（01）
男子＝男の子である。
～男子＝男の子でない。
女子＝女の子である。
～女子＝女の子でない。
帽子＝帽子をかぶっている。
～帽子＝帽子をかぶっていない。
スニ＝スニ―カーを履いている。
～スニ＝スニーカーを履いていない。
とする。
従って、
（01）により、
（02）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しい」。
然るに、
（03）
（Γ）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）男の子であるならば、女の子ではなく、女の子でないならば、男の子である。
を「公理」とする。
然るに、
（04）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（〃）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（06）
（β）
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆ 男子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～男子ａ Ａ
９ （ア） ～～女子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 女子ａ アＤＮ
（ウ） ～男子ａ→女子ａ ９イＣＰ
エ（エ） スニａ Ａ
１ エ（オ） ～男子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 女子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） スニａ→ 女子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆ 男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） カＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆ スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（ スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（７） 女子ａ⇔～男子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～女子ａ Ａ
９ （ア） ～～男子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 男子ａ アＤＮ
（ウ） ～女子ａ→男子ａ ９イＣＰ
エ（エ） 帽子ａ Ａ
１ エ（オ） ～女子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 男子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） 帽子ａ→ 男子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（４） 女子ａ⇔～男子ａ ３ＵＥ
（５） 女子ａ→～男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 男子ａ Ａ
６ （７） ～～男子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～女子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 男子ａ→～女子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） 帽子ａ Ａ
１ ア（イ） 男子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～女子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） 帽子ａ→～女子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～帽子ａ∨～女子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） キ量化子の関係
従って、
（07）（08）により、
（09）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（05）～（09）により、
（10）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）は（α）の「逆」であり、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は、必ずしも、真ではない」。
従って、
（11）により、
（12）
（α）⇔（１）であるが、
（α）→（２）ではない。
然るに、
（13）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ） Ａ
３ （３）∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ） Ａ
１ （４） 男子ａ→帽子ａ １ＵＥ
２ （５） スニａ→女子ａ ２ＵＥ
６（６） 帽子ａ＆スニａ Ａ
６（７） 帽子ａ ６＆Ｅ
６（８） スニａ ６＆Ｅ
２ ６（９） 女子ａ ５７ＭＰＰ
２ ６（ア） 帽子ａ＆女子ａ ７９＆Ｉ
２ ６（イ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） アＥＩ
２３ （ウ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ３６イＥＥ
従って、
（01）（02）（10）（13）により、
（14）
（α）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（３）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
といふ「命題」、すなはち、
（α）男の子は、みんな帽子をかぶっています。
（β）スニーカーを履いている子どもは、みんな女の子です。
（γ）帽子をかぶっている女の子もいます。
といふ「命題」は「矛盾」しない。
ｅ．ｇ.
太郎と次郎は、二人とも、野球帽をかぶっているが、スニーカーではなく、スパイクを履いている。
花子は帽子をかぶって、スニーカーを履いているが、桃子は、帽子をかぶらずに、スニーカーを履いている。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
であるからと言って、必ずしも、
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（〃）帽子をかぶっている女の子はいません。
といふことには、ならない。
従って、
（02）（10）（11）（15）により、
（16）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しく」、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
だけが、必ず、「真（〇）」である。
従って、
（16）により、
（17）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２・１８３頁）。
といふ、ことになる。