２０１４年中学入試問題算数・栄東中学Ａ・４番・解説

（１）
（５＋８）×（８－５）＝１３×３＝３９
答え　３９

（２）
３３＝３３×１
この場合、（十の位の数と一の位の数の和）を３３にはできないのでありえません。

３３＝１１×３
和が１１で差が３ですから、和差算により、（１１＋３）÷２＝７　１１－７＝４
二つの数は７と４ですから
答え　４７　７４

（３）
次のように分類して考えましょう。
「和か差が０か７の倍数になれば【A】が７の倍数になる」ということに気づけるかがポイントです。
２つの数をまず書き出していきます。
その数からもとのAにあたる数が一つしかできない場合と二つできる場合があります。

（その１）差が０の場合
１，１
２，２
３，３
４，４
５，５
６，６
７，７
８，８
９，９

それぞれの組みから一つずつの数しか作れないので、この場合は９個

（その２）差が７の場合
９．２
８，１
７，０

７，０からは７０しか作れませんが、その他の組は二つずつできるので、この場合は５個

（その３）和が７の場合
０，７・・・これは（その２）の７，０と同じなので省く。
１，６
２，５
３，４

それぞれの組から二つずつできるので、この場合は６個

（その４）和が１４の場合
９，５
８，６
７，７・・・これは（その１）に含まれるので省く。

それぞれの組から二つずつできるので、この場合は４個

以上の４つの場合を合わせます。
９＋５＋６＋４＝２４

答え　２４個

２０１４年中学入試問題算数・栄東中学Ａ・４番

２けたの整数Ａに対して、
【Ａ】の値を（十の位の数と一の位の数の和）×（十の位の数と一の位の数の差）
とします。例えば
【１７】＝８×６＝４８
【６０】＝６×６＝３６
【４４】＝８×０＝０
となります。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）【５８】を求めなさい。

（２）【Ａ】＝３３となる整数Ａをすべて求めなさい。

（３）【Ａ】が７の倍数になるような整数Ａの個数を求めなさい。ただし、０は７の倍数として考えます。

２０１３年中学入試算数・桜蔭中学校１番（２）・解き方

Aさんは６日で１周期、Bさんは５日で１周期です。
最小公倍数の３０日が大きな１周期となります。

この大きな１周期で何個の製品ができるでしょうか。
大きな１周期の中に、Aさんは５周期、Bさんは６周期入っています。
Aさんが作る分は次のとおりです。
２５個×５日×５周期＝６２５個
Bさんが作る分は次のとおりです。
３０個×４日×６周期＝７２０個
二人合わせると１３４５個となります。

では、次に、１００００個作るには何周期かかるか考えましょう。
１００００個÷１３４５個＝７周期あまり５８５個
７周期で、あとは半端が５８５個ということです。

この５８５個に何日かかるかを求めるのがすこし大変かも。
様々なアプローチがあると思いますが、ここは地道に考えてみましょう。

１日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（５５個）
２日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（１１０個）
３日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（１６５個）
４日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（２２０個）
５日目Aさん（２５個）Bさん（やすみ）合計（２５個）累計（２４５個）
６日目Aさん（やすみ）Bさん（３０個）合計（３０個）累計（２７５個）
７日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（３３０個）
８日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（３８５個）
９日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（４４０個）
１０日目Aさん（２５個）Bさん（やすみ）合計（２５個）累計（４６５個）
１１日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（５２０個）
１２日目Aさん（やすみ）Bさん（３０個）合計（３０個）累計（５５０個）
１３日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（６０５個）

この部分は表のようなものにまとめてしまえば、もっと簡単にできます。
ここは理解しやすいように少していねいに書いてみました。

さて以上より、半端の１３日目に１００００個目ができると分かります。
つまり合計の日数は次のとおりです。
３０日×７周期＋１３日＝２２３日

４月１日から開始していますから、４月２２３日ということです。
これが実際には何月何日になるのか。
ここからも地道に行きましょう。

２２３日－３０日＝１９３日（５月１９３日）
１９３日－３１日＝１６２日（６月１６２日）
１６２日－３０日＝１３２日（７月１３２日）
１３２日－３１日＝１０１日（８月１０１日）
１０１日－３１日＝７０日（９月７０日）
７０日－３０日＝４０日（１０月４０日）
４０日－３１日＝９日（１１月９日）

