（01）
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
（02）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
（03）
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→ 動物ａ １ＵＥ
４（４） ～動物ａ＆象ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
４（７） ～動物ａ ４＆Ｅ
１ ４（８） 動物ａ＆～動物ａ ６７＆Ｉ
１２ （９） 動物ａ＆～動物ａ ２４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ） ２９ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（06）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝ Ａ
１ （３） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
４（４） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆象ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３５ＭＰＰ
４（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１ ４（８）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６７＆Ｉ
１２ （９）∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２４８ＥＥ
１ （ア）～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝ ２９ＲＡＡ
従って、
（06）により、
（07）
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（08）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（10）
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ３Ｄｆ．⇔
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→象ａ ４＆Ｉ
６ （６） ～象ａ Ａ
７ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
１ ７ （８） 象ａ ５７ＭＰＰ
１ ６７ （９） ～象ａ＆象ａ ６８＆Ｉ
１ ６ （ア） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ７９ＲＡＡ
１ ６ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
１ ６ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） イ交換法則
エ （エ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
エ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ量化子の関係
カ （カ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
カ （キ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） カ含意の定義
カ （ク） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ キ、ド・モルガンの法則
カ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） クＥＩ
エ （コ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エカケＥＥ
エ （サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） コ∨Ｉ
シ （シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
シ （ス） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） シ量化子の関係
シ （セ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） スＵＥ
シ （ソ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ セ、ド・モルガンの法則
シ （タ） 鼻ｂａ→～長ｂ ソ含意の定義
シ （チ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） タＵＩ
シ （ツ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） チ∨Ｉ
１ ６ （テ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ウエサシツ∨Ｅ
１ （ト） ～象ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６テＣＰ
２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
ニ（ニ） 兎ａ Ａ
２ ニ（ヌ） ～象ａ ナニＭＰＰ
１２ ニ（ネ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） トヌＭＰＰ
１２ （ノ） 兎ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ニネＣＰ
１２ （ハ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ ノＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
従って、
（04）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）├ ～∃ｘ（～動物ｘ＆象ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝├ ～∃ｘ（～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆象ｙ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝├ ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝，∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）├ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）∨∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「推論」、すなはち、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
① 象は動物である。
② 象は、鼻は長い。
③ 象は、鼻が長い。
④ 象が、鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」が、「正しく」はないのであれば、
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（15）
① 象は動物である。従って、動物でない象は、存在しない。
② 象は鼻は長い。従って、鼻が長くない象は、存在しない。
③ 象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
④ 象が鼻が長い。然るに、兎は象ではない。従って、兎は、鼻以外（耳）が長いか、鼻が長くないか、または、その両方である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「否定否定式（ＭＴＴ）」により、
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻は長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
③ 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ 象が、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「等式」は、「正しい」。