２０１２年中学入試算数・法政大学中学校６番

ある山には、山頂まで続く３人乗りと４人乗りの２種類のリフトがあります。どちらのリフトも同じ道のり、同じ速さで、１０秒間隔で同時に出発します。
いま、ある団体がリフトを使ってできるだけ早く山頂まで登ります。最初の人が乗った瞬間から全員が山頂まで着くまでに、３人乗りのリフトだけ使うと１２分かかり、４人乗りのリフトだけだと１０分かかります。ただし、どちらの場合も最後に使用したリフトまで空席がないものとします。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）この団体の人数は何人ですか。

（２）３人乗りと４人乗りのリフトを同時に使うと、何分何秒で山頂に着きますか。

２０１２年６月２日・日能研全国公開模試５年算数・７番・解説

３人とも同じ個数を買っているので、買い方による金額の違いを書き出してしまいます。

みかん（個）　りんご（個）　合計金額
１２　　　　　　０　　　　　　６００円
１１　　　　　　１　　　　　　６４０円（４０円上がります。以下同じ）
１０　　　　　　２　　　　　　６８０円
　９　　　　　　３　　　　　　７２０円
　８　　　　　　４　　　　　　７６０円
　７　　　　　　５　　　　　　８００円
　６　　　　　　６　　　　　　８４０円
　５　　　　　　７　　　　　　８８０円
　４　　　　　　８　　　　　　９２０円
　３　　　　　　９　　　　　　９６０円
　２　　　　　１０　　　　　１０００円
　１　　　　　１１　　　　　１０４０円
　０　　　　　１２　　　　　１０８０円

（１）の条件がありますから、それぞれの金額の１．２５倍も求めましょう。
４０円の１．２５倍の５０円ずつ上がりますからこれも簡単に書き出せます。

合計金額　　　１．２５倍した金額
　６００円　　　　７５０円
　６４０円　　　　８００円（５０円ずつ上がります。以下同じ）
　６８０円　　　　８５０円
　７２０円　　　　９００円
　７６０円　　　　９５０円
　８００円　　　１０００円
　８４０円　　　１０５０円（上限１０８０円ですからここまで）
　８８０円
　９２０円
　９６０円
１０００円
１０４０円
１０８０円

上のリストの左右両方にある金額を見つけます。
８００円　１０００円の二つです。
ですから（１）の条件の２人の合計金額は６４０円と８００円、または８００円と１０００円のどちらかと分かります。

（その１）６４０円と８００円の場合
その二人が買ったみかんの個数は最初の表から１１個と７個です。
その時、（２）から、もう一人が買ったみかんの個数を求めます。
１１－７＝４（条件に合います）
１１＋７＝１８（１２を超えていますから条件に合いません）

（その２）８００円と１０００円の場合
その二人が買ったみかんの個数は最初の表から７個と２個です。
その時、（２）から、もう一人が買ったみかんの個数を求めます。
７－２＝５（条件に合います）
７＋２＝９（条件に合います）

以上をまとめると（その１）から１通り、（その２）から２通りが求められます。
それぞれ計算すると次のようになります。

１１＋７＋４＝２２
７＋２＋５＝１４
７＋２＋９＝１８

答え　１４または１８または２２

２０１２年６月２日・日能研全国公開模試５年算数・７番

あるお店では、みかんを１個５０円、りんごを１個９０円で売っています。あきら君、かずこさん、さとる君の３人はそれぞれ、このお店でみかんとりんごを合わせて１人１２個ずつ買いました。
３人の代金の合計や果物の個数を比べると、次のことがわかりました。

（１）ある１人の代金の合計は、別の１人の代金の合計の１．２５倍である。

（２）ある１人（上の「ある１人」と同じ人とは限りません）が買ったみかんの個数は、別の２人が買ったみかんの個数の合計に等しい。

このとき、３人合わせてみかんを何個買いましたか。考えられるみかんの個数の合計をすべて求めなさい。ただし、答えに単位をつける必要はありません。

２０１２年鴎友学園女子中学校（第２回）３番・解説

（第１段階）
まず、この三角すいをふったときに、１回で何個のあめ玉がもらえるかを調べます。
１＋２＋３＋４＝１０で、このうちのひとつの数字が見えなくなるのですから、１０－１＝９、１０－２＝８、１０－３＝７，１０－４＝６の計算から、９個か８個か７個か６個もらえると分かります。

（第２段階）
上で分かった４つの数字を３個足して２３にすれば問題の条件をクリアできます。
まず合計が２３になる組合せを考えます。
その１　（９、９、５）
と行きたいところですが、５は上の数字に含まれませんからダメです。
ですから、その１は次のようになり、そのまま続きを書き出すと以下のようになります。
その１　（９、８、６）
その２　（９、７、７）
その３　（８、８、７）
「大きい順に書き出す」と決めておけば、重複がなくなり、みつけやすくなります。

