【京大の問題にチャレンジ】

京大の問題に、私の得意な分野があったので、それだけチャレンジしました。

【問題】

x^2023-1をx^4+x^3+x^2+x+1で割った余りを求めよ。

【解】

x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)より、

x^5≡1 (mod x^4+x^3+x^2+x+1)

x^2023=(x^5)^404×x^3≡x^3

よって、

x^2023-1≡x^3-1

(mod x^4+x^3+x^2+x+1)

【別解】

x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)より、

x^5=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+1

P=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)とする。

x^5=P+1

x^2020=(x^5)^404=(P+1)^404

=P^404+…+404P+1

=P×(P^403+…+404)+1

x^2023-1=x^3×P×(P^403+…+404)+x^3-1

よって、余りはx^3-1

(2023/2/28)

約数の積

144の正の約数すべての積を、17で割った余りを求めよ。

【(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+mの因数分解②】

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+mが因数分解できる問題を作ろう！

今回はmを決めて問題を作ろう。

m=pqとし、r=p+q=stとする。

P=x(x+s)(x+t)(x+s+t)+m

={x^2+(s+t)x}{x^2+(s+t)x+st}+pq

A=x^2+(s+t)xとする。

P=A(A+st)+pq

=A^2+stA+pq

=A^2+(p+q)A+pq

=(A+p)(A+q)

={x^2+(s+t)x+p}{x^2+(s+t)x+q}

【例】

2023=17×119→r=17+119=136=8×17

よって、

x(x+8)(x+17)(x+25)+2023

=(x^2+25x)(x^2+25x+136)+2023

=A(A+136)+2023

=A^2+136A+2023

=(A+17)(A+119)

=(x^2+25x+17)(x^2+25x+119)

x=y-10を代入する。

(y-10)(y-2)(y+7)(y+15)+2023

=(y^2+5y-133)(y^2+5y-31)

(2023/2/5)

D[1]=(s+t)^2-4p

D[2]=(s+t)^2-4q

が平方数のとき、更に因数分解できる。

【例】m=24=1×24=2×12=3×8=4×6

①1×24

→r=25=5×5→D=10^2-4×24=4=2^2

x(x+5)^2(x+10)+24

=(x^2+10x+1)(x^2+10x+24)

=(x^2+10x+1)(x+4)(x+6)

→r=1×25

x(x+1)(x+25)(x+26)+24

=(x^2+26x+1)(x^2+26x+24)

②2×12

→r=14=2×7

x(x+2)(x+7)(x+9)+24

=(x^2+9x+2)(x^2+9x+12)

→r=1×14

x(x+1)(x+14)(x+15)+24

=(x^2+15x+2)(x^2+15x+12)

③3×8

→r=11=1×11

x(x+1)(x+11)(x+12)+24

=(x^2+12x+3)(x^2+12x+8)

④4×6

→r=10=2×5→D=7^2-4×6=25=5^2

x(x+2)(x+5)(x+7)+24

=(x^2+7x+4)(x^2+7x+6)

=(x^2+7x+4)(x+1)(x+6)

→r=1×10

x(x+1)(x+10)(x+11)+24

=(x^2+11x+4)(x^2+11x+6)

今日の？【2023/2/11】(口座との紐付け)

政府が今国会での成立を目指すマイナンバー法改正案の全容が明らかになりました。年金や児童手当の預貯金口座とのひもづけが可能となります。

マイナンバーと預貯金口座とのひもづけを進めるため、行政機関は年金や児童手当の受給者に通知のうえ、拒否されなければ、口座情報を登録します。政府は、高齢者の登録率が低いことを踏まえ、まずは年金からひもづけを始めます。

2023年2月10日(金)

