2011年中学入試問題・芝浦工業大学柏中学２番（２）・解説

与えられた条件を順に挙げてみましょう

（その１）３けたの整数についての問題である。
（その２）各位の数を加えると１６で、十の位の数の３倍は他の位の数の和に等しい。
（その３）数字を逆に並べた３けたの整数が、もとの整数より５９４大きい。

（その１）と（その２）から、十の位の数を【１】とすると、他の位の数の和、つまり百の位と一の位の数の和が【３】と表せます。
そしてその合計つまり【４】が１６にあたります。
ですから１６÷【４】＝４
十の位の数は４です。（分かったこと１）
また、百の位の数と一の位の数の和は１２です。（分かったこと２）

次に（その３）で与えられたことを筆算の形で表してみます。
（もとの整数の百の位の数をＡ、一の位の数をＢとします。）

　Ｂ４Ａ
－Ａ４Ｂ
　５９４

Ｂ＞Ａですから、一の位の計算から１Ａ－Ｂ＝４と分かります。
分かりやすく書くと、１０＋Ａ－Ｂ＝４ですね。
これを整理するとＢ－Ａ＝６となります。
分かりにくい場合は百の位の数から考えても同じ結果が得られます。
百の位では、Ｂから下の位に１あげていますから次の式が得られます。
（Ｂ－１）－Ａ＝５
これを整理するとＢ－Ａ＝６が得られます。
（わかったこと２）より、Ａ＋Ｂ＝１２でしたね。
まとめます。
Ａ＋Ｂ＝１２
Ｂ－Ａ＝６
ここでＡとＢについて和差算を使います。
Ａ＝（１２－６）÷２＝３
Ｂ＝１２－３＝９
これと（わかったこと１）から答えは３４９と分かります。

（答え）３４９

2011年中学入試問題・芝浦工業大学柏中学２番（２）

３けたの整数があります。
各位の数を加えると１６で、十の位の数の３倍は他の位の２つの数の和に等しくなっています。
数字を逆に並べた３けたの整数が、もとの整数よりも５９４大きいとき、もとの整数を求めなさい。

2011年中学入試問題・渋谷教育学園幕張中２番・解説

ここではチャート自体を表記するのが難しいので、式のみでの説明となってしまいます。

（問い１）にも（問い２）にも使えるように、初めのＡ、Ｂ、Ｃの袋に入れた個数をそれぞれ〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕とします。
また（２）の操作でＡの袋からＢの袋に移す個数を【１】とします。

それぞれの袋の個数の変化を示します。

Ａの袋
〔Ａ〕
　↓（２）の操作で【１】がＡからＢへ移る。
〔Ａ〕－【１】
　↓（４）の操作で【４】がＣからＡへ移る。
〔Ａ〕＋【３】

Ｂの袋
〔Ｂ〕
　↓（２）の操作で【１】がＡからＢへ移る。
〔Ｂ〕＋【１】
　↓（３）の操作で【２】がＢからＣへ移る。
〔Ｂ〕－【１】

Ｃの袋
〔Ｃ〕
　↓（３）の操作で【２】がＢからＣへ移る。
〔Ｃ〕＋【２】
　↓（４）の操作で【４】がＣからＡへ移る
〔Ｃ〕－【２】

各袋の最後の個数は次の通りです。

Ａの袋→〔Ａ〕＋【３】
Ｂの袋→〔Ｂ〕－【１】
Ｃの袋→〔Ｃ〕－【２】

それではまず（問い１）について考えましょう。

初めの個数は同じ（〔Ａ〕＝〔Ｂ〕＝〔Ｃ〕）ですから、差がもっとも大きくなる場合はＡの袋とＣの袋の差がもっとも大きくなる場合です。
そのときの差は【５】です。
もっとも少なくなるＣの最後の個数を０としてみます。
もっとも多くなるＡの最後の個数をなるべく大きくするためには〔Ａ〕を最大にします。
〔Ａ〕＝〔Ｂ〕＝〔Ｃ〕を忘れないでください。
２００÷３＝６６余り２ですから、〔Ａ〕＝６６となります。
このとき〔Ｃ〕－【２】＝０としてありますから、【２】＝６６
つまり
【１】＝３３となります。

