（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｑ∨～Ｑ Ａ
４ （４） Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１４ （６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ５∨Ｉ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ ７（８） Ｐ＆～Ｑ ２７＆Ｉ
１ ７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ３４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｑ ２＆Ｅ
２ （５） Ｑ∨～Ｑ ４∨Ｉ
２ （６）Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） ３５＆Ｉ
７（７） Ｐ＆～Ｑ Ａ
７（８） Ｐ ７＆Ｅ
７（９） ～Ｑ ７＆Ｅ
７（ア） Ｑ∨～Ｑ ９∨Ｉ
７（イ） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） ８ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） １２６７イ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｑ ３４ＭＰＰ
２ （６） Ｑ ２＆Ｅ
２３ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８）～（Ｐ→～Ｑ） ３７ＲＡＡ
２ （９）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ア（イ）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ア∨Ｉ
１ （ウ）～（Ｐ→～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） １２９アイＥ
１ （エ） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） ウ含意の定義
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ＆～Ｑ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆ Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ８∨Ｉ
ア（ア） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ア（イ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） ア∨Ｉ
１ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） １７９アイ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）
②（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）
③（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
１（２） Ｐ １ＵＥ
（３）｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ １２ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
４（４） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４（５） Ｐ ４＆Ｅ
１ （６） Ｐ １２３４５∨Ｅ
（７）｛（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ １６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２（４） Ｐ→～Ｑ ３含意の定義
１２（５） Ｐ＆～Ｑ １４ＭＰＰ
１２（６） Ｐ ５＆Ｅ
１２（７） ～Ｐ＆Ｐ ２６＆Ｉ
１ （８）～～Ｐ ２７ＲＡＡ
１ （９） Ｐ ８ＤＮ
（ア）｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ １９ＣＰ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
③｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらは、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝学生である。
Ｑ＝男子である。
～Ｑ＝女子である。
として、
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
これらの「命題」は、「真」である。
然るに、
（09）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
といふ「命題」が、「真」であることは、「当然」である。
然るに、
（10）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
であるならば、
① 男子学生も、女子学生も、学生である。
② 男子学生も、女子学生も、学生である。
と言ってゐるものの、
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
の場合は、
③ 女子学生だけに、言及してゐて、男子学生には、言及がない。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
①｛学生であって（男子か、女子）である｝ならば、学生である。
②｛（男子学生）か、（女子学生）である｝ならば、学生である。
③｛（学生ならば、女子である）ならば、（女子学生）である｝ならば、学生である。
に於いて、
［①＝②＝③］ であって、尚且つ、
これらの「命題」は、「真」である。
といふことは、「論理的」には、「正しい」ものの、「日本語」としては、
［①＝②］≠③ であるとしか、思へない。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ｛Ｐ＆（Ｑ∨～Ｑ）｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆ Ｑ）∨（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
といふ「論理式」は、そうではないが、
③｛（Ｐ→～Ｑ）→（Ｐ＆～Ｑ）｝→Ｐ
といふ「論理式」は、「背理的（paradoxical）」であると、言はざるを得ない。