両替（スプリングサピックス・H51ｰ02・P10・1番） 解き方

1円玉を5円玉に両替すると1回の両替で枚数は何枚減るでしょうか。
→4枚

では84枚減ったということは何回両替したのでしょうか。
→84÷4＝21　　21回

では5円玉は何枚あることになるでしょうか。
→21枚

ここまでをチャート(流れの図）にしてみます。

1円玉　㋐枚
↓
（両替作業）1円玉を5円玉に両替
↓
5円玉　21枚
1円玉　㋑枚（㋑は4以下）

この21枚の5円玉を、今度は50円玉に両替します。

21枚の5円玉をできるだけ多くの50円玉に両替すると50円玉と5円玉はそれぞれ何枚になるでしょうか。
→21÷10＝2余り1ですから、50円玉が2枚、5円玉が1枚になります。

これをチャートに書き足しましょう。

1円玉　㋐枚
↓
（両替作業）1円玉を5円玉に両替
↓
5円玉　21枚
1円玉　㋑枚（㋑は4以下）
↓
（両替作業）5円玉を50円玉に両替
↓
50円玉　2枚
5円玉　1枚
1円玉　㋑枚

このときの硬貨の枚数は6枚ということは、㋑はいくつでしょうか。
→6－（2＋1）＝3　　3（枚）

では総額はいくらでしょうか。
→50×2＋5×1＋1×3＝108　　108円

最初に1円玉は何枚あったことになるでしょうか。
→108÷1＝108　　

答え　108枚

 

2023年中学入試問題・算数・渋谷教育学園渋谷中学（第1回）1番（4）改題・解き方

一見めんどくさそうですが、実際に36の約数を書き出すと意外と簡単に解けます。

2つの数の積で約数を見つける癖がある人は直ぐに気がついたかもしれません。

（1×36）（2×18）（3×12）（4×9）（6×6）

ここに並んでいる9つの数が36の約数です。
6以外の組合せは異なる数字の積で36となっていますから、オに入る数は6の様ですね。
すると、次の4つの式ができます。
        1×6×36・・・（A）
        2×6×18・・・（B）
        3×6×12・・・（C）
        4×6×9・・・（D）

いずれの積も216でそろっています。

ということで、オは6で、それをはさむ2つの数の積は36となります。
すると、イ×クも、エ×カも36ということになりますから、イ×ク×エ×カ＝36×36＝1296となります。

答え　1296

SAPIX6年202211月度マンスリー実力テスト4番（2）改題 解き方

11％を基準にして、それより濃い部分の塩と薄い部分の塩が同じになるということを利用して解きます。

Aでは、□グラム×（11－6）の塩が不足。
Bでは、200グラム×（12－11）の塩が過剰。
Cでは、300グラム×（15－11）の塩が過剰。
以上より、□×5＝200×1＋300×4となり、
□＝1400÷5＝280
となります。

答え　280

2021年サピックス8月入室・マンスリー実力テスト（6年）1番（2）・解答

答えを出すだけなら簡単ですが、ここでは分配法則の確認をしておきましょう。

その方が計算も楽です。

 

　1.1×1.1＋2.2×2.2＋3.3×3.3＋4.4×4.4

＝1.1×1×1.1×1＋1.1×2×1.1×2＋1.1×3×1.1×3＋1.1×4×1.1×4

＝1.1×1.1×（1×1＋2×2＋3×3＋4×4）

＝1.21×（1＋4＋9＋16）

＝1.21×30

＝36.3

2021年算数・中学入試問題・暁星中学帰国生入試・5番・解き方

更新が遅くなり申し訳ありません。

他の生徒にも出してみましたが、みんな解けませんでした。

ヒントとして、大きい正方形の左にも下のと同じ長方形を描いてみようと言うと、そこで気がつけた子もいました。

そう、大きい正方形の面積が８平方センチメートルなので、対角線の長さは４センチメートル。

つまり元の線とつなげると、１辺が４㎝の正三角形となります。

だから答えは、（９０－６０）÷２＝１５度です。

今年はラサールの４番も面白い平面図形の問題でしたね。

2018年中学入試問題・算数・武蔵中学校・4番・解き方

ある数を3で割ったあまりを「数（あまり）」と表すことにします。
1（1）　2（2）　3（0）　4（1）　5（2）　6（0）・・・・・・・・11（2）　12（0）　13（1）といったことになります。

