２００９年武蔵中学校入学試験問題。算数４番。解き方。

（１）
どんな組み合わせがあるのか、見やすく書き出してみましょう。
５個の合計が重くなる順番に書き出していきます。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
３個　　　１個　　　１個
２個　　　２個　　　１個
２個　　　１個　　　２個
１個　　　３個　　　１個
１個　　　２個　　　２個
１個　　　１個　　　３個

あれあれ、「５通りの重さががあることがわかりました」と問題文に書いてありますが、組み合わせは６通りありますね。
この中のどれか２つの組み合わせは同じ重さだということです。

比べにくいので、最初に１個ずつをそれぞれの袋にいれてしまったと考えて、残り２個の入れ方だけを比べてみましょう。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
２個　　　０個　　　０個
１個　　　１個　　　０個
１個　　　０個　　　１個
０個　　　２個　　　０個
０個　　　１個　　　１個
０個　　　０個　　　２個

こうして比べてみると、３番目と４番目では、どちらが重くなるのか分からないですね。
つまり、この２種類の組み合わせは同じ重さの可能性があるということです。
すると、この２種類が同じ重さだと考えないと、重さが５通りということにならないと分かります。
つまり同じ重さになるのは（２、１、２）と（１、３、１）です。

答え（２，１，２）と（１，３，１）


（２）
重い順に、それぞれの組み合わせに記号を付けましょう。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
３個　　　１個　　　１個・・・・・（１番目）
２個　　　２個　　　１個・・・・・（２番目）
２個　　　１個　　　２個・・・・・（３番目）
１個　　　３個　　　１個・・・・・（３番目）
１個　　　２個　　　２個・・・・・（４番目）
１個　　　１個　　　３個・・・・・（５番目）

２番目の合計は７９ｇ
４番目の合計は７１ｇ

ここで３番目の重さが２種類あることにも注目しましょう。
２個　　　１個　　　２個・・・・・（３番目）
１個　　　３個　　　１個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
つまり
１個　　　０個　　　１個・・・・・（３番目）
０個　　　２個　　　０個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
このことから次のことが分かります。
Ａ１個とＣ１個の合計と、Ｂ２個が同じ重さ。
↓
ＡとＣの平均はＢと等しい。
↓
ＡとＢとの差、ＢとＣとの差は等しい。

そこで、ＡとＢとの差＝ＢとＣとの差＝【１】とすると、それぞれの玉の重さは次のように、一番軽いＣを基準にして表すことができます。

Ｃ１個の重さ＝Ｃ
Ｂ１個の重さ＝Ｃ＋【１】
Ａ１個の重さ＝Ｂ＋【１】＝Ｃ＋【２】


これを使って７９ｇとなる組み合わせから式を作ってみましょう。

　Ａ２個＋Ｂ２個＋Ｃ１個
＝（Ｃ＋【２】）×２＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×２＋【２】×２＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×５＋【４】＋【２】
＝Ｃ×５＋【６】・・・・・これが７９ｇと等しい。

次に７１ｇとなる組み合わせからも式を作ります。

　Ａ１個＋Ｂ２個＋Ｃ２個
＝（Ｃ＋【２】）×１＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×１＋【２】×１＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×５＋【２】＋【２】
＝Ｃ×５＋【４】・・・・・これが７１ｇと等しい。

２つの式を比べてみます。
Ｃ×５＋【６】＝７９ｇ
Ｃ×５＋【４】＝７１ｇ

ここから、
【６】－【４】＝７９ｇ－７１ｇ
【２】＝８ｇ
【１】＝４ｇ

さらに【４】＝１６ｇですから、
Ｃ×５＝７１ｇ－１６ｇ
Ｃ×５＝５５ｇ
Ｃ＝１１ｇ

Ｂ＝１１＋４＝１５ｇ
Ａ＝１５＋４＝１９ｇ

答え　Ａ１９ｇ　Ｂ１５ｇ　Ｃ１１ｇ


別解
Ａ１個＋Ｃ１個＝Ｂ２個を使って消去算として考える方法。

７９ｇ＝Ａ×２＋Ｂ×２＋Ｃ×１・・・・・（式あ）
７１ｇ＝Ａ×１＋Ｂ×２＋Ｃ×２・・・・・（式い）

（式あ）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７９ｇ＝Ａ×２＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×１
７９ｇ＝Ａ×３＋Ｃ×２・・・・・（式う）

