【連続した自然数の和】

自然数nを、連続した自然数の和の形で表す。

(例)18=5+6+7=3+4+5+6

初項をa, 末項をlとする。

項数は、(l-a+1)

等差数列の和だから、

和S=½×(l-a+1)(a+l)

2n=(l-a+1)(l+a)

(l+a)-(l-a+1)=2a-1＞0より、

l+a＞l-a+1

l+aとl-a+1の奇偶は異なる。

【例1】

n=2024

2n=4048=2^4×11×23=16×11×23

(l+a, l-a+1)

=(4048,1)(368,11)(253,16)(176,23)

(l+a,l-a)

=(4048,0)(368,10)(253,15)(176,22)

(l,a)

=(2024,2024)(189,179)(134,119)(99,77)

よって、

2024

=179+…+189

=119+…+134

=77+…+99

(※)奇偶は異なるので、2^4はひとかたまりで考える。

【例2】

n=2023

2n=2×7×17^2

(l+a, l-a+1)

=(4046,1)(2023,2)(578,7)(289,14)

(238,17)(119,34)

(l+a,l-a)

=(2046,0)(2023,1)(578,6)(289,13)

(238,16)(119,33)

(l,a)

=(2023,2023)(1012,1011)(292,286)

(151,138)(127,111)(76,43)

よって

2023

=1011+1012

=286+…+292

=138+…+151

=111+…+127

=43+…+76

n=(2^a)×m (mは奇数)とする。

(mの約数の個数)-1だけ表し方がある。

(※)m=1のとき、すなわち、n=2^a

2n=2^(a+1)

(l+a,l-a+1)=(2^(a+1),1)

(l+a,l-a)=(2^(a+1),0)

l=a=2^aとなり、連続する自然数の和に表せない。

【例3】

n=18

2n=2^2×3^2=4×3^2

(l+a,l-a+1)=(36,1)(12,3)(9,4)

(l+a,l-a)=(36,0)(12,2)(9,3)

(l,a)=(18,18)(7,5)(6,3)

よって、

18=5+6+7=3+4+5+6

(※)n=p 素数のとき、

2n=2p

(l+a,l-a+1)=(2p,1)(p,2)

(l+a,l-a)=(2p,0)(p,1)

(l,a)=(p,p)((p+1)/2,(p-1)/2)

よって、

p=(p-1)/2+(p+1)/2のみである。

【例4】

7=3+4

19=9+10

(2024/1/23)

時事川柳【2024/1/20】(派閥解消)

裏金も 「派閥解消」で 闇の中(鯉正)

(2024/1/20)

安倍、二階、岸田の3派閥「解散」の異例事態 自民派閥半減へ

国民の注目が派閥解消に移り、裏金問題が有耶無耶に。

パーティーから多額な金額が生まれていることなど、パーティーの問題点が議論されていない。

【漸化式:a[n+1]=pa[n]+f(n)】

f(n)がqr^(n-1)の形のときを考える。

a[1]=1, a[n+1]=2a[n]+3^n

【解】

2g(n)-g(n+1)=3^n

g(n)=k×3^(n-1)とする。

g(n+1)=k×3^n

2g(n)-g(n+1)=(2k-3k)×3^(n-1)=-k×3^(n-1)

比較して、-k=3→k=-3

g(n)=-3×3^(n-1)=-3^n

a[n+1]=2a[n]+2g(n)-g(n+1)

a[n+1]+g(n+1)=2{a[n]+g(n)}

b[n]=a[n]+g(n)とする。

b[n+1]=2b[n]

b[1]=a[1]+g(1)=1-3=-2

b[n]=-2×2^(n-1)=-2^n

よって、

a[n]=b[n]-g(n)=-2^n+3^n=3^n-2^n

【1】p≠rとする。

a[n+1]=pa[n]+qr^(n-1)

g(n)=kr^(n-1)

g(n+1)=kr^n

pg(n)-g(n+1)=(pk-rk)r^(n-1)

(p-r)k=q→k=q/(p-r)

g(n)=q/(p-r)×r^(n-1)

b[n]=a[n]+g(n)

b[n+1]=pb[n]

b[1]=a[1]+g(1)=a[1]+q/(p-r)

b[n]=b[1]p^(n-1)

よって、

a[n]=b[1]p^(n-1)-g(n)

