算額（その1063）

算額（その1063）

九十五 大船渡市猪川町長谷堂 気仙長谷寺 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

外円内に円弧を 2 個，甲円を 3 個，乙円を 4 個，丙円を 2 個容れる。丙円の直径が 8 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

注：山村の図では中央に楕円と見紛うものが描かれているが，「問」のとおり，「円内隔弧」は 2 本の弧である。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, y2)
丙円の半径と中心座標を r3, (r1 + r3, 0)
弧がその一部分である円の半径と中心座標を r0, (r1 - r0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

なお，SymPy の能力上そのままでは解けないので，まず eq5 を解いて，r0 = 5r1 を eq1, eq2 に代入し，4 元連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r0::positive, r1::positive,
     r2::positive, x2::positive, y2::positive,
     r3::positive
R = 3r1
eq1 = x2^2 + (y2 - r1 + r0)^2 - (r0 + r2)^2 |> expand
eq2 = (r1 + r3)^2 + (r1 - r0)^2 - (r0 - r3)^2 |> expand
eq3 = x2^2 + y2^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq4 = x2^2 + (R - r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq5 = R^2 + (r1 - r0)^2 - r0^2 |> expand;

ans_r0 = solve(eq5, r0)[1]
ans_r0 |> println

   5*r1

eq1 = eq1(r0 => ans_r0)
eq1 |> println

   -9*r1^2 - 10*r1*r2 + 8*r1*y2 - r2^2 + x2^2 + y2^2

eq2 = eq2(r0 => ans_r0)
eq2 |> println

   -8*r1^2 + 12*r1*r3

res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r1, r2, x2, y2))[1]

   (3*r3/2, 9*r3/8, 9*sqrt(5)*r3/8, 9*r3/4)

乙円の半径 r2 は丙円の半径 r3 の 9/8 倍である。
丙円の直径が 8 寸のとき，乙円の直径は 9 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   r3 = 4;  r1 = 6;  r2 = 4.5;  x2 = 10.0623;  y2 = 9;  r0 = 30

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r3 = 8/2
   (r1, r2, x2, y2) = (3*r3/2, 9*r3/8, 9*sqrt(5)*r3/8, 9*r3/4)
   r0 = 5r1
   R = 3r1
   @printf("丙円の直径が %g のとき，乙円の直径は %g である。\n", 2r3, 2r2)
   @printf("r3 = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g;  y2 = %g;  r0 = %g\n", r3, r1, r2, x2, y2, r0)
   plot()
   circle(0, 0, R, :magenta)
   circle22(0, R - r1, r1, :blue)
   circle(0, 0, r1, :blue)
   circle4(x2, y2, r2)
   circle2(r1 + r3, 0, r3, :green)
   θ = atand(r0 - r1, R)
   circle(0, r1 - r0, r0, :orange, beginangle=θ, endangle=180 - θ)
   circle(0, r0 - r1, r0, :orange, beginangle=180 + θ, endangle=360 - θ)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, 0, "r1 ", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y2, "乙円:r2,(x2,y2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r1 + r3, 0, "丙円:r3\n(r1+r3,0)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r1 - r0, "円弧の一部になる円:r0,(0,r1 - r0)", :black, :center, delta=-delta/2)
       plot!(ylims=(r1 - r0 - 5delta, R + 2delta))
   end
end;

算額（その1062）

算額（その1062）

九十五 大船渡市猪川町長谷堂 気仙長谷寺 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

正三角形の中に大円 3 個，中円 4 個，小円 6 個を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円，中円の直径はいかほどか。

正三角形を内包する外円を考える。
外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
中円の半径と中心座標を r2, (0, 0)
小円の半径と中心座標を r3, (x3, y3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
     r3::positive, x3::positive, y3::positive
x3 = (r2 + r3)*√Sym(3)/2
y3 = (r2 + r3)/2
eq1 = x3^2 + (r1 + r2 - y3)^2 - (r1 + r3)^2
eq2 = (r1 + r2) - 2(r2 + 2r3)  # 大円の中心と小円の中心の中点と原点を結ぶ三角形で
eq3 = R - r1 - r2 - 2r1
res = solve([eq1, eq2, eq3], (R, r1, r2))[1]

