-「記事(127)」を書き直します。―
(01)
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
②&③ は、「矛盾」しない。
然るに、
(02)
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外(例へば、耳)は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
①&②&③ であるならば、
① ある象は、鼻以外(例へば、耳)は長くないのに、その象の、耳は長い。
といふことになる。
然るに、
(03)
① ある象は、鼻以外(例へば、耳)は長くないのに、その象の、耳は長い。
といふことは、
① 耳は短いのに、耳の長い、象がゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
①&②&③ は、「矛盾」する。
従って、
(04)により、
(05)
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、すなはち、
① ∃x(兎x&象x)。
② ∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)}。
③ ∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。
に於いて、すなはち、
① あるxは兎であって、そのxは象である。
② すべてのxについて、xが象ならば、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
③ すべてのxについて、xが兎ならば、あるyはxの耳であって、すべてのzについて、zがxの耳ならば、zはxの鼻ではない。
に於いて、
①&②&③ は、「矛盾」する。
従って、
(01)(02)(05)により、
(06)
① あるxは兎であって、そのxは象である。
② すべてのxについて、xが象ならば、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
③ すべてのxについて、xが兎ならば、あるyはxの耳であって、すべてのzについて、zがxの耳ならば、zはxの鼻ではない。
に於いて、すなはち、
① ∃x(兎x&象x)。
② ∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)}。
③ ∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。
に於いて、すなはち、
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
②&③ である。ならば、
① は、「否定」しなければ、ならない。
cf.
背理法(Rreductio Ad Absurdum)。
然るに、
(07)
① ある象は兎である。
① ∃x(兎x&象x)。
の「否定」は、
④ すべて象は兎でない。
④ ∀x(象x→~兎x)。
の「肯定」である。
然るに、
(08)
1 (1) ∃x(兎x&象x) A
2 (2) 兎a&象a A(代表的選言項)
2 (3) 兎a 2&E
2 (4) 象a 2&E
5 (5)∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)} A
5 (6) 象a→∀z(~鼻za→~長z) 5UE
25 (7) ∀z(~鼻za→~長z) 46MPP
25 (8) ~鼻ba→~長b 7UE
9 (9)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
9 (ア) 兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 9UE
2 9 (イ) ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 3アMPP
2 9 (ウ) ∃y(耳ya&長y) ウ&E
エ(エ) 耳ba&長b A(代表的選言項)
エ(オ) 耳ba エ&E
エ(カ) 長b エ&E
2 9 (キ) ∀z(耳za→~鼻za) イ&E
2 9 (ク) 耳ba→~鼻ba キUE
2 9エ(ケ) ~鼻ba オクMPP
259エ(コ) ~長b 8ケMPP
259エ(サ) 長b&~長b カコ&I
259エ(シ) ∃y(長b&~長y) サEI
259 (ス) ∃y(長b&~長y) ウエシEE
1 59 (セ) ∃y(長b&~長y) 12スEE
59 (ソ)~∃x(兎x&象x) 1セRAA
59 (タ)∀x~(兎x&象x) ソ量化子の関係
59 (チ) ~(兎a&象a) タUE
59 (ツ) ~兎a∨~象a チ、ド・モルガンの法則
59 (テ) ~象a∨~兎a ツ交換法則
59 (ト) 象a→~兎a テ含意の定義
59 (ナ)∀x(象x→~兎x) トUI
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
② 象は鼻以外は長くない。然るに、
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(10)
② 象は鼻が長い。
といふのではなく、
② 象は鼻は長い。
といふのであれば、
② 象は、鼻以外も、長いのかも、知れないし、
② 象は、鼻以外は、長くないのかも、知れない。
従って、
(10)により、
(11)
② 象は鼻以外は長くない。
といふのであれば、
② 象は鼻が長い。
といふ風に、言はなければ、ならない。
従って、
(09)(11)により、
(12)
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(13)
③ 兎の耳は鼻ではない。
といふことは、「常識」である。
従って、
(12)(13)により、
(14)
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎の耳は長い。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
従って、
(09)(14)により、
(15)
② 象は鼻が長い=象は鼻以外は長くない。然るに、
③ 兎の耳は長い=兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
従って、
(14)(15)により、
(16)
