールという５つのフォルダが存在します。
そして、iPhoneのメールアプリ上では、受信箱、下書き、送信済み、迷惑メール、ゴミ箱というフォルダが見えます。
このメールアプリ上のフォルダは、アカウント設定で個別にフォルダを指定しています。これが標準では、iPhone内部のフォルダに設定されており、これが移動できない原因となっています。
これらをiPhoneのメールアカウントの詳細（メールボックスの特性）から開いて見ると、上記のさくらの標準フォルダはDraft（下書き）、Sent（送信済み）、Trash（ゴミ箱）、spam（迷惑メール）と表示されます。
そして、これとは別にDrafts（下書き）、Sent Messages（送信済み）、Junk（迷惑メール）、Deleted Messages（ゴミ箱）というフォルダがありました。これらがいつできたものかは不明です。私個人の２つのアカウントには存在しましたが、他の家族のアカウントには存在しません。iPhoneとは無関係かと思われますし、削除しました。
サーバ上にはあるこれらフォルダを指定すると、メールの処理をWEBメールと共有することができるようになります。
それでは、以下に具体的な設定手順を示します。
設定＞メール/連絡先/カレンダー＞アカウント（変更したいアカウントを１つ選ぶ）＞IMAP「アカウント」
ダイアログが開いたらその一番下にある「詳細」をタップします。
【受信設定】
IMAPパス接頭辞にINBOXを指定します。これがないと、サーバ上のフォルダが見えません。ここはプロバイダによって設定が違うかもしれません。
【メールボックスの特性】
削除済メールボックスで、サーバ上のTrashを選びます。
標準ではiPhoneのゴミ箱になっています。これが削除できない要因です。
下書き、送信済みについてもサーバ上のフォルダを設定しておくと良いでしょう。
迷惑メールについては設定はなく、標準のフォルダが適用されていました。
アーカイブは特に必要ありません。