【連立合同方程式】

x≡a (mod gm), x≡b (mod gn)
mとnは互いに素とする。

x≡a (mod g), x≡b (mod g)より、
b≡a (mod g)は必要条件である。

mとnは互いに素だから、
ms+nt=1を満たす(s,t)が存在する。
x≡nta+msb (mod gmn)が解である。

【確かめ①】
b≡a (mod g)とし、b-a=gkとする。
nta+msb=(1-ms)a+ms(gk+a)=a+gmsk
x≡a+gmsk≡a (mod gm)
nta+msb=nt(gk-b)+(1-nt)b=b+gntk
x≡b+gntk≡b (mod gn)

【確かめ②】
x≡a (mod gm), x≡b (mod gn)
を満たす解
x≡p (mod gmn)
x≡q (mod gmn)とする。

p≡a (mod gm), q≡a (mod gm)より、
p≡q (mod gm)
p≡b (mod gn), q≡b (mod gn)より、
p≡q (mod gn)
したがって、
p≡q (mod gmn)

以上より、
x≡a (mod gm), x≡b (mod gn)
mとnは互いに素とする。

a≡b (mod g)のとき解を持つ。
ms+nt=1のとき、
x≡nta+msb (mod gmn)


例1)【干支の計算】
x≡a (mod 10), x≡b (mod 12)
〔g=2, m=5, n=6〕
a≡b (mod 2)のとき解を持つ。
5×(-1)+6×1=1
x≡6a-5b (mod 60)
〔確かめ〕
x≡a+5(a-b)≡b+6(a-b)
a≡b (mod 2)より、a-b=2k
x≡a+10k≡b+12k (mod 60)
x≡a (mod 10)
x≡b (mod 12)


例2)【百五減算】
x≡a (mod 3),x≡b (mod 5),x≡c (mod 7)
を解け。
x≡a (mod 3), x≡b (mod 5)
3×(-3)+5×2=1より、x≡10a-9b (mod 15)

x≡10a-9b (mod 15), x≡c (mod 7)
15×1+7×(-2)=1より、
x≡-14(10a-9b)+15c (mod 105)
x≡-140a+126b+15c (mod 105)
x≡70a+21b+15c (mod 105)


例3)【千一減算】
x≡a (mod 7), x≡b (mod 11),
x≡c (mod 13)
7×(-3)+11×2=1より、
x≡22a-21b (mod 77), x≡c (mod 13)
77s+13t=1
77×(-1)+13×6=1より、
x≡78(22a-21b)-77c (mod 1001)
≡715a+364b+924c (mod 1001)


例4)【納豆算】
x≡a (mod 2), x≡b (mod 3)
x≡c (mod 5), x≡d (mod 7)

x≡a (mod 2), x≡e (mod 105)
2×53-105×1=1
x≡-105a+106e
≡105a+106(70b+21c+15d)
≡105a+70b+126c+120d (mod 210)

(2019/6/22)

因数分解

(b-c)(c-d)(d-b)a^3-(a-c)(c-d)(d-a)b^3+(a-b)(b-d)(d-a)c^3-(a-b)(b-c)(c-a)d^3
を因数分解せよ

鶴亀算

鶴、亀、カブトムシが合わせ20匹います。足の数は90本です。カブトムシは鶴より何匹多いか？
(方程式で解くと簡単なので、方程式を使わない方法でチャレンジしてみてください)

三角形の分割

△ABCの内部に点Pがある。
△PAB:△PBC:△PCA=1:2:3のとき、点Pの位置はどこか？