横浜雙葉中学校１９９７年１番（３）・解説

掛け合わせて３６０にするということですから、すぐに思いつくのは因数分解ですね。
３６０＝２×２×２×３×３×５
６以下の数字だけ、しかも合計で６個ですから、これが既に一つの答です。

では他の組合せはどう探すのか。

これをもとにすれば良いですね。
例えば２×２＝４ですから、２×２を４に置き換えることができます。

「え、でも、そうしたらサイコロ６個に反するよ」
そう思った方は素晴らしい。
こういう条件を見落とさないようにするのは大切です。
でも心配ありません。
サイコロには１という目があるので、減った分、１を加えればよいのです。

ということで、
２×２×２×３×３×５
から
１×２×４×３×３×５
ができました。

もういちど初めの式を見てみましょう。
２×２×２×３×３×５
他にどこが置き換えられるか。

２×３＝６
もありますね。

６を越える数字は作れないので、他にはありません。
（あわてて「２×２×２＝８もできるな」などと思わないように）

まとめると、置き換え可能なのは以下の通りとなります。
（色字のところが置き換え可能な部分です）

（もとの式）
２×２×２×３×３×５

（置き換えその１）
２×２×２×３×３×５
＝
２×４×３×３×５
＝
２×３×３×４×５

（置き換えその２）
２×２×２×３×３×５
＝
２×２×６×３×５
＝
２×２×３×５×６

（置き換えその３）
２×２×２×３×３×５
＝
４×６×３×５
＝
３×４×５×６

（置き換えその４）
２×２×２×３×３×５
＝
６×６×２×５
＝
２×５×６×６

以上より、答えは次の通り。
（２２２３３５）
（１２３３４５）
（１２２３５６）
（１１３４５６）
（１１２５６６）

横浜雙葉中学校１９９７年１番（３）

区別のつかない６つのさいころを投げて、出た目の数をかけたところ、３６０になりました。このような目の出方を、例にしたがってすべて書き並べなさい。
（書き方例）（１２３４５６）

雙葉中学校２０１０年入試問題・解答解説

与えられた条件が二つあることに気付きましたね。

（一つ目の条件から分かること）
できるだけ多くの本を並べる。
↓
薄い本から並べる。
↓
２６冊になり２７冊目は並ばない。
↓
１．５ｃｍ×１０冊＋３ｃｍ×１５冊＋７ｃｍ×１冊＝６７ｃｍ
↓
残っているのは７ｃｍの本だけなので本箱の幅は６７ｃｍ以上７４ｃｍ未満。
（７４＝６７＋７）

（二つ目の条件から分かること）
本箱にぴったりに並べると全部で２３冊で、そのうち３ｃｍの本は１４冊。
↓
３×１４冊＝４２ｃｍ
（Bだけの厚さの合計）
↓
６７ｃｍ－４２ｃｍ＝２５ｃｍ
７４ｃｍ－４２ｃｍ＝３２ｃｍ
↓
残り９冊の合計が２５ｃｍ以上３２ｃｍ未満
使える本は７ｃｍか１．５ｃｍの本
↓
ここまで条件が絞り込めたので後は書き出しでOK。
A（７ｃｍ）は５冊しかないので、そちらから書いていきます。

７ｃｍの本の冊数　１．５ｃｍの本の冊数　合計の厚さ

５冊（３５ｃｍ）　４冊（６ｃｍ）　　　　４１ｃｍ
４冊（２８ｃｍ）　５冊（７．５ｃｍ）　　３５．５ｃｍ
３冊（２１ｃｍ）　６冊（９ｃｍ）　　　　３０ｃｍ→条件通りはこれだけ。
２冊（１４ｃｍ）　５冊（１０．５ｃｍ）　２４．５ｃｍ