（式い）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７１ｇ＝Ａ×１＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×２
７１ｇ＝Ａ×２＋Ｃ×３・・・・・（式え）

（式う）×２より
１５８ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×４・・・・・（式お）
（式え）×３より
２１３ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×９・・・・・（式か）

（式か）－（式お）より
５５ｇ＝Ｃ×５
これより、Ｃ＝１１ｇ

（式う）にＣ＝１１を代入して、Ａ＝（７９－２２）÷３＝１９
Ａ＋Ｃ＝Ｂ×２なので、Ｂ＝（１１＋１９）÷２＝１５

答え　Ａ１９ｇ　Ｂ１５ｇ　Ｃ１１ｇ

１９９８年筑波大学附属中学校入学試験問題。算数５番。解き方

４３２１から３６９の倍数を引くと、□の数が求められます。
□の数は、１，２，３，４の数からできている４桁の数ということですから、１の位の数も１か２か３か４です。
一方、３６９の１の位は９ですが、９の倍数の１の位には全ての数が出てきますから、３６９の何倍の数を引けば、□の数の１の位が１か２か３か４になるかと考えます。
つまり、３６９の倍数の１の位がいくつならば□の数の１の位が１～４のどれかになるかと考えていくのです。

（４３２１－９）の１の位の数＝２（OKです）
次に進みます。
４３２１－３６９＝３９５２（NGです）
一応４桁全てを書きましたが、解く時は、１０の位に５が出た時点でNGと分かりますね。

（４３２１－８）の１の位の数＝３（OKです）
次に進みます。
３６９×２＝７３８
４３２１－７３８＝３５８３（NGです）
これも１０の位が８ですから、その時点でNGと分かりますね。

（４３２１－７）の１の位の数＝４（OKです）
次に進みます。
３６９×３＝１１０７
４３２１－１１０７＝３２１４（OKです）

答え　３２１４

四谷大塚６年夏期講習・講習会判定テスト第２回・２番（６）・解き方

この形から、台形を思い浮かべるのは自然だと思います。
台形の面積として求めるのが普通でしょうか。

求める図形をＮ番目としてみましょう。
すると、一番上の段の個数はＮ個となるので、
合計の個数は次の式で表せます。

〔Ｎ＋｛Ｎ＋（Ｎー１）｝〕×Ｎ÷２
（上底＋下底）×高さ÷２の式と比べて理解してください。
｛Ｎ＋（Ｎ－１）｝の部分が下底にあたります。

この式を整理していきましょう。
（Ｎ＋２×Ｎ－１）×Ｎ÷２
これが１１７個なので次の式ができます。

（Ｎ＋２×Ｎ－１）×Ｎ＝１１７×２

さらに整理してみましょう。

（３×Ｎ－１）×Ｎ＝２３４

ここで２３４を素数の積で表してみます。
２３４＝２×３×３×１３

（３×Ｎ－１）×Ｎ＝２×３×３×１３
この式から
２６×９を見つけ、Ｎ＝９と求められます。

四谷大塚が配布した解説の式はこの解き方をコンパクトにしたものでしょう。
でも、とても分かりづらいですね。

そこで、別の解き方がないか、考えてみましょう。
例えば４番目の形は次のように見ることができます。

○○○○
○○○○●
○○○○●●
○○○○●●●

つまり左側の白石の部分は４×４（４の平方数）
右側の黒石の部分は１＋２＋３（１から３までの合計、つまり３までの三角数）
と考えられます。

だから、求める図形は
Ｎの平方数と
（Ｎ－１）までの三角数の合計となります。

三角数というのをもっと詳しく知りたい人は、日能研ブックスの「算数ベストチェック」の５２ページを読んでください。

１１７に近い平方数をみつけていきましょう。
１００＝１０×１０
三角数は（１＋９）×９÷２＝４５
１００＋４５＝１４５
だから、これは当てはまりません。

次は
８１＝９×９
三角数は（１＋８）×８÷２＝３６
８１＋３６＝１１７
あ～、ピッタリですね（＾ｏ＾）

これなら簡単に、しかも短時間で求められると思います。

なお、４５の一つ前の三角数を求める時は、４５－９と計算するともっと速いですね。
意味は分かりますね。
１から９までの合計から９を引けば１から８までの合計になります。

