【第25回 数学カフェ】公理的集合論入門
二日目の講義はよく理解できていなかったので、Wikipediaを多数引用しています。
【一日目】
歴史的に見てまず素朴集合論があった。
カントールは超限数（数は無限だけど集まりとして確定している無限（自然数、実数））と無限（確定していない絶対的無限）を発見した。
集合Xの冪集合（部分集合全体の集合）P(x)はｘより濃度が大きいことから最大の濃度は存在しない。
これを超限と呼ぼうとカントールは言った。
公理的集合論の動きは、ラッセルのパラドックスから始まったと言って良い。
ツェルメロはヒルベルトの影響を受け公理的集合論の構築を試みる。
公理的集合論を定義するために、まずは純粋集合（pure set）の定義から始める。
pure setとは文字（x,y,z）を見たら全て集合と思うことにし、
・空集合はpure set
・集合xの全ての要素がpure setならxもpure set
・pure setの要素もpure set、pure setの部分集合もpure set
と定め、公理論的集合論をpure setの世界の理論に血統書付き！を加えたものである。
ここでpure setからクワイン集合などの集合は除く必要があるため、公理論的集合論では言語をfixしなければならない。
つまり形式言語にしておく必要がある。
まずは記号を変数、述語記号（=,∍）、論理記号（∧,∨、→、￢）、量化記号（∃、∀）と定める。
また４つの条項からなる構文を定める。
① ｘ∊y 、x=yは論理式（原子論理式）
② Φ、Ψが論理式であるなら、(Φ)∧(Ψ)、(Φ)∨(Ψ)、(Φ)→(Ψ)、￢(Φ)も論理式
③ Φが論理式でxが変数の時、∃x(Φ)、∀x(Φ)も論理式
④ 排他条項（①～③から構成されるもののみを論理式という）
ここまででコンピュータが構文解析できるレベルに達している。
そして公理として以下を定義することにより、血統書付きの公理的集合論（ZFC）を展開できる。
①外延性
素朴集合論の意味での等号を定義する公理。
②分離公理（図式）
y={z∊x | φ(z)}の存在性を定義する公理。
③対の公理
任意の二つの元に対し、それら二つのみを要素とする集合（対、pair）が存在することを主張する公理。
④和集合の公理
任意の集合に対し、その要素の要素全体からなる集合の存在を主張する公理。
この時点で積集合、差集合も導ける。
⑤冪集合の公理
集合の冪集合が作れる公理。
この時点でクラフトスキーの順序対により直積集合が定義できる。
⑥無限集合の公理
「無限集合の存在」を主張する公理。この公理でペアノの公理を満たす自然数が定義できる。
⑦置換公理図式
Fが(真のクラスかもしれない)関数でXが集合ならば, その像F(X)も集合になる公理。
F(X)の像はXよりも大きくはなりえず、集合となります。この公理でωより大きい集合が定義できる。
⑧基礎の公理
この公理で無限に下がっていく集合が取れてしまうことを禁止できる。クワイン集合はここではじかれる。
⑨選択公理
どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができる公理。
この後、ZFCを使用して連続体仮説の独立性証明のための準備である証明不可能ということの定義を紹介。
ここで公理とターゲットの命題の否定を満たす「構造」（モデル）をなんとかして作るのが独立性証明の方法論らしい。
【二日目】
整列集合（wellordered set =W.O）の定義
整列順序を備えた集合のことをいう。
ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。
比較定理
２つのW.Oが同型でなければ、一方が他方の切片と同型となる定理。
超限帰納法
順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。
自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。αで証明は、番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない。
超限帰納的定義
厳密な定義は述べないが、プログラミングでいう関数の再帰呼び出しにあたるものと思えばよい。
順序数（ordinary number）の定義
整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数を拡張させた概念である。
どんな整列集合もそれぞれただひとつの順序数と同型となる。これを順序型と呼ぶ。
順序数全体は集合ではない（パラドックスが生じる）。
整礎的集合（well-founded set）の定義
空集合に和集合演算やべき集合演算などの集合演算を繰り返し施すことにより得られる集合である。
これにより順序数の算術が定義できる。
整礎的集合 x に対して、x ∈ Vα + 1 をみたす最小の順序数 α を x の階数（rank）といい、これを rank(x) で表す。
基礎の公理によって全ての集合がrankをもつ。これは要素・包含関係に関わらず条件式で評価できる。
これにより∊に対する帰納法が言え、再帰的定義ができる。
基数の定義
基数(きすう、cardinal number)とは、集合の濃度を測るためのものとしての自然数の一般化である。
有限集合の濃度は、つまり有限集合の要素の個数は自然数である。無限集合のサイズは、超限基数で記述される。
濃度は全単射をもちいて定義される。2つの集合が等しい濃度を持つとは、その集合の間に全単射が存在するということである。
有限集合の場合は、直感的概念に同意できる。
無限集合の場合は、振る舞いは複雑になる。
カントールが示した基礎的な理論は無限集合の濃度は1種類だけではないことを示した。
特に、実数の集合の濃度は自然数の集合の濃度より真に大きいということを示した（カントールの定理）。
基数の超限列（ℵ系列）が存在する。
連続体仮説とは、アレフゼロと連続体濃度の間には基数が存在しないという命題を指す。命題は、ZFCから独立であることが証明されている。
ゲーテルはZFC集合から連続体仮説の否定は導くことができないことを証明し、コーエンはZFC集合から連続体仮説を導くことができないことを証明した。
講義では、コーエンの証明のアウトラインの説明があったが、私の理解の範囲を超えていた。
与えられたZFCの公理系の有限個の列を見て、その中から上手いこと有限個の公理を選ぶ。（ε-δ論法に似ている）
ここでモデル理論やジェネリック拡大、強制法を用いて証明する。
ここで力尽きた。
所感
とりあえず連続体仮説の証明方法のニュアンスだけは感じ取ることはできたかなあって思う。
これから集合論を学ぶモチベーションが高まった。