合計の厚さは５．５ｃｍずつ薄くなるということから計算で求めた方が速いかもしれませんが、そう大きな違いではないですね。

答え
A（７ｃｍ）３冊
C（１．５ｃｍ）６冊
　　（AとCとの順番を間違えないようにね）
本箱の幅　４２ｃｍ＋３０ｃｍ＝７２ｃｍ

雙葉中学校２０１０年入試問題

表のような３種類の本Ａ、Ｂ、Ｃがあります。このうち何冊かを本箱に一列に並べます。まず、できるだけ多くの本を並べると２６冊になり、２７冊目は並びません。
次に、本箱の幅ぴったりに並べたところ、全部で２３冊になり、そのうちＢは１４冊でした。Ａ、Ｃは何冊でしたか。本箱の幅は何ｃｍですか。

（表）
Ａ　１冊の厚さ（７ｃｍ）　冊数（５冊）
Ｂ　１冊の厚さ（３ｃｍ）　冊数（１５冊）
Ｃ　１冊の厚さ（１．５ｃｍ）　冊数（１０冊）

鴎友学園女子中学２０１０年（３次）算数５番・解説

１年生、２年生、３年生をそれぞれチームと考えましょう。
チーム１年、チーム２年、チーム３年がそれぞれ仕事をやっていきます。

与えられた条件は次の通り。

（条件Ａ）
チーム１年はチーム２年より６人多い。
（条件Ｂ）
チーム３年はチーム２年より４人少ない。
（条件Ｃ）
一人あたりの能力を比べると次のようになる。
チーム１年：チーム２年：チーム３年＝１：２：２
（条件Ｄ）
チーム１年だと８日かかり、チーム２年だと６日かかる。

仕事算として考えられますね。
するとまず基本事項として浮かぶのは日数と１日あたりの仕事量は逆比になるということです。
このことから（条件Ｄ）にまず注目します。
チーム１年全体の１日あたりの能力：チーム２年全体の１日あたりの能力＝３：４
（掛かる日数の比の逆比です。）
これを（条件Ｅ）とします。

（条件Ｅ）と（条件Ｃ）からチーム１年とチーム２年の人数の比が求められます。
（もっと詳しい説明には面積図を使うと良いです。）
全体の能力÷一人あたりの能力＝人数
これを使って人数の比を求めます。
（３÷１）：（４÷２）＝３：２
それぞれの数字の意味をきちんと確認してくださいね。
さてこの人数の比を（条件Ｆ）としましょう。

すると（条件Ｆ）と（条件Ａ）からチーム１年とチーム２年の実際の人数が求められます。
比の３：２の差の１あたりが６人ですから、
チーム１年は６人×３＝１８人
チーム２年は６人×２＝１２人です。

次に（条件Ｂ）よりチーム３年の人数が求められます。
１２－４＝８人

また仕事全体の量も求められます。
チーム１年で考えれば
１（一人あたりの能力）×１８人×８日＝１４４
確認も兼ねチーム２年でも計算してみましょうか。
２（一人あたりの能力）×１２人×６日＝１４４
当然、一致しますね。

あとはチーム３年について、計算していけば答が求められます。
１４４（全体量）÷｛２（一人あたりの能力）×８人｝＝９日

勿論、チーム２年とチーム３年は一人あたりの能力が同じなので、チーム２年とチーム３年の人数を元に、逆比を使って求めるという方法も使えますね。
これだともっと早く答が求められます。
チーム２年とチーム３年の人数の比は１２人：８人＝３：２ですから
６日×（３／２）＝９日

鴎友学園女子中学２０１０年（３次）算数５番

ある中学校の図書館で、図書委員が本にラベルを貼る仕事をします。
次のことがわかっています。

・１年生の委員は２年生の委員よりも６人多く、３年生の委員は２年生の委員よりも４人少ない
・委員１人が１日で貼る数は、２年生と３年生は同じ、１年生はその半分
・１年生だけではちょうど８日かかり、２年生だけではちょうど６日かかる