答え　９番目

２０１５年土佐塾中学校入学試験問題（県外Ⅱ）。算数２番。解き方。

（１）
Ａ、Ｂ、Ｃについて、連比で合わせましょう。
Ａを６と９の最小公倍数の１８にします。
Ｂは１０，Ｃは３になります。
Ａ：Ｂ：Ｃ＝１８：１０：３です。
実際の年令はＢが４０才ですから、Ｃは３×（４０÷１０）＝１２で、
１２才となります。

答え　１２才

（１）別解
Ａ：４０＝９：５
からＡの年令を求めても良いですね。
Ａ＝４０÷５×９＝７２才

次にＡとＣから比例式を作ります。
７２：Ｃ＝６：１
Ｃ＝７２÷６×１＝１２


（２）
Ａも同じように現在の年令を求めておきます。
１８×４＝７２で、７２才です。
４：１になるのは【１】年後としましょう。
（７２＋【１】）：（１２＋【１】）＝４：１
二人とも同じだけ年を取るので、差は変わりません。
７２－１２＝６０
この６０が、４：１の差の３に等しくなればよいので、６０÷３＝２０
すなわち、Ｃが２０才になったときが４：１になるときです。
【１】＝２０－１２＝８

答え　８年後

（２）別解
（７２＋【１】）：（１２＋【１】）＝４：１
の式に、内項の積＝外項の積を使う方法もあります。
（１２＋【１】）×４＝（７２＋【１】）×１
式を整理します。
４８＋【４】＝７２＋【１】
【３】＝２４
【１】＝８


（３）
現在のＡとＢとの年令の和は７２才＋４０才＝１１２才
これも（２）と同じように解いていきます。
AとBの年令の和が、Cの年令の６倍になるのは、今から【１】年後とします。
ここで（２）と違うのは、ＡとＢの和は、【１】年後には【２】増えるということです。
分かりますね、二人だからです。
一方、Ｃが増えるのは【１】です。
式を作りましょう。
（１１２＋【２】）：（１２＋【１】）＝６：１
ここでは、内項の積＝外項の積を使ってみましょう。
（１２＋【１】）×６＝（１１２＋【２】）×１
式を整理します。
７２＋【６】＝１１２＋【２】
【４】＝４０
【１】＝１０

答え　１０年後

2014年中学入試算数・東京農業大学第一高等学校中等部・第２回試験・１番（３）・解き方

「ある小数」を１０倍して小数第１位を四捨五入すると４９になるのですから、四捨五入して４９になる小数の範囲を求めましょう。

４８．５以上４９．５未満です。

それぞれ１０で割ってもとの小数の範囲を求めます。

４８．５÷１０＝４．８５以上
４９．５÷１０＝４．９５未満

また、９倍して小数第１位を四捨五入すると４５になるのですから、こちらも四捨五入して４５となる小数の範囲を求めましょう。

４４．５以上４５．５未満です。

それぞれ９で割ってもとの小数の範囲を求めます。

４４．５÷９＝４．９４４４・・・・以上
４５．５÷９＝５．０５５５・・・・未満

ここまでで、求める「ある小数」の範囲が全てそろいました。

小さい順に書き並べてみましょう。

４．８５以上
４．９４４４・・・・以上
４．９５未満
５．０５５５・・・・未満

この全てを満たすのが求める小数ですから、「ある小数」の小数第２位の数字は４です。

答え　４

予習シリーズ６上９回基本問題１（１）の類似問題・解き方

和が１２になる３つの数字の組み合わせを書き出すと、次のようになります。
このとき、思いつきで書き並べたら抜けが出やすいのは言うまでもありません。
ですから、大きい数順に並べるというルールで書き出していきましょう。

（９，３，０）
（９，２，１）
（８，４，０）
（８，３，１）
（８，２，２）
（７，５，０）
（７，４，１）
（７，３，２）
（６，６，０）
（６，５，１）
（６，４，２）
（６，３，３）
（５，５，２）
（５，４，３）
（４，４，４）

