（１）
どんな組み合わせがあるのか、見やすく書き出してみましょう。
５個の合計が重くなる順番に書き出していきます。
Ａ（大） Ｂ（中） Ｃ（小）
３個 １個 １個
２個 ２個 １個
２個 １個 ２個
１個 ３個 １個
１個 ２個 ２個
１個 １個 ３個
あれあれ、「５通りの重さががあることがわかりました」と問題文に書いてありますが、組み合わせは６通りありますね。
この中のどれか２つの組み合わせは同じ重さだということです。
比べにくいので、最初に１個ずつをそれぞれの袋にいれてしまったと考えて、残り２個の入れ方だけを比べてみましょう。
Ａ（大） Ｂ（中） Ｃ（小）
２個 ０個 ０個
１個 １個 ０個
１個 ０個 １個
０個 ２個 ０個
０個 １個 １個
０個 ０個 ２個
こうして比べてみると、３番目と４番目では、どちらが重くなるのか分からないですね。
つまり、この２種類の組み合わせは同じ重さの可能性があるということです。
すると、この２種類が同じ重さだと考えないと、重さが５通りということにならないと分かります。
つまり同じ重さになるのは（２、１、２）と（１、３、１）です。
答え（２，１，２）と（１，３，１）
（２）
重い順に、それぞれの組み合わせに記号を付けましょう。
Ａ（大） Ｂ（中） Ｃ（小）
３個 １個 １個・・・・・（１番目）
２個 ２個 １個・・・・・（２番目）
２個 １個 ２個・・・・・（３番目）
１個 ３個 １個・・・・・（３番目）
１個 ２個 ２個・・・・・（４番目）
１個 １個 ３個・・・・・（５番目）
２番目の合計は７９ｇ
４番目の合計は７１ｇ
ここで３番目の重さが２種類あることにも注目しましょう。
２個 １個 ２個・・・・・（３番目）
１個 ３個 １個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
つまり
１個 ０個 １個・・・・・（３番目）
０個 ２個 ０個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
このことから次のことが分かります。
Ａ１個とＣ１個の合計と、Ｂ２個が同じ重さ。
↓
ＡとＣの平均はＢと等しい。
↓
ＡとＢとの差、ＢとＣとの差は等しい。
そこで、ＡとＢとの差＝ＢとＣとの差＝【１】とすると、それぞれの玉の重さは次のように、一番軽いＣを基準にして表すことができます。
Ｃ１個の重さ＝Ｃ
Ｂ１個の重さ＝Ｃ＋【１】
Ａ１個の重さ＝Ｂ＋【１】＝Ｃ＋【２】
これを使って７９ｇとなる組み合わせから式を作ってみましょう。
Ａ２個＋Ｂ２個＋Ｃ１個
＝（Ｃ＋【２】）×２＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×２＋【２】×２＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×５＋【４】＋【２】
＝Ｃ×５＋【６】・・・・・これが７９ｇと等しい。
次に７１ｇとなる組み合わせからも式を作ります。
Ａ１個＋Ｂ２個＋Ｃ２個
＝（Ｃ＋【２】）×１＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×１＋【２】×１＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×５＋【２】＋【２】
＝Ｃ×５＋【４】・・・・・これが７１ｇと等しい。
２つの式を比べてみます。
Ｃ×５＋【６】＝７９ｇ
Ｃ×５＋【４】＝７１ｇ
ここから、
【６】－【４】＝７９ｇ－７１ｇ
【２】＝８ｇ
【１】＝４ｇ
さらに【４】＝１６ｇですから、
Ｃ×５＝７１ｇ－１６ｇ
Ｃ×５＝５５ｇ
Ｃ＝１１ｇ
Ｂ＝１１＋４＝１５ｇ
Ａ＝１５＋４＝１９ｇ
答え Ａ１９ｇ Ｂ１５ｇ Ｃ１１ｇ
別解
Ａ１個＋Ｃ１個＝Ｂ２個を使って消去算として考える方法。
７９ｇ＝Ａ×２＋Ｂ×２＋Ｃ×１・・・・・（式あ）
７１ｇ＝Ａ×１＋Ｂ×２＋Ｃ×２・・・・・（式い）
（式あ）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７９ｇ＝Ａ×２＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×１
７９ｇ＝Ａ×３＋Ｃ×２・・・・・（式う）
（式い）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７１ｇ＝Ａ×１＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×２
７１ｇ＝Ａ×２＋Ｃ×３・・・・・（式え）
（式う）×２より
１５８ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×４・・・・・（式お）
（式え）×３より
２１３ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×９・・・・・（式か）
（式か）－（式お）より
５５ｇ＝Ｃ×５
これより、Ｃ＝１１ｇ
（式う）にＣ＝１１を代入して、Ａ＝（７９－２２）÷３＝１９
Ａ＋Ｃ＝Ｂ×２なので、Ｂ＝（１１＋１９）÷２＝１５
答え Ａ１９ｇ Ｂ１５ｇ Ｃ１１ｇ