これを各袋の変化にあてはめてみると次のようになります。

Ａの袋
６６
　↓
３３
　↓
１６５

Ｂの袋
６６
　↓
９９
　↓
３３

Ｃの袋
６６
　↓
１３２
　↓
０

どこにもおかしな数字が出てきませんからこれが個数の差がもっとも大きくなる場合と考えられます。
（答え）１６５個


今度は（問い２）について考えます。

最後の個数が同じなので次の式が成り立ちます。
〔Ａ〕＋【３】＝〔Ｂ〕－【１】＝〔Ｃ〕－【２】

〔Ｂ〕をもっとも大きくしたいのですから、最後の個数を、考えられる最大の数の６６としてみます。
つまり〔Ａ〕＋【３】＝６６
ここで最小となる〔Ａ〕は【１】以上でないといけないので
６６÷４＝１６余り２を計算します。
この結果〔Ａ〕は１６以上の数と分かります。
（この式の意味は線分図を使うと分かりやすいです。）
ここで、【３】は明らかに３の倍数ですし、６６も３の倍数ですから、〔Ａ〕も３の倍数です。
また〔Ｂ〕－【１】＝６６より
〔Ｂ〕＝６６＋【１】なので
〔Ｂ〕をもっとも大きくするためには【１】をなるべく大きくした方がよいと分かります。
以上をまとめると
〔Ａ〕＝１８
【１】＝１６
となります。
これにより、〔Ｂ〕＝６６＋１６＝８２と分かります。
（答え）８２個

2011年中学入試問題・渋谷教育学園幕張中２番

２００個の玉とA、B、C３つの空の袋があります。
これから次の（１）～（４）の操作を順番に行います。

（１）A、B、Cの３つの袋に、空の袋ができないように玉を入れる。ただし、玉は２００個全部を袋に入れなくてもよい。

（２）Aの袋からいくつか玉を取り出し、Bの袋へ入れる。

（３）Bの袋から、Aの袋からもらった玉の２倍の数の玉を取り出し、Cの袋へ入れる。

（４）Cの袋から、Bの袋からもらった玉の２倍の数の玉を取り出し、Aの袋へ入れる。

（１）～（４）の操作を一度だけ行うとき、次の各問いに答えなさい。


（問い１）
（１）の操作で、A、B、Cの３つの袋にそれぞれ同じ数の玉を入れました。（４）の操作を終えたとき、中に入っている玉が一番多い袋と一番少ない袋の玉の個数の差がもっとも大きくなる場合、その差は何個ですか。

（問い２）
（４）の操作を終えたとき、３つの袋に入っている玉の個数がすべて同じになりました。（１）の操作でBの袋に入れられる玉の個数はもっとも多くて何個ですか。


なお、問題全部と解答は下記のサイトで公開されています。
四谷大塚データベース

2011年中学入試・灘中（第１日）２番・解説

各位の数字がどの２つも異なっている５桁の整数で最大の数は？
↓
９８７６５
↓
９８７６５に近い１１の倍数を探せば良いですね。
↓
９８７６５÷１１＝８９７８余り７
↓
９８７６５－７＝９８７５８
↓
８が重なっているのでこれは答えになりません。
ここから順に１１を引いてチェックしていきます。
下２桁の５８から１１を引くのですから、しばらくは下２桁しか変化しません。
その作業をしながら「９」「８」「７」以外の数字の２桁の数になればそれが答えになるということです。
意外と易しいですよね。
灘の先生は優しいですよね。
↓
５８－１１＝４７（残念、７が重なっています）
↓
４７－１１＝３６（もうビンゴ！です）
↓
（答え）９８７３６