（第３段階）
それぞれの数字の組から何通りできるかを考えていきます。
その１からは、３つを並べる順列の考え方で、３×２×１＝６通り
その２は１つだけ異なる数字が含まれているので、この数字が１回目に出るか２回目に出るか３回目に出るかで３通りになります。
その３もその２と同じ考え方で３通りになります。
以上を足して６＋３＋３＝１２

答え　１２通り

２０１２年鴎友学園女子中学校（第２回）３番

どの面も正三角形である三角すいがあり、４つの面には、１から４の異なる数字がひとつずつ書いてあります。この三角すいをサイコロのように１回ふったとき、見えている３つの面に書かれた数字の和だけあめ玉をもらえます。３回ふったとき、合計２３個のあめ玉をもらえる場合は何通りありますか。

２０１２年市川中学校（第１回）６番・解説

（１）分かることは次の通りです。（カッコ内はその根拠）

５人が全長１２ｋｍを走った。
１２時に全員同時にスタートした。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人は一定の速度のまま走った。（結果１）
Ｃのタイムは５５分。（結果２）
ＡＣＢの順に速かった。（結果３と結果５）
ＤはＢより速かった。（結果４）
ＥはＡより遅かった。（結果７）
ビリは二人以上いる。（結果８）

以上をまとめると順位で分かることは次の通りになります。
速い順にＡＣＢ
ＤはＢより速かったのでビリではない。
すると、ビリになったのはＢとＥということになります。
（１）答え　ＢとＥ

（２）実際の速さが必要ですから、今度はタイムを考えていきましょう。
Ｃが５５分。
ＡとＢの時間の平均はＣのタイムになる。
ＢとＥは同じタイム。
つまり、ＡとＥのタイムの平均もＣのタイムになるということです。
（結果７）より、ＡとＥのタイムの比は１：１．２＝５：６ですから、その平均は（５＋６）÷２＝５．５です。
これが５５分なので５５分÷５．５×６でＥのタイムが求められます。
計算すると６０分になります。
Ｅのタイムは６０分です。
これと（結果６）から、（２）が解けます。
分速（【ア】－１０）ｍで走った時間は１２時２０分から１２時４０分までの２０分間ですから、この間も分速を１０ｍ下げずに走れば、つまりずっと分速【ア】ｍのまま走っていればゴールより先に１０ｍ×２０分＝２００ｍまで進めたということになります。（実際に解く時は面積図を使うと分かりやすいですね）
つまり分速【ア】ｍのままなら、１２０００ｍ＋２００ｍ＝１２２００ｍを６０分掛かって進めるということですね。
１２２００÷６０＝２０３と１／３
（２）答え　２０３と１／３（２０３と三分の一）

（３）ＢとＥはタイムは同じでしたね。６０分です。
１２０００ｍ÷６０分＝２００ｍ
Ｂは分速２００ｍです。
スタートしてから２０分間はＥが分速（２０３と１／３）ｍで走ったので（２０３と１／３－２００）×２０分＝２００／３（三分の二百）
つまり、１２時２０分にはＥがＢの前方（２００／３）ｍにいるということです。
この時点からＥは分速を１０ｍ下げますから、旅人算で解きます。
Ｅの新しい分速（２０３と１／３）－１０＝１９３と１／３ｍ
二人の距離の差は２００／３ｍですから、次の式ができます。
２００／３÷（２００－１９３と１／３）
計算すると１０分です。
１２時２０分の１０分後に追いぬくということです。
１２時２０分＋１０分＝１２時３０分
（３）答え　１２時３０分

２０１２年市川中学校（第１回）６番

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人が全長１２ｋｍのマラソン大会に出場しました。
５人はちょうど１２時にスタートし、次のような結果になりました。
このとき、あとの問いに答えなさい。

（結果１）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人は、それぞれスタートしてからゴールするまで一定の速さで走った。
（結果２）Ｃは１２時５５分にゴールした。
（結果３）Ａが走った時間とＢが走った時間をたすとＣが走った時間の２倍に等しかった。
（結果４）ＤはＢよりも分速２０ｍ速かった。
（結果５）ＡはＢよりも速く走った。
（結果６）Ｅはスタートしてから１２時２０分まで分速【ア】ｍの一定の速さで走り、１２時２０分から１２時４０分までは分速（【ア】－１０）ｍの一定の速さで走り、１２時４０分以降は、再び分速【ア】ｍの一定の速さで走り、ゴールした。
（結果７）スタートしてからゴールするまでに、ＥはＡよりも１．２倍の時間がかかった。
（結果８）最後にゴールした人は１人ではなかった。