={a[1]+q/(p-r)}p^(n-1)-q/(p-r)r^(n-1)

m=q/(p-r)とする。

a[n]=(a[1]+m)p^(n-1)-mr^(n-1)

a[n]=Ap^(n-1)+Br^(n-1)の形をしている。

a[1]=1

a[2]=2+3=5

a[n]=A×2^(n-1)+B×3^(n-1)とする。

a[1]=A+B=1

a[2]=2A+3B=5

A=-2, B=3

a[n]=-2×2^(n-1)+3×3^(n-1)=3^n-2^n

【2】p=rのとき、

a[n+1]=pa[n]+qp^(n-1)

a[2]=pa[1]+q

pa[2]=p^2×a[1]+qp

a[3]=pa[2]+qp=a[1]p^2+2qp

次のように予測できる

a[n]=a[1]p^(n-1)+(n-1)qp^(n-2)

(たしかめ)

a[n+1]=a[1]p^n+nqp^(n-1)

pa[n]+qp^(n-1)

=a[1]p^n+(n-1)qp^(n-1)+qp^(n-1)

=a[1]p^n+nqp^(n-1)

=a[n+1]

a[n+1]=ka[n]+f(n) の一般項を求める。

ただし、k≠1

kg(n)-g(n+1)=f(n)

を満たす式g(n)を考える。

a[n+1]=ka[n]+kg(n)-g(n+1)

a[n+1]+g(n+1)=k{a[n]+g(n)}

b[n]=a[n]+g(n)とする。

b[n+1]=kb[n]→等比数列となる。

b[n]=b[1]k^(n-1)

よって、

a[n]=b[1]k^(n-1)-g(n)

f(n):多項式→g(n):多項式

f(n)=qr^(n-1)→g(n)=kr^(n-1) (p≠r)

【例】

a[1]=1,a[n+1]=2a[n]+6n-5+3^n

g(n)=an+b+k×3^(n-1)

g(n+1)=an+(a+b)+k3^n

2g(n)-g(n+1)

=an+(b-a)+(2k-3k)3^(n-1)

比較して

a=6, b=1, k=-3

g(n)=6n+1-3^n

a[n+1]=2a[n]+2g(n)-g(n+1)

a[n+1]+g(n+1)=2{a[n]+g(n)}

b[n]=a[n]+g(n)とする。

b[n+1]=2b[n]

b[1]=1+6+1-3=5より、

b[n]=5×2^(n-1)

a[n]=5×2^(n-1)-6n-1+3^n

(2024/1/13)

【漸化式:マークシート式対応】

a[n+1]=ka[n]+f(n) :f(n)は多項式

の一般項を求める。

ただし、k≠1

kg(n)-g(n+1)=f(n)→g(n)とf(n)は同じ次数

を満たす多項式g(n)を考える。

a[n+1]=ka[n]+kg(n)-g(n+1)

a[n+1]+g(n+1)=k{a[n]+g(n)}

b[n]=a[n]+g(n)とする。

b[n+1]=kb[n]→等比数列となる。

b[n]=b[1]k^(n-1)

よって、

a[n]=b[1]k^(n-1)-g(n)

(※)k=1のとき、

a[n+1]-a[n]=f(n)→階差数列

a[n]=a[1]+Σ[i=1,n-1]f(i)

【例】

a[1]=1, a[n+1]=2a[n]+6n-5の一般項

g(n)=an+bとする。

2g(n)-g(n+1)=2an+2b-an-(a+b)=an+(b-a)

係数を比較して、

a=6, b=1→g(n)=6n+1

a[n+1]=2a[n]+2g(n)-g(n+1)

a[n+1]+g(n+1)=2{a[n]+g(n)}

b[n]=a[n]+g(n)とする。

b[n+1]=2b[n]→公比2の等比数列

b[1]=a[1]+g(1)=1+6+1=8

→b[n]=8×2^(n+1)=2^(n+2)

a[n]=2^(n+2)-6n-1

途中の計算が不要なマークシート式の出題では、a[n]=ak^(n-1)+An+Bの形になることに注目して

定義より

a[1]=1

a[2]=2+6-5=3

a[3]=6+12-5=13

a[n]=a×2^(n-1)+An+Bとする。

a[1]=a+A+B=1…①

a[2]=2a+2A+B=3…②

a[3]=4a+3A+B=13…③

連立方程式を解く。

①×2-②B=-1

①→a+A=2…④

③→4a+3A=14…⑤

⑤-④×3→a=8

④×4-⑤→A=-6

したがって、

a[n]=8×2^(n-1)-6n-1=2^(n+2)-6n-1

(2024/1/12)