   (20*r3, 6*r3, 2*r3)

小円の直径の 20 倍，6 倍，2 倍が，全円，大円，中円の直径になる。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 6 寸，中円の直径は 2 寸，全円の直径は 20 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r3 = 1/2
   (R, r1, r2) = r3 .* (20, 6, 2)
   x3 = (r2 + r3)*√3/2
   y3 = (r2 + r3)/2
   a = √3R/2
   plot([a, 0, -a, a], [-R/2, R, -R/2, -R/2], color=:orange, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :green)
   circle(0, 0, r2, :blue)
   rotate(0, r2 + r1, r1)
   rotate(x3, y3, r3, :magenta)
   rotate(x3 + 2r3*√3/2, y3 + 2r3/2, r3, :magenta)
   rotate(x3 + (3r3 + r2)*√3/2, y3 + (3r3 + r2)/2, r2, :blue)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, r2 + r1, "大円:r1,(r2+r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(√3R/2, -R/2, "(√3R/2,-R/2) ", :green, :right, delta=-delta/2)
       point(0, 0, "中円:r2,(0,0)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, y3, " 小円:r3,(x3,y3)", :black, :left, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1061）

算額（その1061）

九十五 大船渡市猪川町長谷堂 気仙長谷寺 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

全円の中に，交差する甲円 2 個，乙円 2 個，丙円 5 個を容れる。丙円の直径が 1 寸のとき，全円の直径はいかほどか。

全円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (R - r2, 0)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, y3), (0, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
     r3::positive, x3::positive, y3::positive
eq1 = 2r1 - r3 - R
eq2 = x3^2 + y3^2 - (R - r3)^2
eq3 = (R - r2)^2 + (R - r1)^2 - (r1 +r2)^2
eq4 = x3^2 + (R - r1 - y3)^2 - (r1 + r3)^2
eq5 = (R - r2 - x3)^2 + y3^2 - (r2 + r3)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (R, r1, r2, x3, y3))[1]

   (r3*(3 + 2*sqrt(3)), r3*(sqrt(3) + 2), sqrt(3)*r3, r3*(sqrt(3) + 3), r3*(1 + sqrt(3)))

全円の半径 R は，丙円の半径 r3 の (3 + 2√3) 倍である。
丙円の直径が 1 寸のとき，全円の直径は 6.464101615137754 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   r3 = 0.5;  R = 3.23205;  r1 = 1.86603;  r2 = 0.866025;  x3 = 2.36603;  y = 1.36603

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r3 = 1/2
   (R, r1, r2, x3, y3) = r3 .* (3 + 2√3, √3 + 2, √3, √3 + 3, 1 + √3)
   @printf("丙円の直径が %g のとき，全円の直径は %g である。\n", 2r3, 2R)
   @printf("その他のパラメータは以下のとおりである。\nr3 = %g;  R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x3 = %g;  y = %g\n", r3, R, r1, r2, x3, y3)
   plot()
   circle(0, 0, R, :green)
   circle22(0, R - r1, r1)
   circle2(R - r2, 0, r2, :blue)
   circle(0, 0, r3, :magenta)
   circle4(x3, y3, r3, :magenta)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :vcenter)
       point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(R - r2, 0, "乙円:r2,(R-r2,0)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, y3, "丙円:r3\n(x3,y3)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 0, "丙円:r3\n(0,0)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1060）

算額（その1060）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

正三角形の中に正方形と大円，小円を容れる。大円の直径が 1 寸のとき，小円の直径はいかほどか。

正三角形の一辺の長さを 2a
正方形の対角線の長さを b
大円の半径と中心座標を r1, (x1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (0, b + r2)
とおき，まず eq1, eq2, eq3 の連立方程式を解き a, b, x1 を求める（4元連立方程式を一度に解けないので）。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b,
     r1::positive, x1::positive, r2::positive
eq1 = dist2(0, 0, b/2, b/2, x1, r1, r1)
eq2 = dist2(a, 0, 0, √Sym(3)a, x1, r1, r1)
eq3 = √Sym(3)a - b/2 - √Sym(3)b/2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (a, b, x1))[2]  # 2 of 2

