（01）
①（集合Ａが集合Ｂの部分集合である）ならば、そのときに限って（集合Ａと集合Ｂの和集合は、集合Ｂに等しい）。
②（集合Ａが集合Ｂの部分集合である）ならば、そのときに限って（集合Ａと集合Ｂの積集合は、集合Ａに等しい）。
といふ「命題」は、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」で、表すことが出来る。
然るに、
（02）
Ａ＝ｘは集合Ａの要素である（ｘ∈Ａ）。
Ｂ＝ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ｂ）。
Ａ∨Ｂ＝ｘは集合Ａの要素であるか、または、ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ａ∨ｘ∈Ｂ）。
Ａ＆Ｂ＝ｘは集合Ａの要素であって、その上、ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ａ∨ｘ∈Ｂ）。
Ａ→Ｂ＝ｘが集合Ａの要素であるならば、 ｘは集合Ｂの要素である（ｘ∈Ａ→ｘ∈Ｂ）。
とするならば、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」は、
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理の式」に、「相当」する。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１） Ａ→Ｂ 仮定
２ （２） Ａ∨Ｂ 仮定
３ （３） Ａ 仮定
１ ３ （４） Ｂ １３ＭＰＰ
５ （５） Ｂ 仮定
１２ （６） Ｂ ２３４５５∨Ｅ
１ （７） Ａ∨Ｂ→Ｂ ２６ＣＰ
８ （８） Ｂ 仮定
８ （９） Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
（ア） Ｂ→Ａ∨Ｂ ８９ＣＰ
１ （イ）（Ａ∨Ｂ→Ｂ）＆
（Ｂ→Ａ∨Ｂ） ７ア＆Ｉ
１ （ウ） Ａ∨Ｂ⇔Ｂ イＤｆ.⇔
（エ）（Ａ→Ｂ）→（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ） １ウＣＰ
オ （オ） Ａ∨Ｂ⇔Ｂ 仮定
オ （カ）（Ａ∨Ｂ→Ｂ）＆
（Ｂ→Ａ∨Ｂ） オＤｆ.⇔
オ （キ） Ａ∨Ｂ→Ｂ カ＆Ｅ
ク（ク） Ａ 仮定
ク（ケ） Ａ∨Ｂ ク∨Ｉ
オク（コ） Ｂ キケＭＰＰ
オ （サ） Ａ→Ｂ クコＣＰ
（シ）（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）→（Ａ→Ｂ） オサＣＰ
（ス）（Ａ→Ｂ）→（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）＆
（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）→（Ａ→Ｂ） エシ＆Ｉ
（セ）（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ） スＤｆ.⇔
（ⅱ）
１ （１） Ａ→Ｂ 仮定
２ （２） Ａ＆Ｂ 仮定
２ （３） Ｂ ２＆Ｅ
（４） Ａ＆Ｂ→Ｂ ２３ＣＰ
５ （５） Ａ 仮定
１ ５ （６） Ｂ １５ＭＰＰ
１ ５ （７） Ａ＆Ｂ ５６＆Ｉ
１ （８） Ａ→Ａ＆Ｂ ５７ＣＰ
１ （９）（Ａ＆Ｂ→Ａ）＆
（Ａ→Ａ＆Ｂ） ４９＆Ｉ
１ （ア） Ａ＆Ｂ⇔Ａ ９Ｄｆ.⇔
（イ）（Ａ→Ｂ）→（Ａ＆Ｂ⇔Ａ） １アＣＰ
ウ （ウ）（Ａ＆Ｂ⇔Ａ） Ａ
ウ （エ）（Ａ＆Ｂ→Ａ）＆
（Ａ→Ａ＆Ｂ） ウＤｆ.⇔
ウ （オ） Ａ→Ａ＆Ｂ エ＆Ｅ
カ（カ） Ａ Ａ
ウカ（キ） Ａ＆Ｂ オカＭＰＰ
ウカ（ク） Ｂ キ＆Ｅ
ウ （ケ） Ａ→Ｂ カクＣＰ
（コ）（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）→（Ａ→Ｂ） ウケＣＰ
（サ）（Ａ→Ｂ）→（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）＆
（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）→（Ａ→Ｂ） イコ＆Ｉ
（シ）（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ） サＤｆ.⇔
従って、
（03）により、
（04）
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理式」に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理式」に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であるが故に、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」に於いても、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であるに、違ひない。
然るに、
（06）
練習２ Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∪Ｂ＝Ｂ，また、Ａ⊆Ｂ⇔Ａ∩Ｂ＝Ａ を証明せよ。
