数学カフェ初参加「数論幾何」
今日は朝早く起きて勉強し、午後の数学カフェに参加するため、駒場東大前駅まで移動。昼飯を食し、１２：３０頃に会場へ（開始は１３：００～）。数学カフェ初参加です。今日のお題は「数論幾何」で、ありさんという方がヴェイユ予想について時間の限り話すという、ちょっと豪快な会でした。
お話の流れは、以下の３部構成でした。
１．代数多様体の定義
２．楕円曲線の定義
３．ヴェイユ予想の証明
代数多様体の定義では、アフィン代数多様体からイデアルで商環を作り、イデアルから構成される代数多様体を定義。またイデアルから生成系にもつsmoothの定義。そしてそれを射影代数多様体まで拡張して、局所化を行ってsmoothな準同型（射）を定義。その後ももろもろの定義を行って何とかリーマン・ロッホの定義までたどり着く。（とりあえず詳細な内容は、Ｍｅが今読んでいる「代数曲線入門 はじめての代数幾何」梶原健著に同様の内容が書かれている（と思う）。）
その後、楕円曲線の定義を行い、楕円曲線の代数式が生成される過程を追い、群構造が入るところまで説明あり。（これも「代数曲線入門 はじめての代数幾何」梶原健著に同様の内容が書かれている。）ここから分からなくなるのだが、楕円曲線にガロア作用する自己同型群やフロベニウス写像が出てきて、「Tate Module」なるものが出てくる。（この「Tate Module」で圏論の極限が出てくる。）
ヴェイユ予想は上記過程から楕円曲線上では一気に計算できて、証明が終わる。（どうもフロベニウス写像がキーポイントらしい。）これを楕円曲線ではなく一般の代数多様体で証明しようとするとグロダンディークが考案した「エターナル・コホモロジー」が出てくるらしい。
とりあえずここで講義は終わる。まあ、はっきり言って、ほとんど理解はできなかかったけど、雰囲気は熱気に満ちていて向学意欲を掻きたてるものだった。５時間超に及ぶ講義だったけど、あまり長くは感じなかった。自分の進んでいる方向も間違ってはいなかった。これからは挫けずに「代数曲線入門」を粘って読もう。
しかしこの流れで行くと、明後日土曜日に開催される数学カフェ「圏論２」では半分は「エターナル・コホモロジー」の話が出てくる気がして恐い。「エターナル・コホモロジー」が出てきたら、Ｍｅは玉砕です。全然分かりましぇーん。（泣）
後記
今日の進捗。
・「数学のかんどころ９ 不等式」（P.72/183読了）
・「代数学２ 環と体とガロア理論」（P.68/293読了）
・「圏論 原著第２版」（P.226/344読了）
・「代数曲線入門」（P.81/314読了）
・「天に向かって続く数」（P.96/214読了）
・「圏論の歩き方」（P.90/289読了）
続後記
今年初めて柿を食べました。
今日は朝早く起きて勉強し、午後の数学カフェに参加するため、駒場東大前駅まで移動。昼飯を食し、１２：３０頃に会場へ（開始は１３：００～）。数学カフェ初参加です。今日のお題は「数論幾何」で、ありさんという方がヴェイユ予想について時間の限り話すという、ちょっと豪快な会でした。
お話の流れは、以下の３部構成でした。
１．代数多様体の定義
２．楕円曲線の定義
３．ヴェイユ予想の証明
代数多様体の定義では、アフィン代数多様体からイデアルで商環を作り、イデアルから構成される代数多様体を定義。またイデアルから生成系にもつsmoothの定義。そしてそれを射影代数多様体まで拡張して、局所化を行ってsmoothな準同型（射）を定義。その後ももろもろの定義を行って何とかリーマン・ロッホの定義までたどり着く。（とりあえず詳細な内容は、Ｍｅが今読んでいる「代数曲線入門 はじめての代数幾何」梶原健著に同様の内容が書かれている（と思う）。）
その後、楕円曲線の定義を行い、楕円曲線の代数式が生成される過程を追い、群構造が入るところまで説明あり。（これも「代数曲線入門 はじめての代数幾何」梶原健著に同様の内容が書かれている。）ここから分からなくなるのだが、楕円曲線にガロア作用する自己同型群やフロベニウス写像が出てきて、「Tate Module」なるものが出てくる。（この「Tate Module」で圏論の極限が出てくる。）
ヴェイユ予想は上記過程から楕円曲線上では一気に計算できて、証明が終わる。（どうもフロベニウス写像がキーポイントらしい。）これを楕円曲線ではなく一般の代数多様体で証明しようとするとグロダンディークが考案した「エターナル・コホモロジー」が出てくるらしい。
とりあえずここで講義は終わる。まあ、はっきり言って、ほとんど理解はできなかかったけど、雰囲気は熱気に満ちていて向学意欲を掻きたてるものだった。５時間超に及ぶ講義だったけど、あまり長くは感じなかった。自分の進んでいる方向も間違ってはいなかった。これからは挫けずに「代数曲線入門」を粘って読もう。
しかしこの流れで行くと、明後日土曜日に開催される数学カフェ「圏論２」では半分は「エターナル・コホモロジー」の話が出てくる気がして恐い。「エターナル・コホモロジー」が出てきたら、Ｍｅは玉砕です。全然分かりましぇーん。（泣）
後記
今日の進捗。
・「数学のかんどころ９ 不等式」（P.72/183読了）
・「代数学２ 環と体とガロア理論」（P.68/293読了）
・「圏論 原著第２版」（P.226/344読了）
・「代数曲線入門」（P.81/314読了）
・「天に向かって続く数」（P.96/214読了）
・「圏論の歩き方」（P.90/289読了）
続後記
今年初めて柿を食べました。