   (-sqrt(6)*r1*sqrt(sqrt(3) + 2)/3 + sqrt(3)*r1/3 + r1 + sqrt(2)*r1 + sqrt(2)*r1*sqrt(sqrt(3) + 2), -sqrt(6)*r1 + 2*sqrt(2)*r1/sqrt(sqrt(3) + 2) + 2*r1 + 3*sqrt(2)*r1, r1*(1 + sqrt(2)))

得られた a, b を eq4 の a, b に代入し，方程式を解き r2 を求める。

eq4 = √Sym(3)a - b - 3r2
eq = eq4(a => res[1], b => res[2]);
ans_r2 = solve(eq, r2)[1]
ans_r2 |> println

   r1*(-2*sqrt(2) + sqrt(sqrt(3) + 2)*(-3*sqrt(2) - sqrt(2*sqrt(3) + 4) - 1 + sqrt(3) + sqrt(6*sqrt(3) + 12) + 2*sqrt(6)))/(3*sqrt(sqrt(3) + 2))

@syms d
final = apart(ans_r2, d) |> simplify |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> factor
final |> println

   -r1*(-2*sqrt(6) - 3 + sqrt(3) + 3*sqrt(2))/3

小円の半径 r2 は，大円の半径の (2√6 + 3 - √3 - 3√2)/3 倍である。
大円の直径が 1 寸のとき，小円の直径は 0.6414293302927311 寸である。

2final(r1 => 1/2).evalf() |> println

   0.641429330292731

その他のパラメータは以下のとおりである。

   r1 = 0.5;  r2 = 0.320715;  a = 2.07313;  b = 2.62863;  x1 = 1.20711

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 1/2
   t = sqrt(√3 + 2)
   (a, b, x1) = r1 .* (
       -√6t/3 + √3/3 + 1 + √2 + √2t,
       -√6 + 2√2/t + 2 + 3√2,
       1 + √2)
   r2 = r1*(2√6 + 3 - √3 - 3√2)/3
   @printf("大円の直径が %g のとき，小円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r2)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  a = %g;  b = %g;  x1 = %g\n", r1, r2, a, b, x1)
   plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, b/2, 0, -b/2, 0], [0, b/2, b, b/2, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   circle2(x1, r1, r1, :green)
   circle(0, b + r2, r2)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, "a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, √3a, " √3a", :blue, :left, :vcenter)
       point(0, b, "b", :magenta, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(b/2, b/2, " (b/2,b/2)", :magenta, :left, :vcenter)
       point(0, b + r2, "小円:r2\n(0,b+r2)", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(x1, r1, "大円:r1\n(x1,r1)", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

2024/06/14

ハスも野菜の花ですね。

野菜としての名前は、レンコン

漢字で書くと蓮根

音読みでレンコンとも読むし、うちの地方では、ハスネと訓読みすることもありました。

算額（その1059）

算額（その1059）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

外円の中に正方形と小円 2 個ずつを容れる。小円の直径が 1 寸のとき，正方形の一辺の長さはいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
小円の半径と中心座標を r, (0, R - r)
とおき，以下の方程式を解き，外円の半径 R を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r::positive
eq1 = dist2(0, 0, R/2, R/2, 0, R - r, r)
R = solve(eq1, R)[1]
R |> println

   r*(1 + sqrt(2))

外円の半径 R は，小円の半径 r の (1 + √2) 倍である。
正方形の一辺の長さは (R/2)\*√2 = r\*(√2/2 + 1) である。
したがって 小円の半径が 1/2 のとき 0.853553390593274 である。

r = 1/2
r*((1 + √2)/2*√2) |> println
r*(√2/2 + 1) |> println

   0.8535533905932737
   0.8535533905932737

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r = 1/2
   R = (1 + √2)r
   len = r*(√2/2 + 1)
   @printf("小円の直径が %g のとき，正方形の一辺の長さは %g である。\n", 2r, len)
   plot([R, R/2, -R/2, -R, -R/2, R/2, R], [0, R/2, -R/2, 0, R/2, -R/2, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :green)
   circle22(0, R - r, r)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(R/2, R/2, "(R/2,R/2)", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(R/2, 0, "", :blue)
       point(0, R - r, "小円:r,(0,R-r)", :red, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1058）