（数研出版、チャート式 基礎からの確率・統計、初版 昭和４２年、１３頁）
然るに、
（05）（06）により、
（07）
「証明せよ」といふ「練習問題」がある以上、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合の式」は、二つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
「集合はクラスの特別の種類のものであると解釈される（E.J.レモン著、石橋新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年、序論）。」
「実際、その第一の段階において、クラスの理論は命題計算よりも難しいものではなく、また、以下に見られる通り、それは密接な類似性をもっている（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２５９頁）。」
従って、
（05）～（08）により、
（09）
①（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ∨Ｂ⇔Ｂ）
②（Ａ→Ｂ）⇔（Ａ＆Ｂ⇔Ａ）
といふ「命題論理式」と、
①（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∪Ｂ＝Ｂ）
②（Ａ⊆Ｂ）⇔（Ａ∩Ｂ＝Ａ）
といふ「集合（クラス）の式」には、「密接な類似性（close resemblance）」がある。
然るに、
（10）
因みに、
（ａ）「E.J.レモン著、石橋新・高橋敬吾 訳、公理的集合論入門、1972年」
（ｂ）「E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、 1973年」
を「比較」すると、私にとっては、
（ａ）の方が、「格段に難しい」。
（11）
「高校数学」で「集合」と言へば、『ベン図』であるが、
「E.J.レモン著、公理的集合論入門、1972年」には、『ベン図』は、全く登場しない。
（12）
例題１ 分配法則 （Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ） を証明せよ。
（数研出版、チャート式 基礎からの確率・統計、初版 昭和４２年、１２頁）
の「解答」は、
といふやうな『ベン図』で示される。
（13）
（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）
といふ「集合の式」を、
（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ⇔（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）
と書くと、「見た瞬間に、そんなの当然」である。
ｃｆ.
（ⅰ）
１ （１）（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ 仮定
１ （２） Ａ∨Ｂ １＆Ｅ
１ （３） Ｃ １＆Ｅ
４ （４） Ａ 仮定
１４ （５） Ａ＆Ｃ ３４＆Ｉ
１４ （６）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ） ５∨Ｉ
７（７） Ｂ 仮定
１ ７（８） Ｂ＆Ｃ ３７＆Ｉ
１ ７（９）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ） ８∨Ｉ
１ （ア）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ） ２４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ） 仮定
２ （２）（Ａ＆Ｃ） 仮定
２ （３） Ａ ２＆Ｅ
２ （４） Ａ∨Ｂ ３∨Ｉ
２ （５） Ｃ ２＆Ｅ
２ （６）（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ ４５＆Ｅ
７（７） Ｂ＆Ｃ 仮定
７（８） Ｂ ７＆Ｅ
７（９） Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
７（ア） Ｃ ７＆Ｅ
７（イ） （Ａ∨Ｂ）＆Ｃ ９ア＆Ｉ
１ （ウ）（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ １２６７イ∨Ｅ
従って、
（09）～（13）により、
（14）
（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）
といふ「集合の式」を、
（Ａ∨Ｂ）＆Ｃ⇔（Ａ＆Ｃ）∨（Ｂ＆Ｃ）
といふ「命題論理の式」は、「密接な類似性（close resemblance）」があるため、
（Ａ∪Ｂ）∩Ｃ＝（Ａ∩Ｃ）∪（Ｂ∩Ｃ）
といふ「等式（集合の分配法則）」を「証明」する際に、『ベン図』は「不要」である。
（16）
「数学」⇒「論理」⇒「集合」。
といふ「連想」からすると、
「集合論は、数学者によって、さぞかし重んじられてゐるのだらう。」
と思ってゐたものの、