（問い１）最後にゴールした人をすべて答えなさい。
（問い２）【ア】にあてはまる数を求めなさい。
（問い３）ＥがＢに追いぬかれたのは、何時何分でしたか。

２０１２年浦和明の星女子中学校（第１回）５番・解説

（１）
ある数をAとすると次のことが言えます。
０×A＝０
１×A＝A
なので、答えは０と１です。
「そのような数を全て答えなさい」ではなく、「そのような数は２つあります」となっているところに、この中学の優しさを感じますね。

（２）
（１）の結果を踏まえると、積の１の位が１になるのは３×７＝２１（７×３＝２１）しかないので、答は（３，７，１）
以上で終わりです。
少し補足すれば、残るのは偶数の１枚とありますから、奇数は全部使います。
１は奇数ですが、最初の積を作る数には使えないので、かけ算の結果の１の位が１になるものを探せば良いということです。それが一つしかないから、この３枚１組は必ずどの場合にも必要になるということです。

こう考えてみると、正答率は高かったかもしれませんね。

２０１２年浦和明の星女子中学校（第１回）５番

次のように、数が書かれた１０枚のカードがあります。
【０】【１】【２】【３】【４】【５】【６】【７】【８】【９】

この１０枚のカードから２枚を選んで取ります。そして、２枚のカードに書かれた数の積を求め、その一の位の数が書かれたカードも、残った８枚の中から取って、３枚１組を作ることを考えます。
例えば、【２】と【６】を取ると、その積は１２で、すでに【２】が取られているので３枚１組を作ることができませんが、【３】と【８】を選んで取ると、その積が２４なので、さらに【４】も取り、（【３】【８】【４】）という３枚１組を作ることができます。
このように、１０枚のカードから３枚１組を作り、残ったカードでも同じように３枚１組を作っていき、３枚１組が３組作れるようなカードの選び方を考えます。このとき、カードは１枚残ります。

（１）積を作るための２枚のカードの中の１枚に、ある数が書かれていると、他の１枚がどんな数のカードであっても３枚１組を作ることができません。そのような数が２つあります。それを答えなさい。

（２）３枚１組を３組作ったところ、偶数のカードが１枚残りました。このとき作った３組の中には、ある３枚１組が必ず含（ふく）まれています。その３枚１組を答えなさい。ただし、積を作る２つの数は小さい順に書きなさい。

昌平中学校・２０１２年第１回３番・解説

この問題を算数として解くのに必要な知識は次の通りです。
植木算
過不足算
この２つの知識をうまく融合させています。

（１）解説
これは植木算の基本で解けます。
２４÷３＝８（間の個数）
両端には植えないので木の本数が間の個数より１少なくなります。
８－１＝７
答え　７本

（２）解説
これには過不足算の知識が必要です。

過不足算でよく出されるのは次のような形です。
『子供が何人かいて、一人に６個ずつキャンディーを配ると３個余るが、一人に８個ずつ配るには５個不足する。では子供は何人か』
これを解くときは、（全体の必要数の差）÷（一人分の個数の差）で子供の数を求めます。全体では３＋５＝８個の差が生まれる。一人分の差は８－６＝２個。なので、８÷２＝４で、子供の数は４人となります。

この問題と昌平中の入試問題とを比べてみましょう。
上の問題で子供の数にあたるものが、昌平中の問題ではサクラの木の間の個数です。
一人に配るキャンディーの個数にあたるものが、一つの間に必要なツツジの木の本数です。
一つの配り方は一つの間に７本のツツジを植える。つまり子供一人あたりキャンディー７個を配るということです。
するともう一つの配り方の個数が必要だと分かりますね。
それは６ｍおきに植える時の一つの間に植えるツツジの本数です。
（１）と同じように次の式で求められます。
２４÷６＝４　４－１＝３本
キャンディーで言えば、一人に３個配るということにあたります。
では全体の必要数の差はいくつでしょうか。
１６＋１６＝３２本です。
キャンディーで言えば、全体で３２個の差があるということです。
以上をまとめて、サクラの木の、間の個数が求められます。
３２÷（７－３）＝８個

ここでまた植木算の知識を使います。
１周に植えるときは間の個数と木の本数は等しいという知識です。
ですからサクラの木は全部で８本あると分かります。
答え　８本

（３）解説
２４ｍ×８＝１９２ｍ
答え　１９２ｍ

（まとめ）
分かりにくかったかもしれないので、キャンディーの例と昌平中の問題との比較を簡単にまとめておきます。

全体の差
キャンディーの例・・・・・３＋５＝８個
昌平中の入試問題・・・・・１６＋１６＝３２本

一つあたりの差
キャンディーの例・・・・・８－６＝２個
昌平中の入試問題・・・・・７－３＝４本

求められるもの
キャンディーの例・・・・・子供の数（８÷２＝４人）
昌平中の入試問題・・・・・サクラの木の間の個数（３２÷４＝８個）

昌平中学校・２０１２年第１回３番

ある池の周りに、２４ｍおきにサクラの木が植えてあります。このサクラの木の間にツツジの木を植えるために、ツツジの木を何本か用意しました。ツツジの木を３ｍおきに植えると１６本不足し、６ｍおきに植えると１６本余ります。ただし、サクラの木と同じ場所にツツジの木は植えないものとします。
これについて、次の問いに答えなさい。