算額（その1058）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

正方形の中に正三角形と大円，小円を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a
正方形の辺上にある正三角形の頂点の座標を (0, b), (b, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (a - r2, r2), (r2, a - r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = a + (a - b) - sqrt(a^2 + (a - b)^2) - 2r2
eq2 = 2b - sqrt(Sym(2))b - 2r1
eq3 = a^2 + (a - b)^2 - 2b^2;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, a, b))[1]

   (2*r2/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))

@syms d
ans_r2 = res[1]/r2
ans_r2 = apart(ans_r2, d) |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> (x -> x*r2)
ans_r2 |> println

   r2*(-sqrt(6) - 2 + 2*sqrt(2) + 2*sqrt(3))

大円の半径 r1 は，小円の半径 r2 の (2(√2 + √3 - 1) - √6) = 1.8430389971007672 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 1.8430389971007672 寸である。

2(√2 + √3 - 1) - √6

   1.8430389971007672

その他のパラメータは以下のとおりである。
   正三角形の一辺の長さは 4.44949
   r2 = 0.5;  r1 = 0.921519;  a = 4.29788;  b = 3.14626

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (r1, a, b) = (2*r2/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), r2*(sqrt(2) + 2 + sqrt(12*sqrt(2) + 18))/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)), 2*r2*(sqrt(2) + 2)/((-2 + sqrt(6))*sqrt(2*sqrt(2) + 3)))
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("正三角形の一辺の長さは %g\n", √2b)
   @printf("r2 = %g;  r1 = %g;  a = %g;  b = %g\n", r2, r1, a, b)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([b, a, 0, b], [0, a, b, 0], color=:orange, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1)
   circle(a - r2, r2, r2, :green)
   circle(r2, a - r2, r2, :green)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, a, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r2, r2, "小円:r2\n(a-r2,r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, a - r2, "小円:r2\n(r2,a-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1057）

算額（その1057）

九十四 大船渡市立根町 五葉神社 文政5年(1822)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

直角三角形の中に，大中小の正方形，甲円，乙円，丙円を容れる。甲円，丙円の直径が 9 寸，4 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

三角形内の正方形の一辺の長さについては，算額（その356）に記した。
https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/21d75d77f3ea4dff26d8a4e76e74659d

本問の図形において，小正方形，中正方形，大正方形の一辺の長さは等比数列をなすということである。また，それぞれの一辺を斜辺とする直角三角形も相似であり，それぞれに内接する甲円，乙円，丙円も相似でその直径も等比数列をなす。甲円径：乙円径：丙円径 = 9寸：x寸：4寸なので，乙円の直径は x = sqrt(9*4) = 6 寸である。

算額（その1056）

算額（その1056）

九十一 陸前高田市小友町只出 小友八幡神社 明治26年(1893)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

外円の中に甲円，乙円，丙円，丁円が入っている。丙円の直径が 8 分 5 厘のとき，甲円の直径はいかほどか。

後にわかるが，丁円の大きさは丙円の大きさに無関係である。

算額（その938）の類題（発展問題）である（甲円，乙円と大円，中円の位置が逆）。算額（その938）では中央の円は脇の 4 円と同じであったが，本問では中央の円（丁円）は脇の円（丙円）とは別で，任意の大きさになりうる。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, R - r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, r3)
丁円の半径と中心座標を r4, (0, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r2::positive, r1::positive,
     r3::positive, x3::positive, r4::positive
eq1 = x3^2 + r3^2 - (R - r3)^2
eq2 = x3^2 + (R - r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2
eq3 = 2r1 + r3 - R
eq3 = 2r1 + r4 - R
eq4 = 2r2 -r4 - R
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r1, r2, R, x3))[1]

   (2*r3, 2*r3 + r4, 4*r3 + r4, sqrt(2*r3 + r4)*sqrt(4*r3 + r4))