数字の組み合わせは以上です。

次にこれらの組からそれぞれ何通りの３桁の数ができるかを考えていきます。

（９，３，０）からは９３０，９０３，３９０，３０９の４つの数ができます。これは積の公式を使って、２×２×１＝４と求めることもできます。
百の位に０は使えないので２通り。十の位は残り２つの数のどちらでも良いので２通り。一の位は残りの数字一つですから１通りという意味です。これらの自由な組み合わせで３桁の数ができるので、それぞれの数字を掛け合わせるのです。これが積の公式の意味です。
ということで、４通り。

（９，２，１）にも積の公式を使いましょう。３×２×１＝６です。
９も２も１もどの位でも使えるので、この式となります。
ということで６通り。

（８，４，０）は数字の構成は（９，３，０）と同じですから、４通り。

（８，３，１）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（８，２，２）は、８がどの位に来るかで考えれば良いです。ですから３通りです。
念のために書いておくと、８３３，３８３，３３８の３通りということです。

（７，５，０）は数字の構成は（９，３，０）と同じですから、４通り。

（７，４，１）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（７，３，２）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（６，６，０）は０があり、同じ数字があるというやっかいな組みなので、書き出しで求めます。６６０と６０６の２つですから、２通り。

（６，５，１）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（６，４，２）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（６，３，３）は数字の構成は（８，２，２）と同じですから、３通り。

（５，５，２）は数字の構成は（８，２，２）と同じですから、３通り。

（５，４，３）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（４，４，４）は４４４以外の数はできないのは説明するまでもないでしょうから、１通り。

以上を足し合わせます。

６通り×７＋４通り×３＋３通り×３＋２通り＋１通り＝６６通り

答　６６通り

２０１４年中学受験算数問題・鴎友学園女子中学校・第１回試験・３番〔解き方）

（１）
３÷３０＝０余り３
（３×３）÷３０＝９÷３０＝０余り９
（３×３×３）÷３０＝（９×３）÷３０＝２７÷３０＝０余り２７
（３×３×３×３）÷３０＝（２７×３）÷３０＝８１÷３０＝２余り２１
（３×３×３×３×３）÷３０＝（８１×３）÷３０＝２４３÷３０＝８余り３

これで答は３と分かります。

答　３

（２）
（１）の式を上から順に見ていくと、上の式の割られる数を順に３倍していっているということがつかめます。
ということは、答や余りも３倍すればよいということです。
（１）の４行目の式の答は「２余り２１」です。
これを３倍すると、「６余り６３」です。
ところが、３０で割った余りを求めるのですから、６３の中にも３０が２個入っているので、「６余り６３」は「８余り３」と整理できます。
すると、次の計算の答はどうなるでしょう。
「８余り３」を３倍すると、「２４余り９」です。
これは余りが３０以下なのでこのままで大丈夫ですね。

以下、各式の余り自体を順に３倍して、３０で割った余りについて考えていけば良いので書き出してみましょう。

「２４余り９」　３倍して「７２余り２７」
次からは余りだけ考えていきます。
２７×３＝８１　８１÷３０＝２余り２１

ここまで分かったら、改めて余りについてだけ書き出してみましょう。

書き出す手順は次の順番です。
３の個数→仮の余り→「仮の余り÷３０」の結果→本当の余り

１個→３→０余り３→３
２個→３×３＝９→０余り９→９
３個→９×３＝２７→０余り２７→２７
４個→２７×３＝８１→２余り２１→２１
５個→２１×３＝６３→２余り３→３
６個→３×３＝９→０余り９→９

さあ、これで規則性がみつかりました。
４個で１周期ですね。
５０÷４＝１２余り２
余り２ですから、上の表より９と分かります。

答　９

ただし、実際の試験会場ではここまで考えている余裕がないかもしれません。
どんどん計算していっても規則性は見つけられたと思います。
計算がしっかり出来るなら、それで充分かもしれませんね。