（問題1）
119（2）→（ア）→40（1）→（イ）→41（2）→（ア）→14（2）→（ア）→5
以上より、答えは
119→40→41→14→5


（問題2）
4から逆に戻していきます。
矢印は「操作」の方向を表しています。
4（1）←（ア）4×3－1←11（2）←（ア）11×3－1←32（2）←（ア）32×3－1←95
4（1）←（ア）4×3－1←11（2）←（ア）11×3－1←32（2）←（イ）32－1←31
4（1）←（ア）4×3－1←11（2）←（イ）11－1←10（1）←（ア）10×3－1←29
4（1）←（イ）4－1←3（0）←（ア）3×3－1←8（2）←（ア）8×3－1←23
4（1）←（ア）4×3－1←11（2）←（イ）11－1←10（1）←（イ）10－1←9
4（1）←（イ）4－1←3（0）←（ア）3×3－1←8（2）←（イ）8－1←7
4（1）←（イ）4－1←3（0）←（イ）←ここに（イ）は使えないから、この先はなし。
以上より、答えは
7、9、23、29、31、95


（問題3－1）
1から逆に戻していきます。
矢印は「操作」の方向を表しています。
1（1）←（ア）←2（2）←（ア）←5（2）←（ア）←14ダメ（11以上だから）
1（1）←（ア）←2（2）←（ア）←5（2）←（イ）←4（1）←（イ）←3（0）←（ア）←8（2）←（イ）←7（1）（イ）←6（0）←（ア）←17ダメ（11以上だから）
以上で8までの全ての数が出ましたから、8までだと6が一番操作の回数が多いと言えます。
回数は7回。
9と10も確認してみましょう。
今度は「操作」の通りに計算するので、矢印が逆になります。
9（0）→（イ）→10（1）→（イ）→11（2）→（ア）→4（1）→（イ）→5（2）→（ア）→2（2）→（ア）→1より、9は6回です。
10は5回です。
以上より、答えは
6　7回


（問題3－2）
（問題2）や（問題3－1）を解きながら、次のことに気付いたと思います。
（イ）の方が（ア）より数の変化が小さいので、（イ）が多い方が回数が多くなる。
余りが0の数から始めると、（イ）が2回続いてから（ア）になるので、回数が稼げそう。

その視点でもう一度（問題3－1）を確認してみましょう。
6（0）→7（1）→8（2）→3（0）→4（1）→5（2）→2（2）→1
6（0）→7（1）→8（2）→3（0）→4（1）→5（2）→2（2）→1
確かに（イ）（イ）（ア）が続いていますね。
ちなみに、最後の5（2）→2（2）→1は変えられないので、その前について考えてみましょう。
上記以外の5につながるパターンは次のものです。
12（0）→13（1）→14（2）→5（2）
これは12が10を超えていますから、（問題3－1）では答えに合いませんが、そもそも、いきなり大きな数になっていますから、回数は稼げなさそうですね。
現に、12は5回になりますね。
やはり（イ）（イ）（ア）とつなげるのが一番の様です。
さて、（問題3－2）では、50以下という条件ですから、6の前を同じように数A（0）→数B（1）→数C（2）→6（0）のパターン、つまり（イ）（イ）（ア）のパターンでつなげていくことができそうです。
やってみましょう。
数A（0）→数B（1）→数C（2）→6（0）
A＝15　B＝16　C＝17
これをもとに考えていきましょう。
15（0）→16（1）→17（2）→
6（0）→7（1）→8（2）→
3（0）→4（1）→5（2）→
2（2）→1

15の前も同じパターンでつなげそうです。
44（2）→15（0）ですから、次のパターンを前につなげられます。
42（0）→43（1）→44（2）
42の前に同じパターンを作ることは出来ませんね。
なぜなら、125（2）→42（0）だからで、125は50を超えているからです。
数えてみると、42は13回となっています。

また、5（2）の前に違うパターンをつなげると、14（2）→5（2）なので
12（0）→13（1）→14（2）
念のため、同じように前にたどってみましょう。
33（0）→34（1）→35（2）
33（0）の前は98（2）ですから、50を超えているので使えません。
33は8回です。
そうしてみると、（問題3－2）冒頭に書いたとおり、数A（0）→数B（1）→数C（2）をつなげていくと、回数が一番多くなります。
ですから、42から始めるのが一番回数が多いと言えます。
もう一度整理して書いてみましょう。
42（0）→43（1）→44（2）→15（0）→16（1）→17（2）→6（0）→7（1）→8（2）→3（0）→4（1）→5（2）→2（2）→1
数A（0）→数B（1）→数C（2）のパターンが4回続いています。
以上より、答えは
42　13回