曜日も求めましょう。
２２３日÷７日＝３１週間あまり６日
火曜日から始まって６日あまりましたから、
火・水・木・金・土・日ということで、日曜日と分かります。

答え　（１１）月（９）日（日）曜日

２０１３年中学入試算数・桜蔭中学校１番（２）・問題

ある製品を、Aさんは１日に２５個、Bさんは１日に３０個作ります。
また、Aさんは５日続けて働いて１日休み、Bさんは４日続けて働いて１日休みます。
この２人が４月１日（火曜日）に働き始めたとすると、この製品が合計で１００００個できるのは（　）月（　）日（　）曜日です。

公倍数に関する文章題（複数の花火の打ち上げ回数と音の回数）・解説

各設問に取りかかる前に、それぞれの花火の、最後の１発が何分後に聞こえるかをまず考えます。
「概要」で述べたように、植木算の考え方で求めます。

Aの花火
２分×（５０－１）＝９８分後

Bの花火
３分×（５０－１）＝１４７分後

Cの花火
５分×（５０－１）＝２４５分後

では順に各設問を解いていきましょう。

（１）
Aは２分ごと、Bは３分ごとに聞こえるので、２と３の最小公倍数ごとに聞こえるということです。
最小公倍数は６なので６分ごとに聞こえます。
Aが先に終わるので、Aの最後の音が聞こえるまでの９８分間について考えます。
９８分÷６分＝１６あまり２分
植木算の考え方から、聞こえるのは１６＋１＝１７回です。
答え　１７回

（２）
（１）と同様に解き進めます。
２と５の最小公倍数は１０なので、１０分ごとに同時に聞こえます。
Aが先に終わるので９８分までについて考えます。
９８分÷１０分＝９あまり８分
植木算の考え方から、聞こえるのは９＋１＝１０回です。
答え　１０回

（３）
（１）（２）と同様に解き進めます。
３と５の最小公倍数は１５なので１５分ごとに同時に聞こえます。
Bが先に終わるので１４７分までについて考えます。
１４７分÷１５分＝９あまり１２分
植木算の考え方から、聞こえるのは９＋１＝１０回です。
答え　１０回

（４）
２と３と５の最小公倍数は３０なので３０分ごとに３発が同時に聞こえます。
Aが最初に終わるので９８分までについて考えます。
９８分÷３０分＝３あまり８分
植木算の考え方から、聞こえるのは３＋１＝４回です。
答え　４回

（５）
それぞれの花火について、次のような分類をしておくと分かりやすいです。

まずAについて考えてみましょう。
AとBが同時に聞こえる回数・・・１７回
AとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
３発同時に聞こえる回数・・・４回【答えア】
以上より次のことが分かります。
AとBだけが同時に聞こえる回数・・・１７－４＝１３回【答えイ】
AとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えウ】
さらに次のように考えます。
Aだけが聞こえる回数・・・５０－（４＋１３＋６）＝２７回【答えエ】

Bについても同じように考えていきます。
AとBが同時に聞こえる回数・・・１７回
BとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
３発同時に聞こえる回数・・・４回【答えア】
以上より次のことが分かります。
AとBだけが同時に聞こえる回数・・・１７－４＝１３回【答えイ】
BとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えオ】
さらに次のように考えます。
Bだけが聞こえる回数・・・５０－（４＋１３＋６）＝２７回【答えカ】

Cについても同じように考えていきます。
AとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
BとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
３発同時に聞こえる回数・・・４回【答えア】
以上より次のことが分かります。
AとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えウ】
BとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えオ】
さらに次のように考えます。
Cだけが聞こえる回数・・・５０－（４＋６＋６）＝３４回【答えキ】

以上をまとめます。
（その１）１発の花火だけが聞こえる回数
【エ】＋【カ】＋【キ】＝２７＋２７＋３４＝８８回

（その２）２発の花火だけが同時に聞こえる回数
【イ】＋【ウ】＋【オ】＝１３＋６＋６＝２５回

（その３）３発の花火が同時に聞こえる回数
【ア】＝４回

８８＋２５＋４＝１１７

答え　１１７回

公倍数に関する文章題（複数の花火の打ち上げ回数と音の回数）

A、B、C３種類の打ち上げ花火を、はじめ同時に打ち上げ、その後はAは２分ごと、Bは３分ごと、Cは５分ごとに１発ずつ打ち上げます。
それぞれ５０発打ち上げました。
その間に聞こえた花火の打ち上げの音の回数を考えます。
ただし、どの花火も打ち上げた時に１回だけ音が聞こえ、同時に打ち上げた時も１回だけが聞こえるものとします。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）AとBの音が同時に聞こえるのは何回ですか。

