円錐の表面積

底面の半径が5の円錐の表面積が80πだった。高さはいくらか？

【裏技】食塩水の問題

濃度a％の食塩水mgと濃度b％の食塩水ngを混ぜるとc％の食塩水dgができた。ただし、a＜bとする。
(2018/9/9)

m+n=d …① →食塩水
am+bn=cd …② →食塩

上の連立方程式を解く。
①×b-② (b-a)m=(b-c)×d
m=((b-c)/(b-a))×d
②-①×a (b-a)n=(c-a)×d
n=((c-a)/(b-a))×d

A(m) C(d) (n)B
a→差(c-a)→c→差(b-c)→b
a →→→ 差(b-a) →→→ b

上の関係を使って問題を解いてみよう。

例①)【混合】
5%と10%の食塩水を混ぜ合わせて、6％の食塩水を800ｇ作りたい。
それぞれ何gずつ混ぜたらよいか求めなさい。
5(x) 6(800) 10(y)
5→ 差1 →6→ 差4 →10
5 →→→ 差5 →→→ 10
x=(4/5)×800=640(g)
y=(1/5)×800=160(g)

例②)【混合】
3%の食塩水800gに8%の食塩水を加えて、7%の食塩水にしたい。加える食塩水の量は何gか?
3(800) 7(800+x) 8(x)
3 →差4→ 7 →差1→ 8
3 →→→ 差5 →→→ 8
800=(1/5)×(800+x)
4000=800+x
x=3200(g)

例③)【水の追加】
濃度が7%の食塩水300gがあります。その食塩水の濃度を3%にするには、何g水を足せばいいでしょうか？
0(x) 3(300+x) 7(300)
0 →差3→ 3 →差4→ 7
0 →→→ 差7 →→→ 7
300=(3/7)×(300+x)
2100=900+3x
3x=1200
x=400(g)
(※水の濃度は0％とする)

例④)【水の蒸発】
5％の食塩水400gからに水を蒸発させると、8％の食塩水になった。蒸発した水は何gか。
(8％の食塩水に蒸発した水を加えると5％の食塩水400gになる。)
0(x) 5(400) 8(y)
0 →差5→ 5 →差3→ 8
0 →→→ 差8 →→→ 8
x=(3/8)×400=150(g)
(※水の濃度は0％とする)

例⑤)【食塩の追加】
濃度が20%の食塩水600gがあります。その食塩水の濃度を25%にするには、何g食塩を足せばいいでしょうか？
20(600) 25(600+x) 100(x)
20 →差5→ 25 →差75→ 100
20 →→→ 差80 →→→ 100
x=(5/80)×(600+x)
80x=3000+5x
75x=3000
x=40(g)
(※食塩の濃度は100％とする)

例⑥)
5％の食塩水300gに200gの食塩水を加えて混ぜると、7％になった。加えた食塩水の濃度はいくらか？
5(300) 7(500) x(200)
5 →差2→ 7 →差x-7→ x
5 →→→ 差x-5 →→→ x
200=(2/(x-5))×500
200(x-5)=1000
x-5=5 x=10(％)

連立方程式を解いた方が早いが、視覚的に面白いと思った。また、混合(水の追加、水の蒸発、食塩の追加)の問題が一通りの方法で解けるのも面白い。

4次方程式①

4次方程式16x^4-16x^2+1=0について
(1)sin15°が1つの解であることを示せ。
(2)残りの3つの解をsinθ(0°≦θ＜360°)の形で答えよ。

漸化式

今回は計算が大変だから、電卓を活用してください。

1≦a＜100とする。
m^2≦a＜(m+1)^2を満たす自然数mをp(0)とする。
0以上の整数kに対し
s≦(a×10^(2k+2)-(p(k)×10)^2)/
(20×p(k))-s^2/(20×p(k))
を満たす最大の整数sをs(k)とし、
p(k+1)=p(k)×10+s(k)とする。
(1)a=2のとき、p(3)を求めよ。
(2)a=3のとき、p(3)を求めよ。
(3)a=5のとき、p(3)を求めよ

時事川柳2018/9/5

「もり」「かけ」の 解決したの 報はなし (鯉正)

自民党総裁選を前に思う。