３年生だけでは何日かかりますか。

浦和明の星女子中学校２０１０年１月入試算数５番・解答

（１）
まず得点について考えましょう。

二人の得点の合計を求めます。
カード全体の合計は
（１＋７）×７÷２＝２８

３が残っていますから、２８－３＝２５
これが二人の点数の合計です。

差は１５点と与えられていますから、普通の和差算として求められます。

Ａさんは大きい方の数字になるので
（２５＋１５）÷２＝２０
Ｂさんは小さい方の数字になるので
（２５－１５）÷２＝５


次に持っているカードについて考えます。

二人が持っているカードは次の通りです。
奇数（１、５、７）
偶数（２、４、６）

Ｂさんが５点で持ち点が少ないですから、Ｂさんのカードについて考えた方が楽そうですね。
５点になるのは次の２つの場合が考えられます。

〔その１〕５が１枚。
奇数のカードは初めから自分で持っていたことになるので、５の他に２枚の偶数のカードを持っていたことになります。
そうするとＡさんも１枚偶数のカードを持っていたことになり、やり取りした後にＢさんが５だけを持っているというのはあり得ないと分かります。

〔その２〕１と４が１枚ずつ。
Ｂさんが１を初めから持っていて、その他に４以外の偶数を２枚持っていたとすると成り立ちます。
即ちＢさんの初めに持っていたカードは（１、２、６）
Ａさんの初めに持っていたカードは（４、５、７）
やり取りした後は次のようになります。
Ａさん（２、５、６、７）
Ｂさん（１、４）


（２）
【１】はすぐ分かりますね。二人の得点が同じなのですから、その合計は偶数です。

【２】もすぐ分かります。カード全部の合計２８も偶数ですから、偶数－偶数＝偶数で、残ったカードも偶数です。

次に２人のカードの枚数についてですが、偶数が１枚残っているということは、二人の持っているカードを合わせると偶数２枚、奇数４枚となります。
やり取りした後にこれらを３枚ずつに分けるには、初めからそれぞれが偶数１枚、奇数２枚を持っていたと分かります。
ということで
（ア）１（イ）２（ウ）１（エ）２
となります。
この結果から【３】も偶数と分かります。

（オ）が分かりにくいかもしれません。
ＡさんＢさんとも得点は偶数で、しかも等しいので、２人のそれぞれの得点は２×□と表せます。（□はいくつかは分かりませんが、ある決まった数です。）
すると２人の得点の合計は次のようになります。
２×□＋２×□
これをまとめていきましょう。
２×□＋２×□＝２×（□＋□）＝２×（２×□）＝２×２×□＝４×□
つまり（オ）は４です。

次に（カ）について考えます。
カード全部の合計２８は４の倍数ですし、２人の得点の合計も４の倍数なので、残った１枚のカードに書かれた数も４の倍数と分かります。
偶数のカードの中で４の倍数は４だけですから、（カ）は４です。

浦和明の星女子中学校２０１０年１月入試算数５番

ＡさんとＢさんの２人が、１から７までの数が書かれた７枚のカードを使って次のようなゲームをします。

ＡさんとＢさんが、裏返しに置かれた７枚のカードから３枚ずつ引きます。引いたカードのうち、奇数が書かれたカードは自分のものとし、偶数が書かれたカードは相手に渡します。そして、持っているカードに書かれた数の合計を得点として、得点の高い方を勝ちとします。このとき、カードは１枚だけ残ります。

（１）一度ゲームをしてみると、３が書かれたカードが残り、ＡさんがＢさんに１５点の差をつけて勝ちました。このとき、ＡさんとＢさんの得点をそれぞれ求めなさい。また、ＡさんとＢさんが持っているカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

（２）次にもう一度ゲームをすると、２人の得点は同じになり、引き分けました。
このとき、次の【１】【２】【３】の空欄には「偶数」か「奇数」のどちらかの言葉を、また、ア～カの空欄に当てはまる数を入れなさい。

２人は引き分けたので、２人の得点の合計は【１】であり、残ったカードに書かれた数は【２】であることが分かります。
さらに、ＡさんとＢさんが持っているカードについて、偶数が書かれたカードと奇数が書かれたカードの組み合わせと、それらのカードに書かれた数が１から７のうちのいずれかであることから考えると
　　Ａさんは、偶数が書かれたカードを（ア）枚、奇数が書かれたカードを（イ）枚
　　Ｂさんは、偶数が書かれたカードを（ウ）枚、奇数が書かれたカードを（エ）枚
持っていることが分かります。
これより、ＡさんとＢさんの得点は共に【３】となり、さらに、このことと、２人の得点が等しいことから、２人の得点の合計は（オ）の倍数であることが分かります。
そして、残った１枚のカードに書かれた数は（カ）であることが分かります。