（２）AとCの音が同時に聞こえるのは何回ですか。

（３）BとCの音が同時に聞こえるのは何回ですか。

（４）AとBとCの音が同時に聞こえるのは何回ですか。

（５）はじめの花火から最後の花火までで何回の音が聞こえましたか。

２０１３年中学入試算数・雙葉中学校５番・解説

持っている金額と使った金額とを比較していきましょう。

初めの所持金。
１３００００円

使った金額（その１）。
２５０ドル

使った金額（その２）。
５４０ユーロ

残った所持金。
４７２８４円

使った金額の合計を円で求めましょう。
１３００００円－４７２８４円＝８２７１６円

つまり、使った金額について考えると次のようになります。
２５０ドル＋５４０ユーロ＝８２７１６円

ドルとユーロについては問題文中に次のように書いてありました。
１０００ドル＝７６８ユーロ

ユーロと円の関係を問われているので、使った金額のうちの２５０ドルをユーロに直しましょう。
２５０ドルは１０００ドルの四分の一なので、７６８ユーロ÷４＝１９２ユーロ
つまり
２５０ドル＝１９２ユーロ

使った金額の合計をユーロだけで表すと次のようになります。
１９２ユーロ＋５４０ユーロ＝７３２ユーロ
これが８２７１６円と等しいので、１ユーロが何円かを出すには次の計算をします。

８２７１６÷７３２＝１１３

答え
１１３円

２０１３年中学入試算数・雙葉中学校５番

海外旅行に行きました。
１３万円の所持金を、できるだけドルに換えて、残りは円のまま持っていました。
最初に２５０ドルを使いました。
次に１０００ドルをユーロに換えると、ちょうど７６８ユーロでした。
５４０ユーロ使い、使わなかったドルもユーロも円に換えると、残りの所持金は全部で４７２８４円でした。
１ユーロは何円でしたか。
お金を交換するときの比率は、旅行中は変わりません。
また、交換の手数料は考えません。
割り切れないときは小数第１位を四捨五入しましょう。

２０１３年中学入試算数・渋谷教育学園幕張中学校２番・解説

（１）
二人の所持金の流れをチャートのようにまとめてみましょう。

真一　　　　　　　　和子
４０００円　　　　　４０００円（初めの所持金）
－５００円　　　　　－５００円（初めのきっぷ代）

３５００円　　　　　３５００円（きっぷを買った後の所持金）
－２２００円　　　　－１１００円（最初の買い物）

１３００円　　　　　２４００円（最初の買い物をした後の所持金）
－４００円　　　　　－４００円（昼食代）

９００円　　　　　　２０００円（昼食後の所持金）
－５５０円　　　　　－１１００円（次の買い物）

３５０円　　　　　　９００円（中央駅にもどった時の所持金）

以上の結果から、中央駅にもどった時、真一君は３５０円しか持っていなかったので１５０円足りないと分かります。
和子さんから借りた金額は１５０円です。
答え１５０円


（２）
この問題でのポイントは、最後に二人の合計金額を考えるということです。
では、チャートを作ってみましょう。
なお、最初の買い物の金額を〔１〕や〔２〕、次の買い物の金額を《１》や《２》と表します。〔２〕は〔１〕の２倍の金額という意味です。

真一　　　　　　　　　和子　　　
４０００円　　　　　　４０００円
－５００円　　　　　　－５００円（初めのきっぷ代）

３５００円　　　　　　３５００円
－〔２〕　　　　　　　－〔１〕（最初の買い物）

３５００円－〔２〕　　３５００円－〔１〕
－４００円　　　　　　－４００円（昼食代）

３１００円－〔２〕　　３１００円－〔１〕
－《１》　　　　　　　－《２》（次の買い物）

中央駅にもどった時の所持金について確認します。
真一
３１００円－〔２〕－《１》

和子
３１００円－〔１〕－《２》

二人の所持金の合計は次のようになります。
６２００円－〔３〕－《３》

ここで、この問題では、真一くんが最初の買い物に使った金額を最大にした場合いくらかと問われているので、最後の式の中の、〔３〕をなるべく大きくするということです。
つまり二人の最後の所持金は最小にするということです。
二人で５００円のきっぷが２枚買えれば良いので、最小の所持金の合計は１０００円となります。
そこで次の式が作れます。
６２００円－〔３〕－《３》＝１０００円
式を整理すると次のようになります。
５２００円＝〔３〕＋《３》
５２００÷３＝１７３３．３・・より
１７３３．３・・円＝〔１〕＋《１》