2011年中学入試・灘中（第１日）２番

１１の倍数である５桁の整数で、各位の数字がどの２つも異なっているもののうち、最も大きいものは（　　　　　　）です。

2011年中学入試・海陽中等教育学校 特別給費生入試４番・解説

この解説では時刻は全て２４時制で表します。

（１）
これは単純な植木算の問題ですね。
２０時４５分－９時４５分＝１１時間＝６６０分
６６０分÷６分＝１１０
間の数が１１０ですから木の数は１をたして１１１本
ここでは入場回数が１１１回ということです。
（答え）１１１回目

（２）
１１回目の入場直後とは９時４５分の何分後か。ここを間違えないように。
植木算の考え方で間の数は１１－１＝１０個。
つまり、６分×１０＝６０分後ということです。
（時刻は１０時４５分です。）
ここまでに増えた人数を求めます。
８人×６０分＝４８０人
初めに並んでいた人数を足すと４８０＋２８０＝７６０人。
もし１回も入場させていなければ７６０人が並んでいることになります。
ところが実際に並んでいるのは３６４人ですから、入場した合計人数が求められます。
７６０－３６４＝３９６（人）
この３９６人は１１回入場した人数の合計ですから、１回あたりの入場者数は次の式で求められます。
３９６÷１１＝３６
（答え）３６人

（３）
３６（人）×１１１（回）＝３９９６（人）
（答え）３９９６人

（４）
１０時１分－９時４５分＝１６分
８（人）×１６＝１２８（人）
初めの人数を足すと１２８＋２８０＝４０８（人）
初めに並んでいた人数も含めて数えると
４０１人目から４０８人目の人が１０時から１０時１分に並んだ８人です。
この８人が何回目に入場できるかと考えます。
４０８÷３６＝１１余り１２人
１１＋１＝１２
１２回目に入場できます。
ここで気を付けなければいけないのは、１２回目は９時４５分の何分後かということです。
ここも植木算です。
６（分）×（１２－１）＝６６（分後）＝１時間６分後
９時４５分＋１時間６分＝１０時５１分
（答え）１０時５１分

（５）
大体考え方はつかめたと思うので、後は少し説明を簡単にしていきます。
１２時－９時４５分＝２時間１５分＝１３５分
８（人）×１３５＝１０８０（人）
１０８０＋２８０＝１３６０（人）・・・並んだのべ人数
１３５（分）÷６（分）＝２２余り３（分）
１２時までに２２＋１＝２３（回）の入場がありました。
入場した人数を計算します。
３６×２３＝８２８（人）
１３６０－８２８＝５３２
（答え）５３２人

（６）
この問題では（３）の答えが使えます。
のべ３９９６人の人が入場できますから、３９９６番目の人が何時に並ぶかと考えましょう。

初めの人数
２８０人

９時４５分から１５時までに並んだ人数
１５時－９時４５分＝３１５（分）なので
８（人）×３１５＝２５２０（人）

１５時から１８時までに並んだ人数
１８時－１５時＝１８０（分）なので
６（人）×１８０＝１０８０（人）

ここまでの合計を求めます。
２８０＋２５２０＋１０８０＝３８８０（人）

あと何人が入場できるか求めます。
３９９６－３８８０＝１１６（人）

１８時からは１分あたり３人の割合になりますから次の計算をします。
１１６÷３＝３８と２／３（分）

（答え）午後（６）時（３８と２／３）分

2011年中学入試・浦和明の星中学・算数解答解説（速報）

問題と答えはネット上に公開されているのでそちらを参照のこと。

これからの受験への準備に活用してもらうため、ヒントや目の付け方を載せました。

１
（１）計算問題・基本
（２）通過算・基本
（３）アの上の空白とイの上の空白との面積比は相似を活用すれば３：１と分かります。アの上の空白は４×４－１０＝６（平方センチ）です。
（４）Aが６ならBは２か３。Aが４ならBは２。ところがCDは３か５しかありえないので、Bは２と分かります。
（５）線分図が活用できますね。
（６）つるかめ算。１００グラム当たりの量をもとに面積図。
（７）３６４００円－２８００円＝３３６００円　３３６００円÷１００円＝３３６　人数は３３６の約数で２９以上の数。なぜなら２８００円（２８枚）余ったから。次に２８００円÷１０円＝２８０　人数は２８０の約数で４１以上の数。なぜなら４００円（４０枚）余ったから。
（８）５秒単位で６０秒の数直線を書き、各歯車の隠れる時間に線を引いてみましょう。