別解として、次のようなアプローチも考えられます。
やはり、余りが0の数から始めると回数が稼げる事を使います。
説明の為にくどくど書いていますが、実際に解くときは、ルールを守って数列を書き出していけば充分です。
途中に出た数字はそこから回数が数えられるということに気付けば、それほどの作業量ではありません。
ではやってみましょう。

50以下の、あまりが0の数は48です。
48から進めてみましょう。
48（0）→（イ）→49（1）→（イ）→50（2）→（ア）→17（2）→（ア）→6（0）（イ）→7（1）→（イ）→8（2）→（ア）→3（0）（イ）→4（1）（イ）→5（2）（ア）→2（2）→（ア）→1　48は11回
以下、同様に操作の通りに進めていくので、→は省略します。
45（0）（イ）46（1）（イ）47（2）（ア）16（1）（イ）17（2）　上に既に17が出ていて、17から8回の操作と分かるので48は（4＋8）回＝12回
42（0）（イ）43（1）（イ）44（2）（ア）15（0）（ア）16（1）　上に既に16が出ていて、16から9回の操作と分かるので42は（4＋9）回＝13回
39（0）（イ）40（1）（イ）41（2）（ア）14（2）（ア）5（2）　上に既に5が出ていて、5から2回の操作と分かるので39は（4＋2）回＝6回
36（0）（イ）37（1）（イ）38（2）（ア）13（1）（イ）14（2）　上に既に14が出ていて、14から3回の操作と分かるので36は（4＋3）回＝7回
33（0）（イ）34（1）（イ）35（2）（ア）12（0）（ア）13（1）　上に既に13が出ていて、13から4回の操作と分かるので36は（4＋4）回＝8回
30（0）（イ）31（1）（イ）32（2）（ア）11（2）（ア）4（1）　上に既に4が出ていて、4から3回の操作と分かるので30は（4＋3）回＝7回
27（0）（イ）28（1）（イ）29（2）（ア）10（1）（イ）11（2）　上に既に11が出ていて、11から4回の操作と分かるので30は（4＋4）回＝8回
24（0）（イ）25（1）（イ）26（2）（ア）9（0）（イ）10（1）　上に既に10が出ていて、10から5回の操作と分かるので24は（4＋5）回＝9回
21（0）（イ）22（1）（イ）23（2）（ア）8（2）　上に既に8が出ていて、8から5回の操作と分かるので21は（3＋5）回＝8回
18（0）（イ）19（1）（イ）20（2）（ア）7（1）　上に既に7が出ていて、7から6回の操作と分かるので18は（3＋6）回＝9回
15（0）は既に上に出ていて、10回
12（0）は既に上に出ていて、5回
9（0）以下は（問題3－1）で確認済み。
以上より、答えは
42　13回

２０１９年中学入試問題・算数・浦和明の星女子中学・４番・解き方

見やすいように、問題も載せておきます。

《問題文》
池の周囲を一周するようにランニングやサイクリングができるコースがあります。
毎朝、このコースを、明男くんはランニングで、星子さんは自転車で、同時に、同じ地点から逆方向に走り出します。
２人はそれぞれ一定の速さで何周か走り、８分間隔ですれ違います。
明男くんは１周するのに２４分かかります。

ある朝、明男くんと星子さんは、走り出してから８分後にすれ違いました。
ところが、次にすれ違ったのはその１０分後だったので、明男くんは星子さんを呼び止めて
「いつもは８分間隔ですれ違うのに、どうして今回は１０分かかったのですか。」
と尋ねました。すると、星子さんは
「工事のために自転車で走れない区間があって、そこでは自転車に乗っているときの１／４（４分の１）の速さで自転車を押して歩いたからです。」
と答えました。

（１）明男くんが走っているときと、星子さんが自転車に乗っているときの速さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

《解き方》
この問題では時間以外には具体的な数字が出てきません。
ですから、時間以外の要素、ここでは距離、については、計算しやすい数字に自分で決めてしまって構いません。
これは実際の入試の時にも使えるやり方だと思います。