〔１〕を最大にするには、《１》を最小にすれば良いのです。
問題に「どちらの店でも２人はそれぞれ５００円以上の買い物をしました」とあるので、《１》＝５００円となります。

１７３３．３・・－５００＝１２３３．３・・
つまり
〔１〕＝１２３３．３・・
となります。
ここで真一くんは最初の買い物に〔２〕使ったので
１２３３．３・・×２＝２４６６．６・・
となります。
真一くんが最初の買い物に使った金額は整数なので２４６６円です。
答え２４６６円

割合の数の入った式の処理が分からなくなったら、上皿天秤のイメージを使ったり、線分図を使ったりすれば、つかみやすくなります。





　　　　　

２０１３年中学入試算数・渋谷教育学園幕張中学校２番

ある日、真一くんと和子さんは、買い物に出かけました。
下の文章は、そのときの様子を表したものです。

はじめ、真一くんと和子さんはそれぞれ４０００円ずつ持っていました。
まず、２人はそれぞれ５００円のきっぷを買い、最寄り（もより）の駅から電車に乗って、中央駅でおりました。そして、最初に入った店で、真一くんは和子さんの２倍の金額の買い物をしました。
それから、２人はそれぞれ４００円ずつ払って（はらって）昼食を食べ、次に入った店で和子さんは真一くんの２倍の金額の買い物をしました。
その後、中央駅にもどり、電車に乗って帰ろうとしたところ、真一くんはお金を使いすぎて、最寄り駅までのきっぷが買えないことに気づきました。
そこで、真一くんは和子さんからたりない金額の分だけお金を借りて、それぞれ５００円のきっぷを買い、電車に乗って最寄り駅まで帰りました。
２人が買い物をした店は２つだけで、そのどちらの店でも２人はそれぞれ５００円以上の買い物をしました。

このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）和子さんが、２つの店でそれぞれ１１００円ずつ買い物をしたとすると、帰りに真一くんは和子さんから何円お金を借りなければなりませんか。

（２）上の文章のとき、真一くんが、最初に入った店で買い物に使ったと考えられる金額は、もっとも多くて何円ですか。

１９９７年中学入試算数・駒場東邦中学校１番・解説

第１グループ（１，３，８）合計１２
第２グループ（２，４，１２）合計１８
第３グループ（３，５，１６）合計２４
第４グループ（４，６，２０）合計３０
第５グループ（　，　，　　）
第６グループ（６，８，２８）
・・・・・・・
・・・・・・・

この数列の規則を見てみましょう。
左の数はグループ番号と同じ。
中の数は左の数＋２
右の数は（グループ番号＋１）の４倍


（１）解き方

以上より、聞かれているのは第５グループなので、
答え（５，７，２４）


（２）解き方

右の数が最初に３桁になります。
１００÷４＝２５
２５－１＝２４
第２４グループに初めて３桁の数（１００）が出てきます。
答え　２４番目


（３）解き方

各グループの合計を見てみると、第Ｎグループの合計は
（Ｎ＋１）×６と表せます。
１８０÷６＝３０
３０－１＝２９
第２９グループと分かるので、
答え（２９，３１，１２０）


（４）解き方

３桁の整数だけで作られているグループについて考えてみます。

最初のもの
最後に３桁になるのは左の数なのでそこから求めます。
第１００グループ（１００，１０２，４０４）合計６０６

最後のもの
最初に３桁から４桁に変わるのは右の数なのでそこから求めます。
９９９÷４＝２４９あまり３なので
第２４８グループ（２４８，２５０，９９６）合計１４９４

以上より等差数列の和の公式によって求められます。
（６０６＋１４９４）×１４９÷２＝１５６４５０
答え　１５６４５０

１９９７年中学入試算数・駒場東邦中学校１番

ある規則に従って、整数を３つずつ組み合わせて、次のように並べました。
（１，３，８）
（２，４，１２）
（３，５，１６）
（４，６，２０）
（　，　，　　）
（６，８，２８）
・・・・・・・
・・・・・・・

