【3元1次連立方程式】

1次不定方程式を活用して、3元1次連立方程式を解いてみよう。

【例1】
x+y-z=-6……①
2x+4y+3z=9……②
5x+3y+z=4……③
【解】
①③より、
z=x+y+6=-5x-3y+4
6x+4y=-2
3x+2y=-1【1次不定方程式】
(x,y)=(2t-1,-3t+1)
z=2t-1-3t+1+6=-t+6
(x,y,z)=(2t-1,-3t+1,-t+6)
②に代入
2(2t-1)+4(-3t+1)+3(-t+6)=9
(4-12-3)t+(-2+4+18)=9
-11t=-11
t=1
(x,y,z)=(1,-2,5)


【例2】
5x-4y+6z=8……①
7x-6y+10z=14……②
4x+9y+7z=74……③
【解】
①②より、
12y=15x+18z-24=14x+20z-28
x-2z=-4【1次不定方程式】
(x,z)=(2t,t+2)
12y=30t+18(t+2)-24=48t+12
y=4t+1
(x,y,z)=(2t,4t+1,t+2)
③に代入
8t+9(4t+1)+7(t+2)=74
(8+36+7)t+(9+14)=74
51t=51
t=1
(x,y,z)=(2,5,3)


2式から1次不定方程式を作り、その解を利用してx,y,zを媒介変数tで表して、もう１つの式に代入しtの値を求める。

解法のイメージは、空間図形にある。
3元1次連立方程式は、3平面の交点の座標を求める問題である。2平面の交線は直線で、直線上の任意の点は媒介変数tで表すことができる。それがもつ１つの平面上の点であることからtの値を確定させる。
整数解を持つ場合に有効な解法と思う。

【例3】
x+y+z=41…①
2x-2y+z=13…②
3x+2y-5z=-26…③
【解】
①②より、
z=-x-y+41=-2x+2y+13
x-3y=-28
(x,y)=(3t-7,t+7)
z=-3t+7-t-7+41=-4t+41
(x,y,z)=(3t-7,t+7,-4t+41)
③に代入
3(3t-7)+2(t+7)-5(-4t+41)=-26
(9+2+20)t+(-21+14-205)=-26
31t=212-26=186
t=6
(x,y,z)=(11,13,17)

【例4】
3x-2y+4z=19…①
5x+y-z=0…②
x+5y+4z=3…③
【解】
①③より、
4z=-3x+2y+19=-x-5y+3
2x-7y=16
(x,y)=(7t+1,2t-2)
4z=-7t-1-10t+10+3=-17t+12
z=-17/4×t+3
t=4sとする。
(x,y,z)=(28s+1,8s-2,-17s+3)
②に代入
5(28s+1)+(8s-2)-(-17s+3)=0
(140+8+17)s+(5-2-3)=0
s=0
(x,y,z)=(1,-2,3)

【例5】
x+2y+z=2…①
-x+y+z=1…②
4x-3y+2z=1…③
【解】
①②より
z=-x-2y+2=x-y+1
2x+y=1
(x,y)=(t,-2t+1)
z=t+2t-1+1=3t
(x,y,z)=(t,-2t+1,3t)
③に代入
4t-3(-2t+1)+6t=1
(4+6+6)t=4
16t=4
t=1/4
(x,y,z)=(1/4,1/2,3/4)

【例6】
4x+2y+z=26…①
x+6y+3z=48…②
4x+y+5z=34…③
【解】
①③より
4x=-2y-z+26=-y-5z+34
y-4z=-8
(y,z)=(4t,t+2)
4x=-4t-5t+24=-9t+24
x=-9/4×t+6
t=4sとする。
(x,y,z)=(-9s+6,16s,4s+2)
②に代入
(-9s+6)+6(16s)+3(4s+2)=48
(-9+96+12)s+(6+6)=48
99s=36
s=4/11
(x,y,z)=(30/11,64/11,38/11)

(2020/1/25)

【六曜の配当】

暦にある「六曜」。順番通りに繰り返されているのかなと思ったら、突然順番通りでなかったりする。その不思議さから占いに使われています。しかし、よく調べてみると、規則正しく並んでいます。

六曜は旧暦に関係あります。旧暦は、月の満ち欠けがもとの太陰暦と太陽の動きがもとの太陽暦が組み合わされた太陰太陽暦です。旧暦の月の朔日(1日)は次のように、六曜が割り当てられています。
1月・7月先勝
2月・8月友引
3月・9月先負
4月・10月仏滅
5月・11月大安
6月・12月赤口
閏月は、「閏」を取った月と同じになります。
旧暦1月1日は常に「先勝」
旧暦閏5月1日は常に「大安」
その月の間は、
先勝→友引→先負→仏滅→大安→赤口
が繰り返されている。
すなわち、
1月2日は「友引」、1月3日は「先負」 と順番に回り、1月29日は「大安」、もし大の月のときの1月30日は「赤口」
どちらの場合であっても、2月1日は「友引」になります。
(※月の満ち欠けをもとにしているので、月は29日か30日)

複雑ですが、簡単に見つける方法があります。r-六曜
1-先勝、2-友引、3-先負
4-仏滅、5-大安、0-赤口
とします。
旧暦a月b日の六曜を調べるには、M=a+b-1を計算します。
Mを6で割ったときの余りrに対応する六曜を上の表から見つけます。

