大人の数学教室138(三角比⑬)

【第13章】

(13)三角形の形状決定

△ABC の形状を決定する。

①正三角形⇔3 辺が等しい

②二等辺三角形⇔2 辺が等しい

⇔2 角が等しい

③直角三角形⇔三平方の定理が成り立つ

正弦定理と余弦定理を利用して、辺の関係あるいは角の関係を調べる。

正弦定理より

sinA=a/(2R), sinB=b/(2R), sinC=c/(2R)

余弦定理より

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

例)sinA=2cosBsinCを満たす△ABCはどんな三角形か。

【解】

2RsinA=2cosB(2RsinC)

正弦定理より、

a=2c×cosB

余弦定理より、

a=2c×(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

a^2=c^2+a^2-b^2

b^2=c^2

b＞0, c＞0より、b=c

よって、b=cの二等辺三角形

大人の数学教室137(三角比⑫)

【第12章】

2点間の距離の公式

(詳しくは後に解説する。知らない人は飛ばして(12)に進むか、ふむふむそんな公式があるのかと思って読んでください。)

座標平面上にA(a,b), B(s,t)の2点がある。

2点A,B間の距離ABは

AB=√{(s-a)^2+(t-b)^2}

【余弦定理の証明<2点間の距離>】

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA を示す。他の2つも同様に示すことができる。

A(0,0),B(c,0),C(b×cosA,b×sinA) となるように、△ABC を座標平面上に置く。

BC^2

=(b×cosA-c)^2+(b×sinA)^2

= b^2×(cosA)^2-2bc×cosA+c^2

+b^2×(sinA)^2

=b2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

【証明終】

(12)余弦定理を使える場合

①3辺と1角の関係

具体的な使い方は、

A- 2辺とそのはさむ角→対辺

B- 3辺→角の余弦→角

例)b=3,c=4, A=30°のとき、aを求めよ。

余弦定理より、

a^2=3^2+4^2-2×3×4×sin30°

=9+16-12=13

a＞0より、a=√13

例)a=7, b=5, c=8のとき、Aを求めよ。

余弦定理より、

cosA=(5^2+8^2-7^2)/(2×5×8)=1/2

よって、A=60°

大人の数学教室136(三角比⑪)

【第11章】

(11)余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

b^2=c^2+a^2-2ca×cosB

c^2=a^2+b^2-2ab×cosC

上の式を変形して、

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

【余弦定理の証明】

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA を示す。他の2つも同様に示すことができる。

A(0,0),B(c,0),C(b×cosA,b×sinA) となるように、△ABC を座標平面上に置く。

点C からx 軸への垂線の足をH とする。

CH=b×sinA

(i) A<90° かつ B<90° のとき

H は辺AB の内部にある。

AH=b×cosA, BH=c-b×cosA

△CHB は直角三角形だから、BC^2=CH^2+BH^2

=(b×sinA)^2+(c-b×cosA)^2

=b^2×(sinA)^2

+c^2-2bc×cosA+b^2×(cosA)^2

=b^2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

(ii)A<90° かつ B=90°のとき

H=B だから、b×cosA=c

△ABC は直角三角形だから、

BC^2=AC^2-AB^2 より、a^2=b^2-c^2

b^2+c^2-2bc×cosA=b^2+c^2-2c^2

=b^2-c^2=a^2

(iii)A<90° かつ B>90° のとき

Hは線分ABのBの外側にある。

AH=b×cosA, BH=b×cosA-c

△CHBは直角三角形だから、

BC^2=CH^2+BH^2

=(b×sinA)^2+(b×cosA-c)^2

=b^2×(sinA)^2

+b^2×(cosA)^2-2bc×cosA+c^2

=b^2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

(iv)A=90° のとき

△ABC は直角三角形だから、BC^2=AC^2+AB^2

a^2=b^2+c^2

b^2+c^2-2b×cosA

=b^2+c^2-2bc×cos90°=b^2+c^2=a^2

(v)A>90° のとき、cosA<0

H は線分ABのAの外側にある。

AH=-b×cosA, BH=c-b×cosA

△CHBは直角三角形だから、

BC^2=CH^2+BH^2

=(b×sinA)2+(c-b×cosA)2

=b^2×(sinA)^2

+c^2-2bc×cosA+b^2×(cosA)^2

=b2×{(sinA)^2+(cosA)^2}

+c^2-2bc×cosA

よって、

a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

【証明終】

余弦定理より、

①C＜90° ⇔ cosC>0

⇔ a^2+b^2-c^2>0 ⇔ a^2+b^2＞c^2

②C=90° ⇔ cosC=0

⇔ a^2+b^2-c^2=0 ⇔ a^2+b^2=c^2

③C＞90° ⇔ cosC=0

⇔ a^2+b^2-c^2<0 ⇔ a^2+b^2＜c^2

C＜90°⇔a^2+b^2＞c^2

C=90°⇔a^2+b^2=c^2

C＞90°⇔a^2+b^2＜c^2

013 【絵に描いた餅】

@013【絵に描いた餅】

絵に描いた餅

【意味】実際には何の役にも立たないことのたとえ。また、実現する見込みがないことのたとえ。

人類はまず餅の絵を描く。絵を描いた時点では何の役にもたたないし、実現する見込みがないことは多い。正に「絵に描いた餅」である。しかし人類は描いた餅が実現するように努力するのだ。例えば19世紀までは、「月に行く」というのは「絵に描いた餅」であった。しかし宇宙に行くためには何が必要かを考え、そのひとつひとつを実現していき、とうとう20世紀に月に行ったのである。もし「月に行く」という絵を誰も描かなければ、今でも月は未開の場所のままだ。

このことは個人にも言えるのではないだろうか。初めは「絵に描いた餅」であっても、努力することで一歩一歩実現に近づく。たとえ実現しなかったとしても、努力の過程で得られものは多い。

「絵に描いた餅」と一笑しないで、しっかりと絵を描こうではないか。

(2018/1/4)

6で割った余り

2020^81+2021^81を6で割った余りを求めよ。