時間は８分と２４分が出てきていますから、その最小公倍数の２４を１周の距離と決めます。
【２４】としましょう。【】は単位の様なものと考えてください。

明男くんの分速を求めます。
【２４】÷２４分＝【１】

明男くんと星子さんの分速の和を求めます。
【２４】÷８分＝【３】

すると星子さんの自転車での分速も求められますね。
【３】－【１】＝【２】

答え　１：２


（２）星子さんがコースを１周する間に、自転車を押していた時間は何分間ですか。

《解き方》
１度出会ってから次に出会うまでに１０分掛かったとき、明男くんが進んだ距離は【１】×１０分＝【１０】です。
星子さんが進んだ距離を求めましょう。
【２４】－【１０】＝【１４】

この距離を２通りの速さで合計１０分で進んだということです。
つるかめ算ですね。

２通りの速さとは、いつもの【２】と、その１／４（４分の１）の【０．５】です。
押していた時間を聞かれていますから、全部【２】で進んだとしてみましょう。
【２】×１０分＝【２０】

実際との差を求めます。
【２０】－【１４】＝【６】

この【６】を、【２】－【０．５】＝【１．５】で割ります。
【６】÷【１．５】＝４

つまり、４分だけ遅く進むと１０分でちょうど【１４】進めるということです。

答え　４分

2016年中学入試問題・算数・栄光学園中学校・2番 解き方

（1）
条件は２つ。
各位の数字を足すと４０になる。
７けた。

（1-a）
なるべく大きくするには、上の位に９を持ってくる。
足して４０になるのは、９＋９＋９＋９＋４
これで一番大きい数が分かります。
９９９９４００
少しずつ小さくしていきます。
９９９９３１０
９９９９３０１

答え　最も大きい整数：９９９９４００　３番目に大きい整数：９９９９３０１

（1-b）
なるべく小さくするには、上の位に１や０を持ってくる。
９はなるべく下の位に使う。
４０＝９＋９＋９＋９＋４なので、一番小さい数は次の通り。
１０３９９９９
少しずつ大きくしていきます。
１０４８９９９
１０４９８９９

答え　最も小さい整数：１０３９９９９　３番目に小さい整数：１０４９８９９



（２）
条件は２つ。
各位の数字を掛け合わせると９６になる。
４けた。

９６を素因数分解します。
９６＝２×２×２×２×２×３
これらの素因数からできる１けたの数は次の通り。
２
３
４（２×２）
６（２×３）
８（２×２×２）

なるべく上の位に大きい数を使うと、千の位は８、百の位は６、十の位は２（８と６で２を４個使ってしまったので４は作れませんし、６で３も使っているので３も作れません）、一の位は１となります。
これで最大の数は８６２１と分かります。
だんだん小さくしていきます。
８６１２
８４３１

答え　最も大きい整数：８６２１　３番目に大きい整数：８４３１



（３）
積が３６になる１けたの数の組み合わせから考えていきましょう。

（その１）２個の組み合わせ

（その１－１）６×６
和を３６にする為には、３６－（６＋６）＝２４なので、１を２４個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
６６１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２６けた】

（その１－２）４×９
和を３６にする為には、３６－（４＋９）＝２３なので、１を２３個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
４９１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２５けた】


（その２）３個の組み合わせ

（その２－１）２×２×９
和を３６にする為には、３６－（２＋２＋９）＝２３なので、１を２３個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
２２９１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２６けた】

（その２－２）２×３×６
和を３６にする為には、３６－（２＋３＋６）＝２５なので、１を２５個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
２３６１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２８けた】

（その２－３）３×３×４
和を３６にする為には、３６－（３＋３＋４）＝２６なので、１を２６個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
３３４１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２９けた】


（その３）４個の組み合わせ

この場合は、２×２×３×３だけです。
和を３６にする為には、３６－（２＋２＋３＋３）＝２６なので、１を２６個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
２２３３１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【３０けた】

以上で全て出そろいました。
ケタ数だけを聞かれているので、答え方を間違えないように。

答え　２５けた、２６けた、２８けた、２９けた、３０けた　

平成３０年度 ２０１８年 中学入試 算数 市川中学 １番（３） 解き方

４００字のページと２００字のページがあって合計の字数が９８０００字とあるので、一瞬つるかめ算かなと思ってしまうかもしれません。
でも合計のページ数を聞かれているのですから、つるかめ算ではないですね。
では、芋づる算でしょうか。