２０１４年中学入試問題算数・栄東中学Ａ・４番・解説

（１）
（５＋８）×（８－５）＝１３×３＝３９
答え　３９

（２）
３３＝３３×１
この場合、（十の位の数と一の位の数の和）を３３にはできないのでありえません。

３３＝１１×３
和が１１で差が３ですから、和差算により、（１１＋３）÷２＝７　１１－７＝４
二つの数は７と４ですから
答え　４７　７４

（３）
次のように分類して考えましょう。
「和か差が０か７の倍数になれば【A】が７の倍数になる」ということに気づけるかがポイントです。
２つの数をまず書き出していきます。
その数からもとのAにあたる数が一つしかできない場合と二つできる場合があります。

（その１）差が０の場合
１，１
２，２
３，３
４，４
５，５
６，６
７，７
８，８
９，９

それぞれの組みから一つずつの数しか作れないので、この場合は９個

（その２）差が７の場合
９．２
８，１
７，０

７，０からは７０しか作れませんが、その他の組は二つずつできるので、この場合は５個

（その３）和が７の場合
０，７・・・これは（その２）の７，０と同じなので省く。
１，６
２，５
３，４

それぞれの組から二つずつできるので、この場合は６個

（その４）和が１４の場合
９，５
８，６
７，７・・・これは（その１）に含まれるので省く。

それぞれの組から二つずつできるので、この場合は４個

以上の４つの場合を合わせます。
９＋５＋６＋４＝２４

答え　２４個

２０１３年中学入試算数・桜蔭中学校１番（２）・解き方

Aさんは６日で１周期、Bさんは５日で１周期です。
最小公倍数の３０日が大きな１周期となります。

この大きな１周期で何個の製品ができるでしょうか。
大きな１周期の中に、Aさんは５周期、Bさんは６周期入っています。
Aさんが作る分は次のとおりです。
２５個×５日×５周期＝６２５個
Bさんが作る分は次のとおりです。
３０個×４日×６周期＝７２０個
二人合わせると１３４５個となります。

では、次に、１００００個作るには何周期かかるか考えましょう。
１００００個÷１３４５個＝７周期あまり５８５個
７周期で、あとは半端が５８５個ということです。

この５８５個に何日かかるかを求めるのがすこし大変かも。
様々なアプローチがあると思いますが、ここは地道に考えてみましょう。

１日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（５５個）
２日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（１１０個）
３日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（１６５個）
４日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（２２０個）
５日目Aさん（２５個）Bさん（やすみ）合計（２５個）累計（２４５個）
６日目Aさん（やすみ）Bさん（３０個）合計（３０個）累計（２７５個）
７日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（３３０個）
８日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（３８５個）
９日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（４４０個）
１０日目Aさん（２５個）Bさん（やすみ）合計（２５個）累計（４６５個）
１１日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（５２０個）
１２日目Aさん（やすみ）Bさん（３０個）合計（３０個）累計（５５０個）
１３日目Aさん（２５個）Bさん（３０個）合計（５５個）累計（６０５個）

この部分は表のようなものにまとめてしまえば、もっと簡単にできます。
ここは理解しやすいように少していねいに書いてみました。

さて以上より、半端の１３日目に１００００個目ができると分かります。
つまり合計の日数は次のとおりです。
３０日×７周期＋１３日＝２２３日

４月１日から開始していますから、４月２２３日ということです。
これが実際には何月何日になるのか。
ここからも地道に行きましょう。

２２３日－３０日＝１９３日（５月１９３日）
１９３日－３１日＝１６２日（６月１６２日）
１６２日－３０日＝１３２日（７月１３２日）
１３２日－３１日＝１０１日（８月１０１日）
１０１日－３１日＝７０日（９月７０日）
７０日－３０日＝４０日（１０月４０日）
４０日－３１日＝９日（１１月９日）

曜日も求めましょう。
２２３日÷７日＝３１週間あまり６日
火曜日から始まって６日あまりましたから、
火・水・木・金・土・日ということで、日曜日と分かります。

答え　（１１）月（９）日（日）曜日

公倍数に関する文章題（複数の花火の打ち上げ回数と音の回数）・解説

各設問に取りかかる前に、それぞれの花火の、最後の１発が何分後に聞こえるかをまず考えます。
「概要」で述べたように、植木算の考え方で求めます。

Aの花火
２分×（５０－１）＝９８分後

Bの花火
３分×（５０－１）＝１４７分後

Cの花火
５分×（５０－１）＝２４５分後

では順に各設問を解いていきましょう。

（１）
Aは２分ごと、Bは３分ごとに聞こえるので、２と３の最小公倍数ごとに聞こえるということです。
最小公倍数は６なので６分ごとに聞こえます。
Aが先に終わるので、Aの最後の音が聞こえるまでの９８分間について考えます。
９８分÷６分＝１６あまり２分
植木算の考え方から、聞こえるのは１６＋１＝１７回です。
答え　１７回