（１）２４ｍはなれた２本のサクラの木の間に、３ｍおきにツツジの木を植えます。このとき、ツツジの木は何本必要ですか。

（２）サクラの木は全部で何本植えられていますか。

（３）この池の周りの長さは何ｍですか。

帝京大学中学校２０１１年２番（５）・解説

Ａの部屋の虫はＢの部屋にしか移動できません。
Ｂの部屋の虫はＡまたはＣの部屋にしか移動できません。
Ｃの部屋の虫はＢの部屋にしか移動できません。

そして最初は各部屋に１０匹ずつで、２秒ごとに別の部屋に移動していくことになりますから次のようにまとめられます。

ここでの整理のポイントはＡ・Ｃの部屋を一緒に考える（あるいはＢ以外の部屋と考える）ということです。

　　　　　　ＡかＣの部屋にいる虫　　Ｂの部屋にいる虫
０～２秒　　　　　　２０匹　　　　　　　　１０匹
２～４秒　　　　　　１０匹　　　　　　　　２０匹
４～６秒　　　　　　２０匹　　　　　　　　１０匹
６～８秒　　　　　　１０匹　　　　　　　　２０匹
８～１０秒　　　　　２０匹　　　　　　　　１０匹
１０～１２秒　　　　１０匹　　　　　　　　２０匹

以下、この繰り返しになります。
開始秒が４の倍数の時ＡかＣの部屋にいる虫の合計は２０匹です。
開始秒が４の倍数でない時ＡかＣの部屋にいる虫の合計は１０匹です。

５５秒は５４～５６秒に含まれますから、開始秒は４の倍数ではありません。
つまりＡかＣの部屋にいる虫の合計は１０匹です。
問題では、この時、Ａの部屋には７匹の虫がいたとありますから、Ｃの部屋には３匹の虫がいました。
そしてＢの部屋には２０匹の虫がいました。

こうして説明を聞けば実に簡単な問題ですね。

帝京大学中学校２０１１年２番（５）

３つの部屋に分かれた虫かごに、ある虫を入れて観察しました。
（図は省略。ＡＢＣの３つの部屋がこの順番に左から横に並んでいます。ＡとＢの間に出入り口、ＢとＣの間に出入り口。それ以外には出入り口はありません。）

この虫は２秒ごとにとなりの部屋に移動します。
３つの部屋に１０匹ずつの虫を同時に入れるとはじめの２秒間は最初に入れた部屋にいて、その後移動しました。

虫を入れて５５秒後、Ａの部屋に７匹の虫がいました。このときＢとＣの部屋には、それぞれ何匹の虫がいましたか。

春日部共栄中学校・２００９年２番（２）・解説

１匹の生物が１日毎に２倍になったり３倍になったりを繰り返しながら２０７３６匹になる日数を考えるわけです。
ここで問題をよく読むと、気温が１０度以下の日は２倍で、それ以外の日は３匹に分裂するという条件になっています。つまり１日あたりに増えるのは必ず全体の２倍か３倍にしかならないということです。この条件が無いと、訳が分からなくなってしまいます。

では考えていきましょう。
最初に１匹いるとして、１日目にこれが２倍になったとします。すると２匹になりました。その次の日はそれぞれが２倍か３倍になるのですから、２匹全体が２倍か３倍になるということですね。
つまり１から始めて２倍か３倍をどんどん繰り返しながら２０７３６になるには何回掛けたらよいかを求めるということです。
下のような式ができてきます。
１匹×（２×２×・・・・×２）×（３×３×・・・・×３）＝２０７３６匹

これを見れば２０７３６を素因数分解すれば良いのだと気が付きますね。
素因数分解すると次のようになります。
２０７３６＝２×２×２×２×２×２×２×２×３×３×３×３
２倍になる日が８回、３倍になる日が４回でちょうど２０７３６匹になります。
かけ算だけの式ですから２や３の順番はどう入れ替わっても答えに変わりはありませんね。
８＋４＝１２
答は１２日目です。

春日部共栄中学校・２００９年２番（２）・問題

ある生物は、１日で１匹が３匹に分裂します。ただし、気温が１０度以下になると１匹は２匹にしか分裂できません。
その生物が１匹から２０７３６匹になるのは何日目ですか。