と思ってもう一度問題をよく読んでみると、３の倍数のページだけ２００字ということですね。
ですから、これは次の様に考えれば良いと分かります。

１ページ目　４００字
２ページ目　４００字
３ページ目　２００字
４ページ目　４００字
５ページ目　４００字
６ページ目　２００字
　　　・
　　　・
　　　・
　　　・
つまり、周期算でしたね。
３ページ毎に１周期と考えられます。
ですから、１周期のページ数は４００字＋４００字＋２００字＝１０００字です。

９８０００字÷１０００字＝９８周期

１周期のページ数は３ページですから、合計のページ数は次の式で求められます。
３ページ×９８周期＝２９４ページ

答え２９４ページ

平成３０年度 ２０１８年度 海陽中等教育学校 特別給費生入試（算数）１番（１） 解き方

（あ）
ある数が９の倍数ならば、その数の各位の数の和も９の倍数となります。
例えば２０１８の各位の数の和とは、２＋０＋１＋８＝１１です。
１１は９の倍数ではないので、２０１８も９の倍数ではありません。
２９１６の各位の数の和は、２＋９＋１＋６＝１８です。
１８は９の倍数なので、２９１６も９の倍数です。

この知識を使えば、１ばかりが９個並べば、その和は９の倍数ですから、各位が１で９ケタの数も９の倍数です。
従って答はＡ（９）です。

（い）
３３＝３×１１なので、３の倍数かつ１１の倍数であれば条件に合います。
３の倍数についても９の倍数と同様で、各位の数の和が３の倍数なら、もとの数も３の倍数です。
１１の倍数で１が並ぶ数とは、１が偶数個並ぶ数です。
この２つのことから、条件を満たすのは１が６個並んだ数と分かります。
従って答はＡ（６）です。

（う）
この問題は、１３の倍数で１だけが並ぶ数を見つけるということです。

１３について、どのような特徴があるのでしょう。
次の式を見て何かをみつけてください。

１３×１＝１３
１３×２＝２６
１３×３＝３９
１３×４＝５２
１３×５＝６５
１３×６＝７８
１３×７＝９１
１３×８＝１０４
１３×９＝１１７

何がみつかりましたか？

ポイントは各答えの１の位の数です。

１３×１＝１３
１３×２＝２６
１３×３＝３９
１３×４＝５２
１３×５＝６５
１３×６＝７８
１３×７＝９１
１３×８＝１０４
１３×９＝１１７

どうでしょう。
ポイントは、全て異なり、１から９まで揃っているということです。
これを使って１ばかりが並ぶ１３の倍数を見つけていきましょう。
もう少し正確に言うと、「１３にいくつを掛ければ答えが１ばかりが並ぶ数になるかを見つけていきましょう。」ということです。

まず掛ける数の１の位は直ぐに分かりますね。
７です。
１３×７＝９１

では１０の位はいくつでしょう。
９にいくつを足せば１になるかと考えれば直ぐに分かりますね。
足す数は２です。
１の位が２である１３の倍数は１３×４＝５２ですから、１０の位は４です。
１３×４７＝６１１

同様にして、６に５を足せば１１となるので、１００の位の数は５です。
１３×５４７＝７１１１

７に４を足せば１１ですから、１０００の位の数は８です。
１３×８５４７＝１１１１１１

これで全てが１となりましたから、条件を満たします。
従って答はＡ（６）です。

早稲田実業学校中等部・２０１４年入試問題・算数２番（２）・解き方

はるか昔、私がまだ受験生だった頃、英作文担当の先生はよく「和文和訳」が英作文のポイントですよと話していました。
つまり、与えられた文を、意味を変えずに、より英作しやすい形に変えなさいということです。
この問題にもまさしく和文和訳が使えます。
意味が分かりやすい形に問題文を変えましょうということです。

①文章を言い換えてみましょう。
１から３００までの数の中に、Aの倍数が５個あったということですね。
すると次のような式が考えられます。
３００÷５＝６０
つまり６０の倍数は３００までに５個あるということです。
ところがこれより小さい数、例えば５９の倍数も３００÷５９＝５あまり５ですから、やはり５個あるということになります。
すると、６個になるのはいくつからだろうと考えられますね。
３００÷６＝５０
つまり５０の倍数は６個あるということです。
ところがこれより大きい数、例えば５１の倍数は３００÷５１＝５あまり４５ですから、５個しかないと分かります。
５０の倍数は６個あるけれど、５１の倍数なら５個しかない。
一方、上は、６０までなら５個のままです。
つまり、Aとして考えられるのは、５１以上６０以下ということになります。
答え　ア＝５１　イ＝６０