（２）
（１）と同様に解き進めます。
２と５の最小公倍数は１０なので、１０分ごとに同時に聞こえます。
Aが先に終わるので９８分までについて考えます。
９８分÷１０分＝９あまり８分
植木算の考え方から、聞こえるのは９＋１＝１０回です。
答え　１０回

（３）
（１）（２）と同様に解き進めます。
３と５の最小公倍数は１５なので１５分ごとに同時に聞こえます。
Bが先に終わるので１４７分までについて考えます。
１４７分÷１５分＝９あまり１２分
植木算の考え方から、聞こえるのは９＋１＝１０回です。
答え　１０回

（４）
２と３と５の最小公倍数は３０なので３０分ごとに３発が同時に聞こえます。
Aが最初に終わるので９８分までについて考えます。
９８分÷３０分＝３あまり８分
植木算の考え方から、聞こえるのは３＋１＝４回です。
答え　４回

（５）
それぞれの花火について、次のような分類をしておくと分かりやすいです。

まずAについて考えてみましょう。
AとBが同時に聞こえる回数・・・１７回
AとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
３発同時に聞こえる回数・・・４回【答えア】
以上より次のことが分かります。
AとBだけが同時に聞こえる回数・・・１７－４＝１３回【答えイ】
AとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えウ】
さらに次のように考えます。
Aだけが聞こえる回数・・・５０－（４＋１３＋６）＝２７回【答えエ】

Bについても同じように考えていきます。
AとBが同時に聞こえる回数・・・１７回
BとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
３発同時に聞こえる回数・・・４回【答えア】
以上より次のことが分かります。
AとBだけが同時に聞こえる回数・・・１７－４＝１３回【答えイ】
BとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えオ】
さらに次のように考えます。
Bだけが聞こえる回数・・・５０－（４＋１３＋６）＝２７回【答えカ】

Cについても同じように考えていきます。
AとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
BとCが同時に聞こえる回数・・・１０回
３発同時に聞こえる回数・・・４回【答えア】
以上より次のことが分かります。
AとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えウ】
BとCだけが同時に聞こえる回数・・・１０－４＝６回【答えオ】
さらに次のように考えます。
Cだけが聞こえる回数・・・５０－（４＋６＋６）＝３４回【答えキ】

以上をまとめます。
（その１）１発の花火だけが聞こえる回数
【エ】＋【カ】＋【キ】＝２７＋２７＋３４＝８８回

（その２）２発の花火だけが同時に聞こえる回数
【イ】＋【ウ】＋【オ】＝１３＋６＋６＝２５回

（その３）３発の花火が同時に聞こえる回数
【ア】＝４回

８８＋２５＋４＝１１７

答え　１１７回

２０１３年中学入試算数・雙葉中学校５番・解説

持っている金額と使った金額とを比較していきましょう。

初めの所持金。
１３００００円

使った金額（その１）。
２５０ドル

使った金額（その２）。
５４０ユーロ

残った所持金。
４７２８４円

使った金額の合計を円で求めましょう。
１３００００円－４７２８４円＝８２７１６円

つまり、使った金額について考えると次のようになります。
２５０ドル＋５４０ユーロ＝８２７１６円

ドルとユーロについては問題文中に次のように書いてありました。
１０００ドル＝７６８ユーロ

ユーロと円の関係を問われているので、使った金額のうちの２５０ドルをユーロに直しましょう。
２５０ドルは１０００ドルの四分の一なので、７６８ユーロ÷４＝１９２ユーロ
つまり
２５０ドル＝１９２ユーロ

使った金額の合計をユーロだけで表すと次のようになります。
１９２ユーロ＋５４０ユーロ＝７３２ユーロ
これが８２７１６円と等しいので、１ユーロが何円かを出すには次の計算をします。

