（1340）「恒真式（トートロジー）」について。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１　　　（１）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オＤＮ
（ⅲ）
１　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
    ３　（３）　　～Ｐ　　　　Ａ
　２　　（４）　　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③　 ～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③　 ～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるならば、Ｑである。
②（Ｐであって、Ｑでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③　 ～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
Ｐ＝Ｑ であるとして、
① 　　Ｐ→　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　 ～Ｐ∨　Ｐ
に於いて、すなはち、
①「同一律（恒真式）」
②「矛盾律（恒真式）」
③「排中律（恒真式）」
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１１ＲＡＡ
（ⅲ）
１　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ
１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ
１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　６１＆Ｉ
　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ
　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ
従って、
（06）（07）により、
（08）
①├ 　  Ｐ→　Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ 　～Ｐ∨　Ｐ
という「連式」に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
①├ 　  Ｐ→　Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ 　～Ｐ∨　Ｐ
という「連式」に対する、
① 　　　Ｐ→　Ｐ
②　 ～（Ｐ＆～Ｐ）
③　　 ～Ｐ∨　Ｐ
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
①「同一律（恒真式）」
②「矛盾律（恒真式）」
③「排中律（恒真式）」
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ⅱ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（12）
① Ｐ→Ｐ（恒真式）
に対して、
① Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（置き換え）」を行うと、
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
は、「恒真式（同一律）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　２３（４）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）　　１４ＭＰＰ
１２　（６）　　　（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））　３５ＣＰ
１　　（７）　Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）　Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））　Ａ
　２（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
１２（６）　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）　　４５ＭＰＰ
１　（７）（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）　　２６ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
②　Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
②　Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① が「恒真式（同一律）」であるため、
② も「恒真式（同一律）」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１　（１）　　　Ｐ　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｑ　　Ａ
１２（３）　　　Ｐ＆Ｑ　　１２＆Ｉ
１　（４）Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）　２３ＣＰ
（ⅱ）
１　（１）　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
　２（２）　　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１２（３）　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　　１２＆Ｉ
１　（４）　　　Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）　　２３ＣＰ
　　（５）Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））　１４ＣＰ
従って、
（16）により、
（17）
① 　 Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
という「連式」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
例へば、
Ｐ＝１０月
Ｑ＝１７日
であるとすると、
① 　 Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
といふ「連式」、すなはち、
① １０月なので、１７日ならば、（１０月１７日である）。
② １０月ならば（１７日ならば、（１０月１７日である））。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
① １１月某日
に於いて、
①（今日は）１０月なので、
と「断定」すれば、「ウソ」になるが、
② １１月某日
に於いて、
②（今日が）１０月ならば、
と「仮定」しても、「ウソ」にはならない。
従って、
（09）（15）（18）（19）により、
（20）
① 　 Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
といふ「連式」に於ける、
② 　 Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
という「論理式」は、
（ⅰ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、　
（ⅲ）「恒に真」である。