どんな組み合わせがあるのか、見やすく書き出してみましょう。
５個の合計が重くなる順番に書き出していきます。
Ａ（大） Ｂ（中） Ｃ（小）
３個 １個 １個
２個 ２個 １個
２個 １個 ２個
１個 ３個 １個
１個 ２個 ２個
１個 １個 ３個
あれあれ、「５通りの重さががあることがわかりました」と問題文に書いてありますが、組み合わせは６通りありますね。
この中のどれか２つの組み合わせは同じ重さだということです。
比べにくいので、最初に１個ずつをそれぞれの袋にいれてしまったと考えて、残り２個の入れ方だけを比べてみましょう。
Ａ（大） Ｂ（中） Ｃ（小）
２個 ０個 ０個
１個 １個 ０個
１個 ０個 １個
０個 ２個 ０個
０個 １個 １個
０個 ０個 ２個
こうして比べてみると、３番目と４番目では、どちらが重くなるのか分からないですね。
つまり、この２種類の組み合わせは同じ重さの可能性があるということです。
すると、この２種類が同じ重さだと考えないと、重さが５通りということにならないと分かります。
つまり同じ重さになるのは（２、１、２）と（１、３、１）です。
答え（２，１，２）と（１，３，１）
（２）
重い順に、それぞれの組み合わせに記号を付けましょう。
Ａ（大） Ｂ（中） Ｃ（小）
３個 １個 １個・・・・・（１番目）
２個 ２個 １個・・・・・（２番目）
２個 １個 ２個・・・・・（３番目）
１個 ３個 １個・・・・・（３番目）
１個 ２個 ２個・・・・・（４番目）
１個 １個 ３個・・・・・（５番目）
２番目の合計は７９ｇ
４番目の合計は７１ｇ
ここで３番目の重さが２種類あることにも注目しましょう。
２個 １個 ２個・・・・・（３番目）
１個 ３個 １個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
つまり
１個 ０個 １個・・・・・（３番目）
０個 ２個 ０個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
このことから次のことが分かります。
Ａ１個とＣ１個の合計と、Ｂ２個が同じ重さ。
↓
ＡとＣの平均はＢと等しい。
↓
ＡとＢとの差、ＢとＣとの差は等しい。
そこで、ＡとＢとの差＝ＢとＣとの差＝【１】とすると、それぞれの玉の重さは次のように、一番軽いＣを基準にして表すことができます。
Ｃ１個の重さ＝Ｃ
Ｂ１個の重さ＝Ｃ＋【１】
Ａ１個の重さ＝Ｂ＋【１】＝Ｃ＋【２】
これを使って７９ｇとなる組み合わせから式を作ってみましょう。
Ａ２個＋Ｂ２個＋Ｃ１個
＝（Ｃ＋【２】）×２＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×２＋【２】×２＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×５＋【４】＋【２】
＝Ｃ×５＋【６】・・・・・これが７９ｇと等しい。
次に７１ｇとなる組み合わせからも式を作ります。
Ａ１個＋Ｂ２個＋Ｃ２個
＝（Ｃ＋【２】）×１＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×１＋【２】×１＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×５＋【２】＋【２】
＝Ｃ×５＋【４】・・・・・これが７１ｇと等しい。
２つの式を比べてみます。
Ｃ×５＋【６】＝７９ｇ
Ｃ×５＋【４】＝７１ｇ
ここから、
【６】－【４】＝７９ｇ－７１ｇ
【２】＝８ｇ
【１】＝４ｇ
さらに【４】＝１６ｇですから、
Ｃ×５＝７１ｇ－１６ｇ
Ｃ×５＝５５ｇ
Ｃ＝１１ｇ
Ｂ＝１１＋４＝１５ｇ
Ａ＝１５＋４＝１９ｇ
答え Ａ１９ｇ Ｂ１５ｇ Ｃ１１ｇ
別解
Ａ１個＋Ｃ１個＝Ｂ２個を使って消去算として考える方法。
７９ｇ＝Ａ×２＋Ｂ×２＋Ｃ×１・・・・・（式あ）
７１ｇ＝Ａ×１＋Ｂ×２＋Ｃ×２・・・・・（式い）
（式あ）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７９ｇ＝Ａ×２＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×１
７９ｇ＝Ａ×３＋Ｃ×２・・・・・（式う）
（式い）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７１ｇ＝Ａ×１＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×２
７１ｇ＝Ａ×２＋Ｃ×３・・・・・（式え）
（式う）×２より
１５８ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×４・・・・・（式お）
（式え）×３より
２１３ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×９・・・・・（式か）
（式か）－（式お）より
５５ｇ＝Ｃ×５
これより、Ｃ＝１１ｇ
（式う）にＣ＝１１を代入して、Ａ＝（７９－２２）÷３＝１９
Ａ＋Ｃ＝Ｂ×２なので、Ｂ＝（１１＋１９）÷２＝１５
答え Ａ１９ｇ Ｂ１５ｇ Ｃ１１ｇ