甲円の半径 r1 は，丙円 r3 の 2 倍である。
丙円の直径が 0.85 寸のとき，甲円の直径は 1.7 寸である。

丁円の大きさは，甲円の大きさに影響を与えない。
「問」ではこの辺を暗示している。「只云乙丁若干丙径八分五厘甲径幾何」と，丁径は何でもよいといっている。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r3 = 0.85/2
   r4 = 0.5/2
   (r1, r2, R, x3) = (2*r3, 2*r3 + r4, 4*r3 + r4, sqrt(2*r3 + r4)*sqrt(4*r3 + r4))
   @printf("丙円，丁円の直径が %g, %g 寸のとき，甲円の直径は %g 寸である。\n", 2r3, 2r4, 2r1)
   @printf("r3 = %g;  r4 = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  R = %g;  x3 = %g\n", r3, r4, r1, r2, R, x3)
   plot()
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle22(0, R - r2, r2)
   circle22(0, R - r1, r1, :green)
   circle(0, 0, r4, :magenta)
   circle4(x3, r3, r3, :brown)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r2, "乙円:r2,(0,R-r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, r3, "丙円:r3\n(x3,r3)", :brown, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 0, "丁円:r4,(0,0)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1055）

算額（その1055）

九十一 陸前高田市小友町只出 小友八幡神社 明治26年(1893)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

直角三角形内に正方形と大円，甲円，乙円，丙円，丁円を容れる。甲円，乙円の直径がそれぞれ 1.17 寸，1.05 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

術では「甲円と乙円の直径を加えて 1 で割れば大円の直径が得られる」などとデタラメを言っている。山村もなんのコメントも付けずオウム返しで解説しているだけ。

直角三角形の直角を挟む二辺の短い方を「鈎」，長い方を「股」とする
直角三角形の斜辺が正方形の頂点で分割されるが，短い方を「短弦」，長い方を「長弦」とする
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
甲円の半径と中心座標を r2, (2r1 + r2, r2)
乙円の半径と中心座標を r3, (r3, 2r1 + r3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, r3::positive,
     短弦::positive, 長弦::positive,
     鈎::positive, 股::positive
eq1 = 2r1 + (股 - 2r1) - 長弦 - 2r2
eq2 = (鈎 - 2r1) + 2r1 - 短弦 - 2r3
eq3 = (鈎 - 2r1)^2 + 4r1^2 - 短弦^2
eq4 = 4r1^2 + (股 - 2r1)^2 - 長弦^2
eq5 = 鈎^2 + 股^2 - (長弦 + 短弦)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股))[2]  # 2 0f 2

   (r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2, r2 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, r2^2/r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2)/r3 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2), r2 + 2*r3 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, (r2^2 + 2*r2*r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2))/r3)

res[1] |> println
res[1](r2 => 1.17, r3 => 1.05) |> println

   r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2
   1.89603435039443

大円の半径は (r2 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2))/2 である。術がいうような単純な和ではない。
甲円，乙円の直径がそれぞれ 1.17 寸，1.05 寸のとき，大円の直径は 1.89603435039443 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。
r2 = 1.17;  r3 = 1.05;  r1 = 1.89603;  短弦 = 5.09521;  長弦 = 5.67752;  鈎 = 7.19521;  股 = 8.01752

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r2, r3) = (1.17, 1.05)
   (r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股) = (r2/2 + r3/2 + sqrt(r2^2 + r3^2)/2, r2 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, r2^2/r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2)/r3 + r3 + sqrt(r2^2 + r3^2), r2 + 2*r3 + sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2/r2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2)/r2, (r2^2 + 2*r2*r3 + r2*sqrt(r2^2 + r3^2) + r3^2 + r3*sqrt(r2^2 + r3^2))/r3)
   @printf("甲円，乙円の直径が %g, %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r3, 2r1)
   @printf("r2 = %g;  r3 = %g;  r1 = %g;  短弦 = %g;  長弦 = %g;  鈎 = %g;  股 = %g\n", r2, r3, r1, 短弦, 長弦, 鈎, 股)
   plot([0, 股, 0, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, 2r1, 2r1, 0, 0], [0, 0, 2r1, 2r1, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1, :green)
   circle(2r1 + r2, r2, r2, :orange)
   circle(r3, 2r1 + r3, r3, :purple)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(股, 0, " 股", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, 鈎, " 鈎", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :green, :center, :bottom, delta=delta)
       point(2r1 + r2, r2, "甲円:r2\n(2r1+r2,r2)", :orange, :center, :bottom, delta=delta)
       point(r3, 2r1 + r3, "乙円:r3\n(r3,2r1+r3)", :purple, :center, :bottom, delta=delta)
   end
end;