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎の耳は長い。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」を、「妥当(Valid)」であると、するならば、
② 象は鼻が長い=象は鼻以外は長くない。
といふ「等式」を、認めざるを得ない。
然るに、
(17)
② 象は鼻が長い。
といふのであれば、
② 象は鼻が長い=象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ風に、理解するのが、「普通」である。
然るに、
(18)
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「日本語」は、
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}=
② すべてのxにいて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない}。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
(19)
1 (1) ∃x(兎x&象x) A
2 (2) 兎a&象a A(代表的選言項)
2 (3) 兎a 2&E
2 (4) 象a 2&E
5 (5)∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)} A
5 (6) 象a→∀z(~鼻za→~長z) 5UE
25 (7) ∀z(~鼻za→~長z) 46MPP
25 (8) ~鼻ba→~長b 7UE
9 (9)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
9 (ア) 兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 9UE
2 9 (イ) ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 3アMPP
2 9 (ウ) ∃y(耳ya&長y) ウ&E
エ(エ) 耳ba&長b A(代表的選言項)
エ(オ) 耳ba エ&E
エ(カ) 長b エ&E
2 9 (キ) ∀z(耳za→~鼻za) イ&E
2 9 (ク) 耳ba→~鼻ba キUE
2 9エ(ケ) ~鼻ba オクMPP
259エ(コ) ~長b 8ケMPP
259エ(サ) 長b&~長b カコ&I
259エ(シ) ∃y(長b&~長y) サEI
259 (ス) ∃y(長b&~長y) ウエシEE
1 59 (セ) ∃y(長b&~長y) 12スEE
59 (ソ)~∃x(兎x&象x) 1セRAA
59 (タ)∀x~(兎x&象x) ソ量化子の関係
59 (チ) ~(兎a&象a) タUE
59 (ツ) ~兎a∨~象a チ、ド・モルガンの法則
59 (テ) ~象a∨~兎a ツ交換法則
59 (ト) 象a→~兎a テ含意の定義
59 (ナ)∀x(象x→~兎x) トUI
に於いて、
5 (5)∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)} A
といふ「仮定」を、
5 (5)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
といふ「仮定」に、「書き換へ」たとしても、
59 (ナ)∀x(象x→~兎x) トUI
といふ「結論」に、「変り」は無い。
従って、
(16)~(19)により、
(20)
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}=
② すべてのxにいて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない}。
といふ「述語論理」に、対応する。
(01)
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
②&③ は、「矛盾」しない。
然るに、
(02)
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外(例へば、耳)は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
①&②&③ であるならば、
① ある象は、鼻以外(例へば、耳)は長くないのに、その象の、耳は長い。
といふことになる。
然るに、
(03)
① ある象は、鼻以外(例へば、耳)は長くないのに、その象の、耳は長い。
といふことは、
① 耳は短いのに、耳の長い、象がゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
①&②&③ は、「矛盾」する。
従って、
(04)により、
(05)
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、すなはち、
① ∃x(兎x&象x)。
② ∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)}。
③ ∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。
に於いて、すなはち、
① あるxは兎であって、そのxは象である。
② すべてのxについて、xが象ならば、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
③ すべてのxについて、xが兎ならば、あるyはxの耳であって、すべてのzについて、zがxの耳ならば、zはxの鼻ではない。
に於いて、
①&②&③ は、「矛盾」する。
従って、
(01)(02)(05)により、
(06)
① あるxは兎であって、そのxは象である。
② すべてのxについて、xが象ならば、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
③ すべてのxについて、xが兎ならば、あるyはxの耳であって、すべてのzについて、zがxの耳ならば、zはxの鼻ではない。
に於いて、すなはち、
① ∃x(兎x&象x)。
② ∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)}。
③ ∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)}。
に於いて、すなはち、
① ある象は兎である。
② 象は鼻以外は長くない。
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
に於いて、
②&③ である。ならば、
① は、「否定」しなければ、ならない。
cf.