８２７１６÷７３２＝１１３

答え
１１３円

２０１３年中学入試算数・渋谷教育学園幕張中学校２番・解説

（１）
二人の所持金の流れをチャートのようにまとめてみましょう。

真一　　　　　　　　和子
４０００円　　　　　４０００円（初めの所持金）
－５００円　　　　　－５００円（初めのきっぷ代）

３５００円　　　　　３５００円（きっぷを買った後の所持金）
－２２００円　　　　－１１００円（最初の買い物）

１３００円　　　　　２４００円（最初の買い物をした後の所持金）
－４００円　　　　　－４００円（昼食代）

９００円　　　　　　２０００円（昼食後の所持金）
－５５０円　　　　　－１１００円（次の買い物）

３５０円　　　　　　９００円（中央駅にもどった時の所持金）

以上の結果から、中央駅にもどった時、真一君は３５０円しか持っていなかったので１５０円足りないと分かります。
和子さんから借りた金額は１５０円です。
答え１５０円


（２）
この問題でのポイントは、最後に二人の合計金額を考えるということです。
では、チャートを作ってみましょう。
なお、最初の買い物の金額を〔１〕や〔２〕、次の買い物の金額を《１》や《２》と表します。〔２〕は〔１〕の２倍の金額という意味です。

真一　　　　　　　　　和子　　　
４０００円　　　　　　４０００円
－５００円　　　　　　－５００円（初めのきっぷ代）

３５００円　　　　　　３５００円
－〔２〕　　　　　　　－〔１〕（最初の買い物）

３５００円－〔２〕　　３５００円－〔１〕
－４００円　　　　　　－４００円（昼食代）

３１００円－〔２〕　　３１００円－〔１〕
－《１》　　　　　　　－《２》（次の買い物）

中央駅にもどった時の所持金について確認します。
真一
３１００円－〔２〕－《１》

和子
３１００円－〔１〕－《２》

二人の所持金の合計は次のようになります。
６２００円－〔３〕－《３》

ここで、この問題では、真一くんが最初の買い物に使った金額を最大にした場合いくらかと問われているので、最後の式の中の、〔３〕をなるべく大きくするということです。
つまり二人の最後の所持金は最小にするということです。
二人で５００円のきっぷが２枚買えれば良いので、最小の所持金の合計は１０００円となります。
そこで次の式が作れます。
６２００円－〔３〕－《３》＝１０００円
式を整理すると次のようになります。
５２００円＝〔３〕＋《３》
５２００÷３＝１７３３．３・・より
１７３３．３・・円＝〔１〕＋《１》

〔１〕を最大にするには、《１》を最小にすれば良いのです。
問題に「どちらの店でも２人はそれぞれ５００円以上の買い物をしました」とあるので、《１》＝５００円となります。

１７３３．３・・－５００＝１２３３．３・・
つまり
〔１〕＝１２３３．３・・
となります。
ここで真一くんは最初の買い物に〔２〕使ったので
１２３３．３・・×２＝２４６６．６・・
となります。
真一くんが最初の買い物に使った金額は整数なので２４６６円です。
答え２４６６円

割合の数の入った式の処理が分からなくなったら、上皿天秤のイメージを使ったり、線分図を使ったりすれば、つかみやすくなります。





　　　　　

１９９７年中学入試算数・駒場東邦中学校１番・解説

第１グループ（１，３，８）合計１２
第２グループ（２，４，１２）合計１８
第３グループ（３，５，１６）合計２４
第４グループ（４，６，２０）合計３０
第５グループ（　，　，　　）
第６グループ（６，８，２８）
・・・・・・・
・・・・・・・

この数列の規則を見てみましょう。
左の数はグループ番号と同じ。
中の数は左の数＋２
右の数は（グループ番号＋１）の４倍


（１）解き方

以上より、聞かれているのは第５グループなので、
答え（５，７，２４）


（２）解き方

右の数が最初に３桁になります。
１００÷４＝２５
２５－１＝２４
第２４グループに初めて３桁の数（１００）が出てきます。
答え　２４番目


（３）解き方

各グループの合計を見てみると、第Ｎグループの合計は
（Ｎ＋１）×６と表せます。
１８０÷６＝３０
３０－１＝２９
第２９グループと分かるので、
答え（２９，３１，１２０）