2024/06/13

これは何の花か分かりますか？

答えは、ゴボウの花

算額（その1054）

算額（その1054）

八十九 陸前高田市小友町 常膳寺観音堂 天保13年(1842)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

全円の中に正三角形と等円 5 個を容れる。全円の直径が 1 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

全円の半径と中心座標を R, (0, 0)
等円の半径と中心座標を r, (r, -r - R/2)
とおき，方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r::positive
eq1 = r^2 + (r + R/2)^2 - (R - r)^2
res = solve(eq1, r)[1]
res |> println
2res(R => 1/2).evalf()|> println

   R*(-3 + 2*sqrt(3))/2
   0.232050807568877

等円の半径 r は，全円の半径 R の (2√3 - 3)/2 倍である。
全円の直径が 1 寸のとき，等円の直径は 0.2320508075688772 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 1/2
   r = R*(2√3 - 3)/2
   @printf("全円の直径が %g のとき，等円の直径は %g である。\n", 2R, 2r)
   a = √3R/2
   plot([a, 0, -a, a], [-R/2, R, -R/2, -R/2], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :green)
   rotate(0, r - R/2, r)
   circle2(r, -r - R/2, r)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, R, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(r, -r - R/2, "等円:r\n(r,-r-R/2)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
       point(0, r - R/2, "等円:r\n(0,r-R/2)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
   end
end;

算額（その1053）

算額（その1053）

八十八 陸前高田市小友町 常膳寺観音堂 天保12年(1841)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

この算額は，「問」，「答」，「術」とも読み取ることができないそうだ。図形のみ認識できるようなので，いくつかは再現できそうである。

以下の図形から，「外円の中に正方形と大円，小円を容れる。小円の直径が 97 寸のとき，大円の直径はいかほどか」という問が可能であろう。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0); R = 2r1
大円の半径と中心座標を r1, (r1, 0)
小円の半径と中心座標を r2, (0, y2)
とおき，連立方程式を解く。
ここでは，小円の半径が既知として解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
     r2::positive, y2::positive
R = 2r1
eq1 = r1^2 + y2^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = dist2(R, 0, 0, R, 0, y2, r2)
res = solve([eq1, eq2], (r1, y2))[1];

大円の半径
res[1] |> simplify |> println

   r2*(1 + 2*sqrt(2) + sqrt(5 + 4*sqrt(2)))/4

小円の中心の y 座標
res[2] |> simplify |> println

   r2*(1 + sqrt(5 + 4*sqrt(2)))/2

大円の半径 r1 は，小円の半径 r2 の (1 + 2√2 + sqrt(5 + 4√2))/4 倍である。
小円の直径が 97 寸のとき，大円の直径は 97*(1 + 2√2 + sqrt(5 + 4√2))/4 = 172.00308906722228 = 172 寸有奇である。

その他のパラメータは以下のとおりである。
r2 = 48.5;  r1 = 86.0015;  y2 = 103.414;  R = 172.003

97*(1 + 2√2 + sqrt(5 + 4√2))/4

   172.00308906722228

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 97/2
   (r1, y2) = r2 .* ((1 + 2√2 + sqrt(5 + 4√2))/4, (1 + sqrt(5 + 4√2))/2)
   R = 2r1
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("r2 = %g;  r1 = %g;  y2 = %g;  R = %g\n", r2, r1, y2, R)
   plot([R, 0, -R, 0, R], [0, R, 0, -R, 0], color=:blue, lw=0.5)

   circle(0, 0, R, :magenta)
   circle2(r1, 0, r1)
   circle22(0, y2, r2, :green)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, R, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(r1, 0, "大円:r1,(1,0)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
       point(0, y2, "小円:r2,(0,y2) ", :black, :center, delta=-delta)
   end
end;

算額（その1052）

算額（その1052）

八十八 陸前高田市小友町 常膳寺観音堂 天保12年(1841)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

