遊歩道②

池の周りに遊歩道があります。Aがスタートラインから出発して遊歩道の半分の所にいる時に、同じスタートラインにいるBとCがAに会うために走って追いかけました。BはAと同じ方向に、CはAと逆方向です。
10分後にAとCは出会い、Aのペースで歩いた。20分後に3人が合流しAのペースで歩いた。そしてスタートラインに着いた。進む速さは一定で、Aと出会うまでのBとCの走る速さは同じとする。Aが一人で歩いた時間は何分か。また、三人で歩いた時間は何分か。

【裏技】二重根号の外し方と問題作り

二重根号の外し方
p,qを自然数とする。
√(p+√q)は、E=p^2-qが自然数の平方数のとき、二重根号が外すことができる。
E=k^2とし、x=(p±k)/2=α,β(α＞β)とすると、
√(p+√q)=√α+√β
√(p-√q)=√α-√β

(例①)
√(5+2√6)=√(5+√24)
E=5^2-24=1=1^2 k=1
x=(5±1)/2=3, 2
√(5+2√6)=√3+√2
(例②)
√(2+√3) E=2^2-3=1=1^2, k=1
x=(2±1)/2=3/2, 1/2
√(2+√3)=(√3/√2)+(1/√2)=(√3+1)/√2
=(√6+√2)/2
(例③)
√(6-3√3)=√(6-√27)
E=6^2-27=9=3^2 k=3
x=(6±3)/2=9/2, 3/2
√(6-3√3)=(√9/√2)-(√3/√2)=(3-√3)/√2
=(3√2-√6)/2
(例④)
√(32+√988)
E=32^2-988=1024-988=36=6^2 k=6
x=(32±6)/2=19, 13
√(32+√988)=√19+√13

問題作り方
①pを決める。
②k=1,…,p-1に対し、q=p^2-k^2とする。
③√(p±√q)が問題になる。
※pとkの奇偶が一致していると、q=4rで√q=2√rとなる。√(p±2√r)の形に。
※p=m^2+n^2(m,nは自然数)のとき、二重根号ができないことがある。
(例)p=6 √(6+√q)
q=36-k^2
k=1 q=35 √(6+√35)=(√7+√5)/√2
k=2 q=32 √(6+2√8)=√4+√2=2+√2
k=3 q=27 √(6+√27)=(3+√3)/√2
k=4 q=20 √(6+2√5)=√5+1
k=5 q=11 √(6+√11)=(√11+1)/√2
(2018/6/20)

大小ゲーム

AとBが次のようなトランプゲームをする。

①トランプの数字のカード(A~10)を使う。
②20枚ずつ配り、それぞれ1枚ずつカードを表にする。
③数字の大きい方が2枚のカードを取る。同じ数字のときは、流してどちらのカードともしない。(Aは1とする。)

20回の勝負のうち、2枚のカードの数字の和が10より大きくなったのは2回のとき、流したカードは何枚か？

煙草の再生

煙草を1本を丸々吸うことは難しい。戦後しばらくは、吸い殻を何本か集め、紙に巻き直して吸っていたらしい。戦後しばらくはフィルター無しの両切りだったから。
吸い殻3本で巻き直し1本ができるとき、新しい20本の煙草で何本吸うことができるでしょうか？また、新しいn本の煙草で何本吸うことができるでしょうか？

オセロ＆碁石並べ

【オセロ】
オセロの盤の左下のマスに黒を置く。それを囲むように白を置く。また、それを囲むように黒を置く。そのように順々に置くとき、黒と白どちらがいくつ多いでしょうか？
オセロ盤のマスは、8×8=64マスです。
◯ ◯ ◯ ◯
● ● ● ◯
◯ ◯ ● ◯
● ◯ ● ◯
【碁石並べ】
碁盤の左下隅の目(線と線が交差したところ)に黒石を置く。それを囲むように白石を置く。そしてそれを囲むように黒石を置く。そのように順々に置くとき、黒石と白石どちらがいくつ多いでしょうか？
碁盤の目は19×19=361です。