栄東中学校２０１０年Ａ日程算数４番・解答

（１）
連続する２つの整数の和は必ず奇数になります。ですから□×□も奇数です。
また、２つの整数の和ですから、□×□＝１ではダメです。
奇数となる最も小さい数は□＝３です。
○＋△＝３×３＝９となるので
○＝４です。
（わざわざ和差算を持ち出さなくても答えられますね。）

（２）
連続する３つの整数の和は必ず３の倍数になります。その３つの整数の平均が真ん中の数になるので、和は真ん中の数の３倍になるからです。
ということで、★×★×★は３の倍数になります。
だから★が３の倍数ということになります。
３番目に小さい数を聞かれているので、★は３番目の３の倍数である９となります。
ということで、
●＋▲＋■＝★×★×★＝９×９×９＝７２９
▲＝７２９÷３＝２４３
●＝２４３－１＝２４２です。

栄東中学校２０１０年Ａ日程算数４番

【４】次の問いに答えなさい。

（１）連続する２つの整数を小さい順に○、△とし、□は○、△とは異なる整数とします。
○＋△＝□×□
となるような○、△のうち最も小さい○の値を求めなさい。

（２）連続する３つの整数を小さい順に●、▲、■とし、★は整数とします。
●＋▲＋■＝★×★×★
となるような●の値の中で３番目に小さい値を求めなさい。

鎌倉女学院中学校・２００８年算数・２（５）・解答

一人が１分でできる仕事量を【１】とします。
仕事全体の量は【１８０】ですね。

午後１時から２時までにAさんが【６０】の仕事をしました。
（残りは【１８０】－【６０】＝【１２０】）

午後２時から５分間はBさんに仕事を教えるためにお休みです。

その後Bさんは３時まで休まずに仕事をしたはずなので【５５】の仕事ができます。
（残りは【１２０】－【５５】＝【６５】）

ここからが間違えやすいところです。
残り【６５】の仕事をAさんとCさんがやるのですが、２時５分から３時までの間にAさんはCさんにも仕事を教えなくてはならないのでまた５分休みます。ですからAさんが２時５分以降３時までにできる仕事は【５０】です。
すると残りの仕事量は【６５】－【５０】＝【１５】となり、これをCさんがやればちょうど３時に終えることができることになります。
Cさんが説明を受ける５分を忘れないように。
ということでCさんは３時２０分前、つまり２時４０分に来れば良いことになります。
二人が仕事を始めたのは２時５分ですから、４０－５＝３５で、答えは３５となります。

答え　（３５）分後

《補足説明》
念のため、下に簡単な流れを書いておきます。

午後１時
から
午後２時
　Aさん一人が仕事した。【６０】

午後２時
から
午後２時５分
　AさんがBさんに仕事のやり方を説明していた。【仕事は中断】

午後２時５分
から
午後３時
　Bさんは休まず仕事した。【５５】
　AさんはCさんにやり方を説明した５分以外は仕事した。【５０】

以上での仕事量の合計は
　【６０】＋【５５】＋【５０】＝【１６５】

これ以外をCさんがやれば良い。
　【１８０】－【１６５】＝【１５】
つまりCさんが仕事するのは１５分間。
その前に５分間、仕事のやり方を聞く必要があるから、Cさんが来るのは午後３時の２０分前ということになる。
（以下略）

　

鎌倉女学院中学校・２００８年算数・２（５）

次の（　　　　　）にあてはまる数を求めなさい。

だれがやっても１人でやると３時間かかる作業があります。この作業を午後１時にAさんが１人ではじめ、午後２時にBさんが手伝いに来ました。２人が作業を始めてから（　　　　　）分後にCさんが手伝いに来たので、午後３時に終えることができました。ただし、手伝いに来た人にはAさんが５分間やり方についての説明をし、その間Aさんの作業は止まっています。