この算額は，「問」，「答」，「術」とも読み取ることができないそうだ。図形のみ認識できるようなので，いくつかは再現できそうである。

以下の図形から，「正三角形内に正方形を入れ，正方形の1つの頂点から正三角形の一つの頂点を結ぶ斜線を引き，分割された領域に大円，小円を 1 個ずつ容れる。正三角形の一辺の長さが5寸のとき，正方形の一辺の長さ，大円，小円の直径を求めよ。」という問が可能であろう。

正三角形の一辺の長さを 2a
正方形の一辺の長さを 2b
大円の半径と中心座標を r1, (b - r1, 2b - r1)
小円の半径と中心座標を r2, (b + r2, y2)
とおき，連立方程式を解く。
未知数は a, b, r1, r2, y2 の 5 個なので，条件式が 4 個あればどれか一つを既知として解を求めることが可能である。
ここでは，正三角形の一辺の長さを既知として解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive,
     y1::positive, r2::positive, y2::positive
eq1 = dist2(-b, 2b, a, 0, b - r1, 2b - r1, r1)
eq2 = dist2(-b, 2b, a, 0, b + r2, y2, r2)
eq3 = dist2(0, √Sym(3)a, a, 0, b + r2, y2, r2)
eq4 = (√Sym(3)a - 2b)/b - √Sym(3);
#solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (b, r1, r2, y2))

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
   if typeof(ini) <: Number
       r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
       v = r.zero[1]
   else
       r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
       v = r.zero
   end
   return Float64.(v), r.f_converged
end;

function H(u)
   (b, r1, r2, y2) = u
   return [
       4*b*(-2*a*b*r1 + a*r1^2 + 4*b^3 - 6*b^2*r1 + b*r1^2),  # eq1
       4*a^2*b^2 - 4*a^2*b*y2 - a^2*r2^2 + a^2*y2^2 - 8*a*b^3 - 8*a*b^2*r2 - 2*a*b*r2^2 + 4*a*b*r2*y2 + 2*a*b*y2^2 + 4*b^4 + 8*b^3*r2 + 4*b^3*y2 - b^2*r2^2 + 4*b^2*r2*y2 + b^2*y2^2,  # eq2
       3*a^2/4 - 3*a*b/2 - 3*a*r2/2 - sqrt(3)*a*y2/2 + 3*b^2/4 + 3*b*r2/2 + sqrt(3)*b*y2/2 - r2^2/4 + sqrt(3)*r2*y2/2 + y2^2/4,  # eq3
       2*b/(a - b) - sqrt(3),  # eq4
   ]
end;

a = 262/2
iniv = BigFloat[7, 3.1, 2.1, 6] .* a/15
res = nls(H, ini=iniv)

   ([60.79731158304585, 27.355505309267038, 18.002338812484446, 54.40898006283059], true)

「正三角形の一辺の長さが 262 寸のとき，小円の直径は 36.00寸有奇 である」というと，算額らしい。

正三角形の一辺の長さが 262 のとき，正方形の一辺の長さは 121.595，大円，小円の直径は 54.711, 36.0047 である。
a = 131;  b = 60.7973;  r1 = 27.3555;  r2 = 18.0023;  y2 = 54.409

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   #a = 15
   (b, r1, r2, y2) = res[1]
   @printf("正三角形の一辺の長さが %g のとき，正方形の一辺の長さは %g，大円，小円の直径は %g, %g である。\n", 2a, 2b, 2r1, 2r2)
   @printf("a = %g;  b = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  y2 = %g\n", a, b, r1, r2, y2)
   plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([b, b, -b, -b, b], [0, 2b, 2b, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   segment(-b, 2b, a, 0, :orange)
   circle(b - r1, 2b - r1, r1, :red)
   circle(b + r2, y2, r2, :gray70)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, √3a, " √3a", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       point(b, 0, " b", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, 2b, " 2b", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(b - r1, 2b - r1, "大円:r1\n(b-r1,2b-r1)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
       point(b + r2, y2, "小円:r2,(b+r2,y2) ", :black, :right, :vcenter)
   end
end;

算額（その1051）

算額（その1051）

八十五 室根村折壁字大洞 入沢弥栄神社 明治16年(1883)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

