四谷大塚６年夏期講習・講習会判定テスト第２回・２番（６）・解き方

この形から、台形を思い浮かべるのは自然だと思います。
台形の面積として求めるのが普通でしょうか。

求める図形をＮ番目としてみましょう。
すると、一番上の段の個数はＮ個となるので、
合計の個数は次の式で表せます。

〔Ｎ＋｛Ｎ＋（Ｎー１）｝〕×Ｎ÷２
（上底＋下底）×高さ÷２の式と比べて理解してください。
｛Ｎ＋（Ｎ－１）｝の部分が下底にあたります。

この式を整理していきましょう。
（Ｎ＋２×Ｎ－１）×Ｎ÷２
これが１１７個なので次の式ができます。

（Ｎ＋２×Ｎ－１）×Ｎ＝１１７×２

さらに整理してみましょう。

（３×Ｎ－１）×Ｎ＝２３４

ここで２３４を素数の積で表してみます。
２３４＝２×３×３×１３

（３×Ｎ－１）×Ｎ＝２×３×３×１３
この式から
２６×９を見つけ、Ｎ＝９と求められます。

四谷大塚が配布した解説の式はこの解き方をコンパクトにしたものでしょう。
でも、とても分かりづらいですね。

そこで、別の解き方がないか、考えてみましょう。
例えば４番目の形は次のように見ることができます。

○○○○
○○○○●
○○○○●●
○○○○●●●

つまり左側の白石の部分は４×４（４の平方数）
右側の黒石の部分は１＋２＋３（１から３までの合計、つまり３までの三角数）
と考えられます。

だから、求める図形は
Ｎの平方数と
（Ｎ－１）までの三角数の合計となります。

三角数というのをもっと詳しく知りたい人は、日能研ブックスの「算数ベストチェック」の５２ページを読んでください。

１１７に近い平方数をみつけていきましょう。
１００＝１０×１０
三角数は（１＋９）×９÷２＝４５
１００＋４５＝１４５
だから、これは当てはまりません。

次は
８１＝９×９
三角数は（１＋８）×８÷２＝３６
８１＋３６＝１１７
あ～、ピッタリですね（＾ｏ＾）

これなら簡単に、しかも短時間で求められると思います。

なお、４５の一つ前の三角数を求める時は、４５－９と計算するともっと速いですね。
意味は分かりますね。
１から９までの合計から９を引けば１から８までの合計になります。

答え　９番目