背理法(Rreductio Ad Absurdum)。
然るに、
(07)
① ある象は兎である。
① ∃x(兎x&象x)。
の「否定」は、
④ すべて象は兎でない。
④ ∀x(象x→~兎x)。
の「肯定」である。
然るに、
(08)
1 (1) ∃x(兎x&象x) A
2 (2) 兎a&象a A(代表的選言項)
2 (3) 兎a 2&E
2 (4) 象a 2&E
5 (5)∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)} A
5 (6) 象a→∀z(~鼻za→~長z) 5UE
25 (7) ∀z(~鼻za→~長z) 46MPP
25 (8) ~鼻ba→~長b 7UE
9 (9)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
9 (ア) 兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 9UE
2 9 (イ) ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 3アMPP
2 9 (ウ) ∃y(耳ya&長y) ウ&E
エ(エ) 耳ba&長b A(代表的選言項)
エ(オ) 耳ba エ&E
エ(カ) 長b エ&E
2 9 (キ) ∀z(耳za→~鼻za) イ&E
2 9 (ク) 耳ba→~鼻ba キUE
2 9エ(ケ) ~鼻ba オクMPP
259エ(コ) ~長b 8ケMPP
259エ(サ) 長b&~長b カコ&I
259エ(シ) ∃y(長b&~長y) サEI
259 (ス) ∃y(長b&~長y) ウエシEE
1 59 (セ) ∃y(長b&~長y) 12スEE
59 (ソ)~∃x(兎x&象x) 1セRAA
59 (タ)∀x~(兎x&象x) ソ量化子の関係
59 (チ) ~(兎a&象a) タUE
59 (ツ) ~兎a∨~象a チ、ド・モルガンの法則
59 (テ) ~象a∨~兎a ツ交換法則
59 (ト) 象a→~兎a テ含意の定義
59 (ナ)∀x(象x→~兎x) トUI
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
② 象は鼻以外は長くない。然るに、
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(10)
② 象は鼻が長い。
といふのではなく、
② 象は鼻は長い。
といふのであれば、
② 象は、鼻以外も、長いのかも、知れないし、
② 象は、鼻以外は、長くないのかも、知れない。
従って、
(10)により、
(11)
② 象は鼻以外は長くない。
といふのであれば、
② 象は鼻が長い。
といふ風に、言はなければ、ならない。
従って、
(09)(11)により、
(12)
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
然るに、
(13)
③ 兎の耳は鼻ではない。
といふことは、「常識」である。
従って、
(12)(13)により、
(14)
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎の耳は長い。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
従って、
(09)(14)により、
(15)
② 象は鼻が長い=象は鼻以外は長くない。然るに、
③ 兎の耳は長い=兎は耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」は、「妥当(Valid)」である。
従って、
(14)(15)により、
(16)
② 象は鼻が長い。然るに、
③ 兎の耳は長い。故に、
④ 象は兎ではない。
といふ「推論(三段論法)」を、「妥当(Valid)」であると、するならば、
② 象は鼻が長い=象は鼻以外は長くない。
といふ「等式」を、認めざるを得ない。
然るに、
(17)
② 象は鼻が長い。
といふのであれば、
② 象は鼻が長い=象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ風に、理解するのが、「普通」である。
然るに、
(18)
② 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。
といふ「日本語」は、
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}=
② すべてのxにいて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない}。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
(19)
1 (1) ∃x(兎x&象x) A
2 (2) 兎a&象a A(代表的選言項)
2 (3) 兎a 2&E
2 (4) 象a 2&E
5 (5)∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)} A
5 (6) 象a→∀z(~鼻za→~長z) 5UE
25 (7) ∀z(~鼻za→~長z) 46MPP
25 (8) ~鼻ba→~長b 7UE
9 (9)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
9 (ア) 兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 9UE
2 9 (イ) ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za) 3アMPP
2 9 (ウ) ∃y(耳ya&長y) ウ&E
エ(エ) 耳ba&長b A(代表的選言項)
エ(オ) 耳ba エ&E
エ(カ) 長b エ&E
2 9 (キ) ∀z(耳za→~鼻za) イ&E
2 9 (ク) 耳ba→~鼻ba キUE
2 9エ(ケ) ~鼻ba オクMPP
259エ(コ) ~長b 8ケMPP
259エ(サ) 長b&~長b カコ&I
259エ(シ) ∃y(長b&~長y) サEI
259 (ス) ∃y(長b&~長y) ウエシEE
1 59 (セ) ∃y(長b&~長y) 12スEE
59 (ソ)~∃x(兎x&象x) 1セRAA
59 (タ)∀x~(兎x&象x) ソ量化子の関係
59 (チ) ~(兎a&象a) タUE
59 (ツ) ~兎a∨~象a チ、ド・モルガンの法則
59 (テ) ~象a∨~兎a ツ交換法則
59 (ト) 象a→~兎a テ含意の定義
59 (ナ)∀x(象x→~兎x) トUI
に於いて、
5 (5)∀x{象x→∀z(~鼻zx→~長z)} A
といふ「仮定」を、
5 (5)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
といふ「仮定」に、「書き換へ」たとしても、
59 (ナ)∀x(象x→~兎x) トUI
といふ「結論」に、「変り」は無い。
従って、
(16)~(19)により、
(20)
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}=
② すべてのxにいて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、yは長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない}。
といふ「述語論理」に、対応する。