（1231）「象は鼻が長い」の「対偶」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
１　　　　　（１）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝　Ａ
　２　　　　（２）∀ｘ｛亀ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　（３）∃ｘ（亀ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（４）　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）→～象ａ　　１ＵＥ
　２　　　　（５）　　　亀ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　　（６）　　　亀ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　（７）　　　亀ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　２　６　　（８）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
　　　　９　（９）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　９　（ア）　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　６　　（イ）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（ウ）　　　　～～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イＤＮ
１　　６　　（エ）　～｛∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）｝　　　　４ウＭＴＴ
１　　６　　（オ）　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）　　　　　エ、ド・モルガンの法則
１　　６　　（カ）　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ
１　　６　　（キ）　　∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　カ量化子の関係
　　　　　ク（ク）　　　　～（鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　ク（ケ）　　　～（～鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ク含意の定義
　　　　　ク（コ）　　　　　　鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ケ、ド・モルガンの法則
　　　　　ク（サ）　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コ＆Ｅ
　　　　９ク（シ）　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　アサ＆Ｉ
１　　６９　（ス）　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　キクシＥＥ
１２　６　　（セ）　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８９スＥＥ
１２３　　　（ソ）　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６セＥＥ
１２　　　　（タ）～∃ｘ（亀ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ソＲＡＡ
１２　　　　（チ）∀ｘ～（亀ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タ量化子の関係
１２　　　　（ツ）　　～（亀ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チＵＥ
１２　　　　（テ）　　～亀ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツ、ド・モルガンの法則
１２　　　　（ト）　　　亀ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ含意の定義
１２　　　　（ナ）∀ｘ（亀ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　トＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛亀ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆～長ｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（亀ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならばｙは長くない）か、または、あるｚについて（ｚがｘの鼻ではなくて長い）ならば、ｘは象ではない｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが亀であるならば、あるｙは（ｘの鼻であり、ｙは長くない）｝。　従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが亀であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
（ⅱ）亀の鼻は長くない。従って、
（ⅲ）亀は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
（04）
１　　　　（１）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝　Ａ
　２　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆　∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（４）　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）→～象ａ　　１ＵＥ
　２　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　（７）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　２　６　（８）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ
　２　６　（９）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　８＆Ｅ
　２　６　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　８＆Ｅ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　６　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　アＵＥ
　　　　イ（エ）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　２　６イ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　ウエＭＰＰ
　　　　イ（カ）　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　２　６イ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　オカ＆Ｉ
　２　６イ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ）　　　　　　キＥＩ
　２　６　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｂ）　　　　　　９イクＥＥ
　２　６　（コ）　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｙ）　　　　　　ケ∨Ｉ
１２　６　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　４コＭＰＰ
１２　６　（シ）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１２　６　（ス）　　　　　　象ａ＆～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サシ＆Ｉ
１２３　　（セ）　　　　　　象ａ＆～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６スＥＥ
１２　　　（ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３セＲＡＡ
１２　　　（タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ量化子の関係
１２　　　（チ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＥ
１２　　　（ツ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ、ド・モルガンの法則
１２　　　（テ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツ含意の定義
１２　　　（ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆　∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならばｙは長くない）か、または、あるｚについて（ｚがｘの鼻ではなくて長い）ならば、ｘは象ではない｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて（ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない）｝。　　　　　　　従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。　　　　　　　　従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
（ⅰ）鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。然るに、
（ⅱ）亀の鼻は長くないし、
（ⅲ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。　　　　　　　　従って、
（ⅳ）亀は象ではなく、兎も象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）象は鼻が長い。　　　　　　　　　然るに、
（ⅱ）亀の鼻は長くないし、
（ⅲ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅳ）亀は象ではなく、兎も象ではない。
といふ「推論」も、「妥当」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。
② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。
に於いて、
①＝② であるに、違ひない。
然るに、
（10）
（ⅲ）
１　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
１　　　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｂ）　　Ａ
　　４　　（４）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　（５）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　　４　　（６）　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　５含意の定義
　　４　　（７）　　　　　　　～（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　　４　　（８）　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　７ＵＩ
　　４　　（９）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　８量化子の関係
　　４　　（ア）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９∨Ｉ
　　　５　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　Ａ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　Ａ
　　　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｂａ∨～長ｂ）　　ウ、ド・モルガンの法則
　　　　ウ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　エ含意の定義
　　　　ウ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　オＥＩ
　　　　ウ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　カ量化子の関係
　　　　ウ（ク）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　キ∨Ｉ
　３　　　（ケ）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　３４アウク∨Ｅ
　３　　　（コ）　　　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　ケ、ド・モルガンの法則
１３　　　（サ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｙ）→～象ａ　　３サＣＰ
１　　　　（ス）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）→～象ｘ｝　シＵＩ
（ⅳ）
１　　（１）　∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）→～象ｘ｝　Ａ
１　　（２）　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｙ）→～象ａ　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　Ａ
　３　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ　　３ＤＮ
１３　（５）　　～｛∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｙ）｝　　　　　２４ＭＴＴ
１３　（６）　　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｙ）　　　　　　５ド・モルガンの法則
１３　（７）　　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１３　（８）　　　∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７量化子の関係
　　９（９）　　　　　～（鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　～（～鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９含意の定義
　　９（イ）　　　　　　（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
　　９（ウ）　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イＥＩ
１３　（エ）　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８９ウＥＥ
１３　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｙ）　　　　　　６＆Ｅ
１３　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（～鼻ｚａ＆　長ｙ）　　　　　　オ量化子の関係
１３　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ＆　長ｂ）　　　　　　カＵＥ
１３　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　キ、ド・モルガンの法則
１３　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　ク含意の定義
１３　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｙ）　　　　　　ケＵＩ
１３　（サ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　エコ＆Ｉ
１　　（シ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　　３サＣＰ
１　　（ス）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　　　シＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
④ すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならばｙは長くない）か、または、あるｚについて（ｚがｘの鼻ではなくて長い）ならば、ｘは象ではない｝。
に於いて、
③＝④ は、「対偶」である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① 象は鼻が長い。
② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
といふ「意味」であって、
①＝② は、すなはち、
③＝④ は、「対偶」である。