旧暦3月3日(雛祭)は、M=3+3-1=5だから、r=5、よって、「大安」となる。
毎年旧暦3月3日が「大安」なんて、規則的ですね。

【目付字(めつけじ)】

俳句
「お屠蘇飲み ほろ酔い運転 車いす」
をかなに直して1文字選びます。
「おとそのみ ほろよいうんてん くるまいす」

4枚のカードに次にように文字に文字が書かれています。【】は上にない文字。
①おそみろいんくま
くま、みんなおそろい【な】
(熊、みんなお揃い)
②とそほろうんるま
まるそろうと、にほん【に】
(丸揃うと、日本)
③のみほろてくるま
ほてる、みろくのま
(ホテル、弥勒の間)
④よいうんてくるま
てんぼうよいくるま【ぼ】
(展望よい車)

選んだ文字が書かれているカードの番号から、選んだ文字を当てます。
例えば「ん」を選んだとすると、①②④のカードにあります。
①②④から「ん」を当てます。

【種明かし】
おとそのみ ほろよいうんてん くるまいす
2文字ある「い」「ん」の後ろを省くと、
おとそのみ ほろよいう んてくるま す
1から16まで番号を付ける。
「ん」は11番目、「ま」は15番目
番号を2進法で表す。
「ん」→11→1011(2)
「ま」→15→1111(2)
「ん」は④②①のカードに書かれている。
「ま」は④③②①のカードに書かれている。
番号を2進法で表したときに1があるところのカードに書かれている。

このようにカードが作られているので、どのカードにあるのか分かると、2進法が分かり、番号が分かる。
ただし、16番目の「す」はどのカードにもない。どのカードにもないと言われたら、「す」である。

例えば、④②①にあるとする。
2進法は、1011(2)=8+2+1=11
11番目の「ん」である。

例えば、③①にあるとする。
2進法は、0101(2)=4+1=5
5番目の「み」である。

【共役な複素数】

f(x)を実数係数の整式とする。
f(a+bi)=p+qiのとき、f(a-bi)=p-qi

p,qは実数とする。

を証明せよ。

【証明】
f(x)=Σ《k=0,…,n》(t[k]x^k)とする。
t[k]は実数

a+bi=r(cosθ+isinθ)とする。
ド・モアブルの公式より、
(a+bi)^k=r^k{cos(kθ)+isin(kθ)}

a-bi=r(cosθ-isinθ)
ド・モアブルの公式より、
(a-bi)^k=r^k{cos(kθ)-isin(kθ)}

(a+bi)^k=p[k]+q[k]iのとき、
p[k], q[k]は実数
p[k]=r^k×cos(kθ), q[k]=r^k×sin(kθ)
(a-bi)^k=r^k×cos(kθ)-{r^k×sin(kθ)}i
=p[k]-q[k]i

f(a+bi)=Σ{t[k](a+bi)^k}
=Σ{t[k](p[k]+q[k]i)}
=Σ(t[k]p[k])+Σ(t[k]q[k])i=p+qiより、

f(a-bi)=Σ{t[k](a-bi)^k}
=Σ{t[k](p[k]-q[k]i)}
=Σ(t[k]p[k])-Σ(t[k]q[k])i=p-qi
【証明終】

これを利用すると、
f(a+bi)=0ならば、f(a-bi)=0
となり、
x=a+biがf(x)=0の解のとき、x=a-biも解になることが分かる。

【ケーキの等分ひも】

ケーキのサイズによって、直径が決まっている。
次の5本のひもをセットで販売する。各ひも6等分の位置に番号付き黒印を付ける。

サイズ、直径、目安の人数、ひもの長さ
①4号12cm2〜4人前(37.7cm)
②5号15cm4〜6人前(47.1cm)
③6号18cm6〜8人前(56.55cm)
④7号21cm8〜10人前(66.0cm)
⑤8号24cm10〜12人前(75.4cm)
ちなみに、号数×3cmが直径

等分の印
三色(四色)の番号付き印を付ける。
(赤,青,黄)→(等分の位置)
①(4,5)
②(5,8)、緑-7
③(8,9,10)、緑-7
④(8,9,10)、緑-7
⑤(9,10,12)、緑-7

使い方
①ケーキの号数に合わせひもを選ぶ。
②ひもをケーキの外周に会わせる。
③黒印1番目と4番目、2番目と5番目を結ぶ線の交点がケーキの中心
④等分したい色を選んで、中心と結ぶ線でナイフを入れる。

例えば、
【5号ケーキを5人で分ける】
ひも②を選ぶ。
ひもを外周に合わせる。
中心を見つける。
端と中心を結ぶ線にナイフを入れる。
中心と赤印を結ぶ線にナイフを入れる。

【6号ケーキを5人で分ける】
ひも③を選ぶ。
ひもを外周に合わせる。
中心を見つける。
端と中心を結ぶ線にナイフを入れる。
中心と偶数番目の黄印を結ぶ線にナイフを入れる。

このひもで分けることができない場合もある。(自作のケーキでサイズが号数と合わないとか、11等分とか)その場合は前にブログに載せた方法(竹串)で分ける。またケーキの大きさと分ける人数が一定のときは、竹串で専用のひもを作っておくと便利。

(2020/1/1)