立教新座２００９年算数１（３）

９７６８は、５で割っても、７で割っても、数Aで割っても余りが同じになります。このような数Aの中で、３番目に小さい数を求めなさい。ただし、数Aは５と７とは異なる数とします。

土佐塾中学校（県外Ⅱ）２００９年算数１（５）・解説（答え）

左の半円から中の直角三角形を引き、残った部分と
下の半円から中の直角三角形を引いて、残った部分を足すとを
ちょうど求める斜線の部分となります。
ところがそれぞれの直角三角形の面積を求めることはできません。
でも心配なく。
その２つを足した面積なら求められるからです。
そう、１０×６÷２＝３０です。

以上をまとめると

２つの半円の面積の和は
３×３×３．１４÷２＋５×５×３．１４÷２
＝（９＋２５）×３．１４÷２
＝１７×３．１４
＝５３．３８

そこから直角三角形の面積の和にあたる３０を引いて
答えは２３．３８（平方センチメートル）となります。

土佐塾中学校（県外Ⅱ）２００９年算数１（５）

すでに今年の中学入試も始まっています。
土佐塾の東京での試験を受けた生徒から質問された問題のうちのひとつを紹介します。

【問題】図は、長方形と２つの半円を組み合わせたものです。斜線部分の面積は何平方センチメートルですか。ただし円周率は３・１４とします。
分かりづらいので補足します。長方形のたては６ｃｍ、横は１０ｃｍです。

日能研の模試（１１月３０日実施分）７番・解説

まず（１）から。
１辺１ｃｍの正方形ＡＢＣＤに対し
三角形BCEは面積が1/6（６ぶんの１）なので
底辺をBCとすると、高さは正方形ABCDの１辺の1/3（３ぶんの１）になります。
なぜなら、三角形BCEの２倍の長方形のたての長さは正方形ABCDの1/3（３ぶんの１）になるからです。
これで（１）の答えが求められます。
１÷３で1/3（３ぶんの１）ｃｍです。

（２）はDE：CEの長さの比から考えます。
CEが1/3（３ぶんの１）ｃｍなので、DE：CEは２：１です。
ここで、三角形ＤＦＥと三角形ＢＣＥは面積が等しいので
DEやCEを底辺と考えた時の高さは逆比で、１：２になります。
ですから、点Fは辺BEの真ん中にあるとわかります。
すると、三角形ＤＦＥと三角形ＢＦＩは高さの比が１：１となるので
底辺の比（DE：BI）も１：１となり
BI＝DE＝２/3（３ぶんの２）ｃｍと分かります。
この結果、AIの長さは1/3（３ぶんの１）ｃｍとなり
三角形AIFは正方形ABCDを６等分した面積のさらに1/２（２ぶんの１）と分かります。
ですから三角形AFHは６等分した面積１/２（２ぶんの１）
これと並ぶ三角形ＨＦＧとＧＦＤは６等分した面積そのままですから
AH、HG、GDを底辺と考えると、いずれも頂点がFと考えられ、高さが等しいので、その３辺の比は面積の比と同じになります。
つまり１：２：２です。
ですから、ＡＨの長さは１ｃｍ×{１/（１＋２＋２）}＝１/５（５ぶんの１）ｃｍとなります。