なぜ口座登録が少ないのかの分析をしないで、紐付けの強制が始まった。

まずは年金。次に児童手当。最後に給付金の配布を利用した紐付けが起こるのでは？

強制的な紐付けには、マイナポイントは無い。

どうせ無理矢理に紐付けされるのなら、マイナポイントを貰いたいのが人情。

2月末のマイナンバーカードの申請の締切。その後のマイナポイントの申請の締切にある。まだマイナポイントの締切期日が発表されていないので、早く手続きしたいのが人情。

これから自治体窓口が密になるかも？

【(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+mの因数分解】

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+mが因数分解できるような問題を作ろう。

【step1】

P=x(x+a)(x+b)(x+c)+m形の因数分解

c=a+bとする。

P=x(x+c)(x+a)(x+b)+m

=(x^2+cx)(x^2+cx+ab)+m

A=x^2+cxとする。

P=A(A+ab)+m=A^2+abA+m

D=(ab)^2-4mが平方数のときAで因数分解できる。

P=(Aの1次式)(Aの1次式)

=(xの2次式)(xの2次式)

D=(ab)^2-4m=k^2→4m=(ab+k)(ab-k)

mが整数であるためには、

abとkの奇偶が一致

【問題作成手順】

①a,bを決める。→c=a+b

②abと奇偶が同じkを決める。

③4m=(ab+k)(ab-k)により、mを定める。

④

4P=4x(x+a)(x+b)(x+c)+4m

=4(x^2+cx)(x^2+cx+ab)+(ab)^2-k^2

=4A(A+ab)+(ab)^2-k^2

=4A^2+4abA+(ab)^2-k^2

=(2A+ab)^2-k^2

=(2A+ab+k)(2A+ab-k)

よって、

P={A+(ab+k)/2}{A+(ab-k)/2}

={x^2+cx+(ab+k)/2}{x^2+cx+(ab-k)/2}

⑤

s=(ab+k)/2, t=(ab-k)/2とする。

P=(x^2+cx+s)(x^2+cx+t)

【例】

①a=3,b=5→c=8 ②kは奇数→k=7

③4m=(15+7)(15-7)=176→m=44

④P=x(x+3)(x+5)(x+8)+44

⑤s=(15+7)/2=11, t=(15-7)/2=4

よって、P=(x^2+8x+11)(x^2+8x+4)

【例の解法】

P=(x^2+8x)(x^2+8x+15)+44

=A(A+15)+44

=A^2+15A+44

=(A+11)(A+4)

=(x^2+8x+11)(x^2+8x+4)

【step2】

x=y-2とする。

P=(y-2)(y+1)(y+3)(y+6)+44

=(y^2+4y-12)(y^2+4y+3)+44

=A(A+15)+44

=A^2+15A+44

=(A+11)(A+4)

=(y^2+4y-12+11)(y^2+4y-12+4)

=(y^2+4y-1)(y^2+4y-8)

xをyの式を代入することで形を変えることができる。

【step3】

P=(xの2次式)(xの2次式)が更に因数分解できるように！

D[1]=c^2-4s=c^2-2(ab+k)=n^2

2(ab+k)=c^2-n^2

nはcと奇偶が同じ

k=(c^2-n^2)/2-ab

D[2]=c^2-4t=c^2-2(ab-k)=m^2

2(ab-k)=c^2-m^2

mはcと奇偶が同じ

k=ab-(c^2-m^2)/2

【問題作成手順】

①a,bを決める。→c=a+b

②cと奇偶が同じnを決める。

u=(c^2-n^2)/2

③k[1]=u-ab, k[2]=ab-u

④k[1], k[2]の一方を使用

4m=(ab+k[i])(ab-k[i])→mを定める。

⑤

s=(ab+k[i])/2, t=(ab-k[i]/2)

P=(x^2+cx+s)(x^2+cx+t)

⑥更に一方が因数分解できる。

【例】

①a=2,b=5→c=7 ②nは奇数、n=5→u=12

③k=12-10=2

④4m=(10+2)(10-2)→m=24

⑤P=x(x+2)(x+5)(x+7)+24

=(x^2+7x)(x^2+7x+10)+24

=A(A+10)+24

=A^2+10A+24

=(A+6)(A+4)

=(x^2+7x+6)(x^2+7x+4)

=(x+1)(x+6)(x^2+7x+4)

x=y-3を代入すると

P=(y-3)(y-1)(y+2)(y+4)+24

=(y-2)(y+3)(y^2+y-8)

(2023/2/4)