この算額は，「問」，「答」，「術」のいずれも不適切極まりないものである。
算額の図から以下のように解釈して解を求めることにする。

この問題は，乙円の直径を求めることと，等円の直径を求めることが独立であり，それぞれ別々に解を求めるべきものである。

1.　外円内に甲円，乙円 3 個ずつ容れる。甲円の直径が 18寸5分のとき，乙円の直径はいかほどか。

算額(その27)
https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/a729e33453ca3b7f28ed787cbb22faa9

大円の半径と中心座標を R, (0, 0); R = 2r1
甲円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, y2); x2 = (R - r2)*cosd(30), y2 = (R - r2)*sind(30)
とおき，方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
     x2::positive, y2::positive, r3::positive
R = 2r1
x2 = (R - r2)*cosd(Sym(30))
y2 = (R - r2)*sind(Sym(30))
eq1 = x2^2 + (R - r1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2
res1 = solve(eq1, r2)[1]
res1 |> println
res1(r1 => 18.5) |> println

   2*r1/5
   7.40000000000000

乙円の半径 r2 は，甲円の半径 r1 の 2/5 倍である。
甲円の直径が 18.5 寸のとき，乙円の直径は 18.5*2/5 = 7.4 寸である。

術では「大円径三十七寸七分，乙円径五十分三十七」とある。いずれも不適切な解であるが，算額1052 のときと同じように，径を述べるときに実寸（三十七寸七分）と割合（五十分三十七）を混用する意味もわからない。山村の註も何を言っているのか。

2.　外円の外側に，外円に外接し，かつ隣同士外接する 28 個の等円を描くとき，等円の直径はいかほどか。

算額(その618)
https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ebb9afbef32e1f62bc9584a730d2ca83

等円の直径を聞いているのに，「等円径各二十五分十二」と書いている。どういうことだろうか。しかもここでも，割合（二十五分十二）を示している。

ここでは題意を汲んで，直径 18.5 寸の外円の外に並ぶ 28 個の等円の直径を求めることにする。

等円の半径と中心座標を r3; r3 = (R + r3)*sind(360/(28*2))
とおき，方程式を解く。

eq2 = r3 - (R + r3)*sind(Sym(360)//(Sym(28)*2))
res2 = solve(eq2, r3)[1]
res2 |> println
res2(r1 => 18.5).evalf() |> println

   2*r1*sin(pi/28)/(1 - sin(pi/28))
   4.66499988383834

等円の半径 r3 は，甲円の半径 r1 の 2sin(π/28)/(1 - sin(π/28)) 倍である。
甲円の直径が 18.5 寸のとき，等円の直径は 18.5*2sin(π/28)/(1 - sin(π/28)) = 4.664999883838343 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 18.5/2
   R = 2r1
   r2 = 2r1/5
   r3 = r1*2sin(π/28)/(1 - sin(π/28))
   @printf("甲円 = %g;  乙円 = %g;  等円 = %g;  大円 = %g\n", 2r1, 2r2, 2r3, 2R)
   plot()
   circle(0, 0, R, :green)
   circle(0, 0, R + 2r3, :green)
   rotate(0, R - r1, r1)
   x2 = (R - r2)*cosd(30)
   y2 = (R - r2)*sind(30)
   rotate(x2, y2, r2, :blue)
   rotate(0, R + r3, r3, :orange, angle=360/28)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       二十八宿 = [
          "角", "亢", "氐", "房", "心", "尾", "箕",  # 東方青龍
          "斗", "牛", "女", "虚", "危", "室", "壁",  # 北方玄武
          "奎", "婁", "胃", "昴", "畢", "觜", "参",  # 西方白虎
          "井", "鬼", "柳", "円", "張", "翼", "軫"   # 南方朱雀
       ]
       for i = 1:28
           x0 = (R + r3)*cosd(360/28*(mod(15 - i, 28)+1))
           y0 = (R + r3)*sind(360/28*(mod(15 - i, 28)+1))
           point(x0, y0, 二十八宿[i], :blue, :center, :vcenter, mark=false)
       end
       point(0, R, " R", :green, :left, delta=-delta/2)
       point(R, 0, "R ", :green, :right, :bottom, delta=delta/2)
       point(R+2r3, 0, " R+2r3", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y2, "乙円:r2\n(x2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       plot!(xlims=(-R - 2r3 - 2delta, R + 2r3 + 8delta))
   end
end;