（01）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １量化子の関係
３（３） ～（象ａ→動物ａ） Ａ
３（４） ～（～象ａ∨動物ａ） ３含意の定義
３（５） 象ａ＆～動物ａ ４ド・モルガンの法則
３（６）∃ｘ（象ａ＆～動物ａ） ３ＥＩ
１ （７）∃ｘ（象ａ＆～動物ａ） １３６ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
２（２） 象ａ＆～動物ａ Ａ
２（３）～（～象ａ∨ 動物ａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（象ａ→動物ａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １２５ＥＥ
１ （７）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ６量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
②（象であって、動物でないｘ）は存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① 象は動物である。
② 動物でない象はゐない（無三象而非二動物一）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
３ （４） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３ド・モルガンの法則
５ （５） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ Ａ
５ （６）～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ５含意の定義
５ （７） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６ド・モルガンの法則
５ （８） 象ａ ７＆Ｅ
５ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
５ （ア） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
５ （イ） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） アＵＥ
５ （ウ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ イ、ド・モルガンの法則
５ （エ） 鼻ｂａ→～長ｂ ウ含意の定義
５ （オ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） エＵＩ
５ （カ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ８オ＆Ｉ
５ （キ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） カ∨Ｉ
ク （ク） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
ク （ケ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク量化子の関係
コ（コ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） Ａ
コ（サ） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） コ含意の定義
コ（シ） （～鼻ｃａ＆長ｃ） サ、ド・モルガンの法則
コ（ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） シＥＩ
ク （セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） クコスＥＥ
ク （ソ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） セ∨Ｉ
３ （タ） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４５キクソ∨Ｅ
３ （チ） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ １３チＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
３ （３） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
３ （４） 象ａ ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ３＆Ｅ
３ （６） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
３ （７） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
３ （８） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ７ド・モルガンの法則
３ （９） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ８ＵＩ
３ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９量化子の関係
３ （イ） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４ア＆Ｉ
３ （ウ） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ イ、ド・モルガンの法則
３ （エ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ウ含意の定義
３ （オ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エ∨Ｉ
カ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） Ａ
キ（キ） ～鼻ｃａ＆長ｃ Ａ
キ（ク） ～（鼻ｃａ∨～長ｃ） キ、ド・モルガンの法則
キ（ケ） ～（～鼻ｃａ→～長ｃ） ク含意の定義
キ（コ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケＥＩ
カ （サ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） カキコＥＥ
カ （シ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） サ量化子の関係
カ （ス） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） シ∨Ｉ
２ （セ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３オカス∨Ｅ
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ セ、ド・モルガンの法則
２ （タ） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ） ∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ） ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チ量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
従って、
（07）により、
（08）
① ～～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
②｛ｘが象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻ならば、ｙが長くない）か、または、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、長い）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
②｛ｘが象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻ならば、ｙが長くない）か、または、あるｚが（ｘの鼻ではなくて、長い）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
といふことは、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
（11）
Ｑ：象で長いのは、どこか？
Ａ：象は鼻が長い。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
② 象は鼻は長い。⇔
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でなならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（04）（05）（12）により、
（13）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象は、鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（13）により、
（14）
① 象は・・・・・≡すべてのｘについて（ｘが象ならば、・・・・・
② 象は・・・・・≡すべてのｘについて｛ｘが象ならば、・・・・・
といふ「等式」が、成立する。