（１）上の空欄に入る組み合わせを書きなさい。

（２）はじめて３けたの整数が含まれる組み合わせがあらわれるのは、上から何番目の組み合わせですか。

（３）ある組み合わせに含まれる整数の和が１８０でした。３つの整数を求めなさい。

（４）３けたの整数だけで作られている組み合わせに含まれるすべての整数の和を求めなさい。

２０１２年中学入試算数・八雲学園中学校第１回・２番（７）・解説

最もシンプルなのは問題の通りに書き出してみることでしょうか。
容器Aと容器Bの容積の差は１２０立方センチメートルという条件が与えられていますが、Aだと７はい目の途中、Bだと１２はい目の途中でいっぱいになるのですから、Aの方が容積が大きいと分かりますね。
ですから、A１はいを、（B１はい＋１２０立方センチメートル）と考えます。〔条件１〕

水そうの容積について、問題文から、次の二通りに表せます。

まず一つ目の表し方。
容器Aの７はい目に１００立方センチメートル残ることから
A７はい－１００立方センチメートル
となります。
これは〔条件１〕により、次のように置き換えられます。
A７はい＝B７はい＋１２０立方センチメートル×７なので
（B７はい＋１２０立方センチメートル×７）－１００立方センチメートル
整理しましょう。
B７はい＋８４０立方センチメートル－１００立方センチメートル
B７はい＋７４０立方センチメートル〔条件２〕

次に二つ目の表し方。
容器Bの１２はい目に１６０立方センチメートル残ることから
B１２はい－１６０立方センチメートル〔条件３〕

〔条件２〕と〔条件３〕はどちらも水そうの容積を表していますから等しいです。
つまり
B７はい＋７４０立方センチメートル＝B１２はい－１６０立方センチメートル
線分図に表してみましょう。

１８０立方センチメートル×１２－１６０立方センチメートル＝２０００立方センチメートル
答え２０００立方センチメートル

このほか、面積図によって解くのも良いやり方だと思います。

２０１２年中学入試算数・八雲学園中学校第１回・２番（７）

ある水そうに水を入れます。
容器Aで水を入れると７はい目の途中でいっぱいになり、容器Aに水が１００立方センチメートル残ります。
また、容器Bで水を入れると１２はい目の途中でいっぱいになり、容器Bに水が１６０立方センチメートル残ります。
容器Aと容器Bの容積の差は１２０立方センチメートルです。
この水そうの容積は何立方センチメートルですか。

２０１２年中学入試算数・法政大学中学校６番・解説

３人乗りのリフトと４人乗りのリフトが同じ１０秒間隔で同時にスタートするということをしっかりつかんでおきましょう。

（１）
使った台数の比は、３人乗りと４人乗りですから、逆比で４：３です。
出発した瞬間に着目して考えます。
３人乗りリフトだけを使った場合と４人乗りリフトだけを使った場合の、合計時間の差を求めます。１２分－１０分＝２分です。
これはそれぞれのリフトが１台目から最後まで出発するのに掛かった時間の差でもあります。
２分＝１２０秒なので、１２０÷１０＝１２を計算します。
３人乗りのリフトは４人乗りのリフトより１２台多く使ったと分かります。
４：３の差が実際には１２台なので、３人乗りのリフトの合計台数は１２台×４＝４８台です。
３人×４８＝１４４人
答え　１４４人

（２）
３人乗りのリフトは４８台使ったので、スタートに掛かった時間の合計を求めます。
１台目がスタートしてから４８台目がスタートするまでの時間を求めるには、植木算の考え方が必要です。
１０秒×（４８－１）＝４７０秒＝７分５０秒
この時間と１２分との差が、最後の１台が出発してから山頂に着くまでに掛かった時間です。
１２分－７分５０秒＝４分１０秒
さて、ここでは３人乗りと４人乗りリフトを同時に使う場合について問われています。
ですから７人乗りのリフトを使うと考えていきましょう。
１４４人÷７人＝２０余り４人
余りの４人は４人乗りリフト１台にのるので、合計２１台分を使えば良いと分かります。
出発に掛かる時間を求めます。
１０秒×（２１－１）＝２００秒＝３分２０秒
これに最後の１台の山頂までの時間を足せば答えです。
３分２０秒＋４分１０秒＝７分３０秒
答え　７分３０秒