②文章を言い換えてみましょう。
１から３００までの数の中で、８の倍数から、８とAとの公倍数を引くと３５個になるということですね。
３００÷８＝３７あまり４ですから、８の倍数は３７個。
つまり、Aと８との公倍数は３００までに２個あるということになります。
公倍数は、最小公倍数の倍数ですから、５１から６０のそれぞれの数と８との最小公倍数を調べてみましょう。
まず言えるのは、８は２以外の素因数を持ちませんから（２以外の素数では割り切れませんから）奇数と８との最小公倍数は、A×８となります。
５１×８＝４０８なので、３００より大きいですから、Aは偶数だと分かります。
最小公倍数を求め、その倍数が３００までに何個あるのか順番に調べていきましょう。
５２と８との最小公倍数＝１０４→３００÷１０４＝２→２個なのでOK
５４と８との最小公倍数＝２１６→３００÷２１６＝１→１個なので条件に合わない。
５６と８との最小公倍数＝５６→３００÷５６＝５→５個なので条件に合わない。
５８と８との最小公倍数＝２３２→３００÷２３２＝１→１個なので条件に合わない。
６０と８との最小公倍数＝１２０→３００÷１２０＝２→２個なのでOK
ということで、Aとして考えられるのは５２と６０です。

答え　５２、６０

洗足学園中学校・２０１７年（平成２９年）中学入試問題算数・第１回・２番（２）・解き方

全部商品A（１個４０円）を買ったとしたら、商品B（１個８０円）の合計との差はいくらになるでしょう。
Aの合計金額。４０円×５０個＝２０００円
Bの合計金額。８０円×０個＝０円
差は２０００－０＝２０００円です。

ここから１個ずつAをBに取り替えていくと考えます。
１個取り替えるとどうなるでしょう。
Aの合計金額。４０円×４９個＝１９６０円
Bの合計金額。８０円×１個＝８０円
差は１９６０－８０＝１８８０円です。

つまり、１個AをBに取り替えると、差は２０００－１８８０＝１２０円縮まります。
Aの合計が４０円減って、Bの合計が８０円増えますから、差は４０＋８０＝１２０円縮まると考えても良いです。

実際の差は８００円ですから、２０００円－８００円＝１２００円縮まれば良いですね。
１個取り替えると１２０円縮まったので、１２００円縮める為には何個取り替えれば良いでしょうか。

１２００÷１２０＝１０個

つまり、５０個のうち、１０個をBに替えれば、この問題の条件に合います。
５０個－１０個＝４０個
商品Aを４０個、商品Bを１０個買えば、Aの合計金額がBの合計金額より８００円高いということになります。

確かめ。

商品A
４０円×４０個＝１６００円
商品B
８０円×１０個＝８００円

１６００円－８００円＝８００円
条件通りです。

答え　４０個

浦和明の星女子中学校２０１７年度入試問題・算数４番・解き方

説明の中で分数が出てきますが、分数は次のように表しています。
（例）
１÷３＝（３分の１）
１５÷４＝（４分の１５）＝（３と４分の３）

（１）
Ａさんは時速１０ｋｍで１０ｋｍの距離を走ったのですから、ちょうど１時間でゴールしたことになります。
するとＢさんも同じですね。
時速１２ｋｍと時速４ｋｍで、合計１時間で１０ｋｍ走ったということになります。
速さのつるかめ算ということになります。
そして、時速１２ｋｍで走った時間を聞かれているのですね。

一般的には面積図で解きますが、つるかめ算の考え方を確認する為に、式で解いていきましょう。

もし１時間全部を時速４ｋｍで進んだとすると何ｋｍ進めるか。
時速４ｋｍ×１時間＝４ｋｍ

実際の距離との差を求めます。
１０ｋｍ－４ｋｍ＝６ｋｍ

この６ｋｍ分は、時速１２ｋｍで進んで稼いだ分ということです。

１２ｋｍ－４ｋｍ＝８ｋｍですから、時速１２ｋｍで進むと、１時間について８ｋｍ多く進めるということになります。
実際の差は６ｋｍですから、６÷８で（４分の３）時間となり、時速１２ｋｍで進んだのは（４分の３）時間と分かります。
つまり時速１２ｋｍで進んだ時間は６０分×（４分の３）＝４５分です。