２００９年・智辯学園和歌山・後期・解説（答え）

東京出版「中学への算数２００９年４月号P.２３」に掲載された問題です。
私の解法も、まず表にまとめるということで、解き方の基本は同じですが、求める数を①（丸１）と置かせるところが少し異なります。
ここでは便宜的に①（丸１）ではなく、xとしておきます。

【ステップ１】
まず表にまとめます。

　　　　　赤い袋　　　白い袋
赤玉　　　　x　　　　４５－x　　４５
白玉　　 ５０－x　　 ５９－x　　５５
　　　　　 ５０　　　　５０

【ステップ２】
上の表を見ていると、白い袋についての個数からxについての式が作れると分かります。

【ステップ３】
実際に式を作り、xを求めます。
（４５－x）＋（５９－x）＝５０
４５－x＋５９－x＝５０
１０４－２×x＝５０
逆算の考え方から
２×x＝１０４－５０と分かります。
２×x＝５４
x＝５４÷２＝２７

xを使って立式して、それを解いただけなので、方程式で解いたように見えますが、xの代わりに①（丸１）を使うと、２×xが②（丸２）と表せて、割合の問題を解いているのと同じ感覚で解けます。
中学の先生方もこの解き方なら正解として認めてくれると思います。

ということで、答えは２７個です。

手元に「中学への算数２００９年４月号」がある方は、P.３２に載っている解法と比べてみてください。

日常生活からの出題。

ある店で買い物をすると、現金ではらった金額の５％分がポイントとしてもらえます。持っているポイントは、次回からの買い物に１ポイントを１円として使うことができます。
今、花子さんと太郎さんはそれぞれ８００ポイントを持っていて、５０４０円の品物を買います。
次の（ア）（イ）（ウ）にあてはまる数を求めなさい。

（１）花子さんが、代金を現金４９４０円と持っているポイントのうちの１００ポイントではらったら、次回から使えるポイントは、残ったポイントと合わせて（ア）ポイントになりました。

（２）太郎さんが、代金（イ）円と持っているポイントのうちの（ウ）ポイントではらったら、次回から使えるポイントは、残ったポイントと合わせて３８０ポイントになりました。

以上、２００９年フェリス女学院中学校の入試問題の２番です。

また、次のような問題を出した中学もありました。

日本にあるＪ商店では、アメリカにあるＡ牧場から毎月肉を一定量輸入して日本国内で売っています。Ｊ商店はＡ牧場に、肉の値段（肉の対価）と輸送費の合計（以下、この合計のことを「仕入れ費」ということにします。）を毎月支払っています。この支払いはすべてアメリカの通貨単位であるドルで行うので、日本円を用意しているＪ商店の利益はドルの円に対する価値に左右されます。また、肉の値段は毎月ドルでは一定ですが、輸送費は原油価格の変動によりドルでも変動することがあります。
先月は１ドルは１００円でした。先月は、仕入れ費の５割の利益を見込んで定価をつけて肉を完売しました。
今月は１ドルが９０円になったので、原油高のため（ドルでの）輸送費が先月の２倍になったにもかかわらず、（円での）仕入れ費は先月の９３．６％ですみました。このため、円高還元セールとして先月の定価の３％引きの値段を肉につけましたが、完売したところ、利益は先月より９５万円多くなりました。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）先月の仕入れにおいて、肉の値段は輸送費の何倍でしたか。

（２）毎月支払っている肉の値段は何ドルですか。

これは２００９年の開成中学校の入試問題の２番です。

問題の善し悪しは別として、興味深い問題であると思い、紹介しました。
さあ、買い物好きのお母さんや、商社に勤めるお父さんだけではなく、皆さん、これらの問題に挑戦してみてください。
限られた時間の中で正解できた小６生たちはいったいどうやって解いたのでしょうね。

２００９年・智辨学園和歌山・後期（中学への算数２００９年４月号より）

赤玉４５個、白玉５５個、あわせて１００個の玉を、赤い袋と白い袋に５０個ずつ入れたところ、赤い袋に入っている赤玉の個数と白い袋に入っている白玉の個数の合計は５９個でした。赤い袋に入っている赤玉の個数は何個ですか。