２０１２年浦和明の星女子中学校（第１回）５番・解説

（１）
ある数をAとすると次のことが言えます。
０×A＝０
１×A＝A
なので、答えは０と１です。
「そのような数を全て答えなさい」ではなく、「そのような数は２つあります」となっているところに、この中学の優しさを感じますね。

（２）
（１）の結果を踏まえると、積の１の位が１になるのは３×７＝２１（７×３＝２１）しかないので、答は（３，７，１）
以上で終わりです。
少し補足すれば、残るのは偶数の１枚とありますから、奇数は全部使います。
１は奇数ですが、最初の積を作る数には使えないので、かけ算の結果の１の位が１になるものを探せば良いということです。それが一つしかないから、この３枚１組は必ずどの場合にも必要になるということです。

こう考えてみると、正答率は高かったかもしれませんね。

２０１２年浦和明の星女子中学校（第１回）５番

次のように、数が書かれた１０枚のカードがあります。
【０】【１】【２】【３】【４】【５】【６】【７】【８】【９】

この１０枚のカードから２枚を選んで取ります。そして、２枚のカードに書かれた数の積を求め、その一の位の数が書かれたカードも、残った８枚の中から取って、３枚１組を作ることを考えます。
例えば、【２】と【６】を取ると、その積は１２で、すでに【２】が取られているので３枚１組を作ることができませんが、【３】と【８】を選んで取ると、その積が２４なので、さらに【４】も取り、（【３】【８】【４】）という３枚１組を作ることができます。
このように、１０枚のカードから３枚１組を作り、残ったカードでも同じように３枚１組を作っていき、３枚１組が３組作れるようなカードの選び方を考えます。このとき、カードは１枚残ります。

（１）積を作るための２枚のカードの中の１枚に、ある数が書かれていると、他の１枚がどんな数のカードであっても３枚１組を作ることができません。そのような数が２つあります。それを答えなさい。

（２）３枚１組を３組作ったところ、偶数のカードが１枚残りました。このとき作った３組の中には、ある３枚１組が必ず含（ふく）まれています。その３枚１組を答えなさい。ただし、積を作る２つの数は小さい順に書きなさい。

昌平中学校・２０１２年第１回３番・解説

この問題を算数として解くのに必要な知識は次の通りです。
植木算
過不足算
この２つの知識をうまく融合させています。

（１）解説
これは植木算の基本で解けます。
２４÷３＝８（間の個数）
両端には植えないので木の本数が間の個数より１少なくなります。
８－１＝７
答え　７本

（２）解説
これには過不足算の知識が必要です。

過不足算でよく出されるのは次のような形です。
『子供が何人かいて、一人に６個ずつキャンディーを配ると３個余るが、一人に８個ずつ配るには５個不足する。では子供は何人か』
これを解くときは、（全体の必要数の差）÷（一人分の個数の差）で子供の数を求めます。全体では３＋５＝８個の差が生まれる。一人分の差は８－６＝２個。なので、８÷２＝４で、子供の数は４人となります。

この問題と昌平中の入試問題とを比べてみましょう。
上の問題で子供の数にあたるものが、昌平中の問題ではサクラの木の間の個数です。
一人に配るキャンディーの個数にあたるものが、一つの間に必要なツツジの木の本数です。
一つの配り方は一つの間に７本のツツジを植える。つまり子供一人あたりキャンディー７個を配るということです。
するともう一つの配り方の個数が必要だと分かりますね。
それは６ｍおきに植える時の一つの間に植えるツツジの本数です。
（１）と同じように次の式で求められます。
２４÷６＝４　４－１＝３本
キャンディーで言えば、一人に３個配るということにあたります。
では全体の必要数の差はいくつでしょうか。
１６＋１６＝３２本です。
キャンディーで言えば、全体で３２個の差があるということです。
以上をまとめて、サクラの木の、間の個数が求められます。
３２÷（７－３）＝８個

ここでまた植木算の知識を使います。
１周に植えるときは間の個数と木の本数は等しいという知識です。
ですからサクラの木は全部で８本あると分かります。
答え　８本

（３）解説
２４ｍ×８＝１９２ｍ
答え　１９２ｍ

（まとめ）
分かりにくかったかもしれないので、キャンディーの例と昌平中の問題との比較を簡単にまとめておきます。

全体の差
キャンディーの例・・・・・３＋５＝８個
昌平中の入試問題・・・・・１６＋１６＝３２本

一つあたりの差
キャンディーの例・・・・・８－６＝２個
昌平中の入試問題・・・・・７－３＝４本

求められるもの
キャンディーの例・・・・・子供の数（８÷２＝４人）
昌平中の入試問題・・・・・サクラの木の間の個数（３２÷４＝８個）

昌平中学校・２０１２年第１回３番

ある池の周りに、２４ｍおきにサクラの木が植えてあります。このサクラの木の間にツツジの木を植えるために、ツツジの木を何本か用意しました。ツツジの木を３ｍおきに植えると１６本不足し、６ｍおきに植えると１６本余ります。ただし、サクラの木と同じ場所にツツジの木は植えないものとします。
これについて、次の問いに答えなさい。

（１）２４ｍはなれた２本のサクラの木の間に、３ｍおきにツツジの木を植えます。このとき、ツツジの木は何本必要ですか。

（２）サクラの木は全部で何本植えられていますか。

（３）この池の周りの長さは何ｍですか。