２
（１）等積変形を使った「長方形中の１点と４つの頂点から作られる４つの三角形は向かい合うもの同士の面積の和が長方形の半分になっている」という知識があれば簡単。
（２）和差算。和が３００（平方センチ）。差が６０（平方センチ）。
（３）辺の比の基本。（２）の結果より三角形OBCの高さがABの３／５と分かります。三角形SBCの高さはABの１／２。三角形OBCの高さ：三角形SBCの高さ＝OB：SB

３
「同じ時間に進む距離の比＝速さの比」を使います。
（１）丸１　明子さん：歩道＝６０（メートル）：（６０－１５）（メートル）
（１）丸２　明子さん：歩道＋父＝（６０－１７－１３）（メートル）：６０（メートル）
（２）（１）で分かった比の数をそのまま２人の秒速として計算してしまえば楽。父がBに来たときの２人の距離は２０メートル。父がCに来たときの２人の距離は１７メートル。３メートル縮まるのに何秒かかるかを考えます。

４
（１）５分で１０センチ×２０回＝２００センチ＝２メートル進む。１０分休むから、５５分÷（５分＋１０分）＝３余り１０分　この余りに注意すること。　余りの１０分のうち最初の５分でまた２メートル進んでいます。
（２）丸１　植木算の考え方。２０回ジャンプしたということは途中の休みは１９回。だから２センチ×１９回＝３８センチ戻されます。２００（センチ）－３８（センチ）＝１６２（センチ）
（２）丸２　丸１より１６２センチ登っては８０センチ下がることの繰り返しになると分かるから、９００（センチ）÷（１６２－８０）（センチ）＝１０余り８０センチ　この余りの８０センチは最後に下がった分と考えれば１０回目のジャンプでちょうど９００センチ登ったことになります。５分×１０回＋１０分×９回＝１４０分

５
（１）分かる所から埋めていけば良いですね。
（２）消去算の応用ですが、５つの数の和が１５になることも使うのを忘れないように。下のような表を作ると分かりやすいです。
A　B　☆　C　D　（値の和）
１　２　１　　　　　　１２
　　１　２　１　　　　◎
　　　　１　２　１　　１１
１　４　６　４　１　　４７
１　１　１　１　１　　１５

個人的には１（３）（８）、３が面白い問題だと思います。今後の受験の為に、しっかりチェックして欲しいです。

2011年中学入試・海陽中等教育学校 特別給費生入試４番

中国上海万国博覧会のテーマパークの人気アトラクションには開門と同時に人が列を作り始め、午前９時４５分の第１回目の入館の直前には２８０人が並んでいました。
入館は６分ごとに一定人数ずつ行いますが、入館待ちの行列には１分間に８人の割合で人が増え、１１回目の入館直後には３６４人が並んでいました。
また、最終の入館時間は午後８時４５分となっています。

（１）最終の入館は第何回目の入館ですか。

（２）１回ごとの入館人数は何人ですか。

（３）１日の入館人数は最高で何人までですか。

（４）午前１０時から午前１０時１分の間に並んだ８人が入館したのは何時何分ですか。

（５）正午には何人の人が入館待ちの列に並んでいましたか。

（６）入館待ちの行列に加わる人の数は午後３時からは１分間に６人の割合に、さらに午後６時からは１分間に３人の割合に減りました。最終の入館時刻を厳守するならば、午後何時何分に並ぶ人で行列を終わらせればよいですか。