答え　４５分

（２）
ゴール手前１ｋｍのところ、つまりスタートしてから９ｋｍのところでＣさんはＡさんを追い抜いたとあります。
９ｋｍを進むのにＡさんは何時間掛かったのでしょうか。
９÷１０＝（１０分の９）時間ですね。

するとＣさんは、時速８ｋｍと時速１２ｋｍで合計（１０分の９）時間掛けて９ｋｍ進んだということになります。
これも（１）と同じく、速さのつるかめ算ということになります。
そして、時速８ｋｍで進んだ時間を聞かれているのですね。

先ほどと同じ解き方で解きます。
時速１２ｋｍ×（１０分の９）時間＝（５分の５４）ｋｍ＝（１０と５分の４）ｋｍ

実際の距離との差を求めます。
（１０と５分の４）ｋｍ－９ｋｍ＝（１と５分の４）ｋｍ

この（１と５分の４）ｋｍ分は、時速８ｋｍで進んで減った分ということです。

１２ｋｍ－８ｋｍ＝４ｋｍですから、時速８ｋｍで進むと、１時間について４ｋｍ進んだ距離が減るということになります。

実際の差は（１と５分の４）ｋｍですから、（１と５分の４）÷４で（２０分の９）時間となり、時速８ｋｍで進んだのは（２０分の９）時間と分かります。
つまり時速８ｋｍで進んだ時間は６０分×（２０分の９）＝２７分です。

答え　２７分

（３）
ＣさんがＡさんを追い抜いたのはスタートしてから（１０分の９）時間後ですから、その時Ｂさんがどこにいたかを求めましょう。
その時、既にＢさんは時速４ｋｍで歩いていました。
Ｂさんがゴールするまでの時間は、１時間－（１０分の９）時間＝（１０分の１）時間です。
すると時速４ｋｍ×（１０分の１）時間＝（５分の２）ｋｍですから、ゴールの手前（５分の２）ｋｍのところを歩いていたと分かります。
ですから、１ｋｍ－（５分の２）ｋｍ＝（５分の３）ｋｍで、Ｃさんの前方、（５分の３）ｋｍを歩いていたということになります。

ここからは旅人算で解きます。
距離÷（二人の速さの差）で追いつくまでの時間を求めます。

（５分の３）ｋｍ÷（時速１２ｋｍ－時速４ｋｍ）＝（４０分の３）時間
この間にＣさんが進んだ距離を求めます。
時速１２ｋｍ×（４０分の３）時間＝（１０分の９）ｋｍ

ゴールまでの距離は１ｋｍ－（１０分の９）ｋｍ＝（１０分の１）ｋｍですね。

答え　１００ｍ

式で説明すると実はとても分かりにくいですね。
私が指導する際はまずダイヤグラムを書いて概要をつかませます。
５年から指導しているお子さんには、速さを学ぶ最初の段階からダイヤグラムを説明し、書かせていきますから、６年の時点ではダイヤグラムを書きながら問題を解くのが普通になっています。
そして、必要に応じ、面積図などを併用して解いていきます。

洗足学園中学校平成２５年度入試（第１回）・算数大問３（１）・解き方

１から８までの和は（１+８）×８÷２＝３６
４隅の数は縦の和で１回、横の和で１回、合計２回ずつ使われています。
ですから、縦または横の１列の和をAとすると、
A×４＝３６＋１＋３＋２＋エと言えます。
これを整理すると次の式ができます。
A×４＝４２＋エ
エに当てはまるのは、まだ使われていない数の４～８のどれかです。
４２に足して和が４の倍数になるのは６しかないのでエ＝６と決まります。
するとAは次のように決まります。
（４２+６）÷４＝１２
よって
イ＝１２-１-６＝５

答え　５

２００９年武蔵中学校入学試験問題。算数４番。解き方。

（１）
どんな組み合わせがあるのか、見やすく書き出してみましょう。
５個の合計が重くなる順番に書き出していきます。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
３個　　　１個　　　１個
２個　　　２個　　　１個
２個　　　１個　　　２個
１個　　　３個　　　１個
１個　　　２個　　　２個
１個　　　１個　　　３個

あれあれ、「５通りの重さががあることがわかりました」と問題文に書いてありますが、組み合わせは６通りありますね。
この中のどれか２つの組み合わせは同じ重さだということです。