（４）解き方

３桁の整数だけで作られているグループについて考えてみます。

最初のもの
最後に３桁になるのは左の数なのでそこから求めます。
第１００グループ（１００，１０２，４０４）合計６０６

最後のもの
最初に３桁から４桁に変わるのは右の数なのでそこから求めます。
９９９÷４＝２４９あまり３なので
第２４８グループ（２４８，２５０，９９６）合計１４９４

以上より等差数列の和の公式によって求められます。
（６０６＋１４９４）×１４９÷２＝１５６４５０
答え　１５６４５０

２０１２年中学入試算数・八雲学園中学校第１回・２番（７）・解説

最もシンプルなのは問題の通りに書き出してみることでしょうか。
容器Aと容器Bの容積の差は１２０立方センチメートルという条件が与えられていますが、Aだと７はい目の途中、Bだと１２はい目の途中でいっぱいになるのですから、Aの方が容積が大きいと分かりますね。
ですから、A１はいを、（B１はい＋１２０立方センチメートル）と考えます。〔条件１〕

水そうの容積について、問題文から、次の二通りに表せます。

まず一つ目の表し方。
容器Aの７はい目に１００立方センチメートル残ることから
A７はい－１００立方センチメートル
となります。
これは〔条件１〕により、次のように置き換えられます。
A７はい＝B７はい＋１２０立方センチメートル×７なので
（B７はい＋１２０立方センチメートル×７）－１００立方センチメートル
整理しましょう。
B７はい＋８４０立方センチメートル－１００立方センチメートル
B７はい＋７４０立方センチメートル〔条件２〕

次に二つ目の表し方。
容器Bの１２はい目に１６０立方センチメートル残ることから
B１２はい－１６０立方センチメートル〔条件３〕

〔条件２〕と〔条件３〕はどちらも水そうの容積を表していますから等しいです。
つまり
B７はい＋７４０立方センチメートル＝B１２はい－１６０立方センチメートル
線分図に表してみましょう。

１８０立方センチメートル×１２－１６０立方センチメートル＝２０００立方センチメートル
答え２０００立方センチメートル

このほか、面積図によって解くのも良いやり方だと思います。

２０１２年中学入試算数・法政大学中学校６番・解説

３人乗りのリフトと４人乗りのリフトが同じ１０秒間隔で同時にスタートするということをしっかりつかんでおきましょう。

（１）
使った台数の比は、３人乗りと４人乗りですから、逆比で４：３です。
出発した瞬間に着目して考えます。
３人乗りリフトだけを使った場合と４人乗りリフトだけを使った場合の、合計時間の差を求めます。１２分－１０分＝２分です。
これはそれぞれのリフトが１台目から最後まで出発するのに掛かった時間の差でもあります。
２分＝１２０秒なので、１２０÷１０＝１２を計算します。
３人乗りのリフトは４人乗りのリフトより１２台多く使ったと分かります。
４：３の差が実際には１２台なので、３人乗りのリフトの合計台数は１２台×４＝４８台です。
３人×４８＝１４４人
答え　１４４人

（２）
３人乗りのリフトは４８台使ったので、スタートに掛かった時間の合計を求めます。
１台目がスタートしてから４８台目がスタートするまでの時間を求めるには、植木算の考え方が必要です。
１０秒×（４８－１）＝４７０秒＝７分５０秒
この時間と１２分との差が、最後の１台が出発してから山頂に着くまでに掛かった時間です。
１２分－７分５０秒＝４分１０秒
さて、ここでは３人乗りと４人乗りリフトを同時に使う場合について問われています。
ですから７人乗りのリフトを使うと考えていきましょう。
１４４人÷７人＝２０余り４人
余りの４人は４人乗りリフト１台にのるので、合計２１台分を使えば良いと分かります。
出発に掛かる時間を求めます。
１０秒×（２１－１）＝２００秒＝３分２０秒
これに最後の１台の山頂までの時間を足せば答えです。
３分２０秒＋４分１０秒＝７分３０秒
答え　７分３０秒