比べにくいので、最初に１個ずつをそれぞれの袋にいれてしまったと考えて、残り２個の入れ方だけを比べてみましょう。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
２個　　　０個　　　０個
１個　　　１個　　　０個
１個　　　０個　　　１個
０個　　　２個　　　０個
０個　　　１個　　　１個
０個　　　０個　　　２個

こうして比べてみると、３番目と４番目では、どちらが重くなるのか分からないですね。
つまり、この２種類の組み合わせは同じ重さの可能性があるということです。
すると、この２種類が同じ重さだと考えないと、重さが５通りということにならないと分かります。
つまり同じ重さになるのは（２、１、２）と（１、３、１）です。

答え（２，１，２）と（１，３，１）


（２）
重い順に、それぞれの組み合わせに記号を付けましょう。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
３個　　　１個　　　１個・・・・・（１番目）
２個　　　２個　　　１個・・・・・（２番目）
２個　　　１個　　　２個・・・・・（３番目）
１個　　　３個　　　１個・・・・・（３番目）
１個　　　２個　　　２個・・・・・（４番目）
１個　　　１個　　　３個・・・・・（５番目）

２番目の合計は７９ｇ
４番目の合計は７１ｇ

ここで３番目の重さが２種類あることにも注目しましょう。
２個　　　１個　　　２個・・・・・（３番目）
１個　　　３個　　　１個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
つまり
１個　　　０個　　　１個・・・・・（３番目）
０個　　　２個　　　０個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
このことから次のことが分かります。
Ａ１個とＣ１個の合計と、Ｂ２個が同じ重さ。
↓
ＡとＣの平均はＢと等しい。
↓
ＡとＢとの差、ＢとＣとの差は等しい。

そこで、ＡとＢとの差＝ＢとＣとの差＝【１】とすると、それぞれの玉の重さは次のように、一番軽いＣを基準にして表すことができます。

Ｃ１個の重さ＝Ｃ
Ｂ１個の重さ＝Ｃ＋【１】
Ａ１個の重さ＝Ｂ＋【１】＝Ｃ＋【２】


これを使って７９ｇとなる組み合わせから式を作ってみましょう。

　Ａ２個＋Ｂ２個＋Ｃ１個
＝（Ｃ＋【２】）×２＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×２＋【２】×２＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×５＋【４】＋【２】
＝Ｃ×５＋【６】・・・・・これが７９ｇと等しい。

次に７１ｇとなる組み合わせからも式を作ります。

　Ａ１個＋Ｂ２個＋Ｃ２個
＝（Ｃ＋【２】）×１＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×１＋【２】×１＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×５＋【２】＋【２】
＝Ｃ×５＋【４】・・・・・これが７１ｇと等しい。

２つの式を比べてみます。
Ｃ×５＋【６】＝７９ｇ
Ｃ×５＋【４】＝７１ｇ

ここから、
【６】－【４】＝７９ｇ－７１ｇ
【２】＝８ｇ
【１】＝４ｇ

さらに【４】＝１６ｇですから、
Ｃ×５＝７１ｇ－１６ｇ
Ｃ×５＝５５ｇ
Ｃ＝１１ｇ

Ｂ＝１１＋４＝１５ｇ
Ａ＝１５＋４＝１９ｇ

答え　Ａ１９ｇ　Ｂ１５ｇ　Ｃ１１ｇ


別解
Ａ１個＋Ｃ１個＝Ｂ２個を使って消去算として考える方法。

７９ｇ＝Ａ×２＋Ｂ×２＋Ｃ×１・・・・・（式あ）
７１ｇ＝Ａ×１＋Ｂ×２＋Ｃ×２・・・・・（式い）

（式あ）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７９ｇ＝Ａ×２＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×１
７９ｇ＝Ａ×３＋Ｃ×２・・・・・（式う）

（式い）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７１ｇ＝Ａ×１＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×２
７１ｇ＝Ａ×２＋Ｃ×３・・・・・（式え）

（式う）×２より
１５８ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×４・・・・・（式お）
（式え）×３より
２１３ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×９・・・・・（式か）

（式か）－（式お）より
５５ｇ＝Ｃ×５
これより、Ｃ＝１１ｇ

（式う）にＣ＝１１を代入して、Ａ＝（７９－２２）÷３＝１９
Ａ＋Ｃ＝Ｂ×２なので、Ｂ＝（１１＋１９）÷２＝１５

答え　Ａ１９ｇ　Ｂ１５ｇ　Ｃ１１ｇ