【2次式の因数分解②】

2次式の因数分解

a,b,cを整数とする。ただし、a≠0
P=ax^2+bx+cが整数範囲で因数分解できるための必要十分条件は
D=b^2-4acが平方数

b^2-4ac=k^2とする。
P=ax^2+bx+c
4aP=4a^2+4abx+4ac
=(2ax)^2+2(2ax)b+b^2-b^2+4ac
=(2ax+b)^2-(b^2-4ac)
=(2ax+b)^2-k^2
=(2ax+b+k)(2ax+b-k)

すなわち、
P=ax^2+bx+c
D=b^2-4ac=k^2とする。
4aP=(2ax+b+k)(2ax+b-k)

(※)右辺から4aを括り出すことができる
(※)kを求めるのに大変なこともあるが、組み合わせなどを考えることがない。
機械的にできるので、プログラム向き
(※)kが整数でないときは因数分解できない。

【例①】
P=5x^2-11x+2
D=(-11)^2-4×5×2=121-40=81=9^2
20P=(10x-11+9)(10x-11-9)
=(10x-2)(10x-20)
=2(5x-1)×10(x-2)
P=(5x-1)(x-2)

【例②】
P=3x^2-7x-6
D=49+72=121=11^2
12P=(6x-7+11)(6x-7-11)
=(6x+4)(6x-18)=2(3x+2)×6(x-3)
P=(3x+2)(x-3)

【例③】
P=48x^2-115x-150
D=115^2+4×48×150=13225+48×600
=13225+28800
=42025
=1681×5^2=(41×5)^2=205^2
4×48P=(96x-115+205)(96x-115-205)
=(96x+90)(96x-320)
=6(16x+15)×32(3x-10)
P=(16x+15)(3x-10)

【42025=205^2の計算】
4=2^2
400=20^2
420=20^2+20
42000=200^2+2000
42025=200^2+2025
=200^2+2×200×5+5^2
=(200+5)^2=205^2

1681
16=4^2
1600=40^2
1681=40^2+81
=40^2+2×40×1+1^2
=(40+1)^2=41^2

(※)2021/10/8【開平法】を参照
(※)2021/6/11【2次式の因数分解】
を再掲
(2023/3/17)

変形理由が分かるように解答すると、
【例】
P=5x^2-11x+2
20P=100x^2-220x+40
=(10x)^2-2×11×(10x)+11^2-11^2+40
=(10x-11)^2-9^2
=(10x-11+9)(10x-11-9)
=(10x-2)(10x-20)
=2(5x-1)×10(x-2)
=20(5x-1)(x-2)
P=(5x-1)(x-2)

(※)bが偶数のときは、Dは4の倍数

【例④】
P=15x^2+2x-8
D=2^2+4×15×8=4+480=484
=4×121=2^2×11^2=22^2
60P=(30x+2+22)(30x+2-22)
=(30x+24)(30x-20)
=6(5x+4)×10(3x-2)
P=(5x+4)(3x-2)

【2次式の因数分解①】

2次式の因数分解

P=5x^2-11x+2

y=5xとする。

5P=25x^2-55x+10=y^2-11y+10

=(y-10)(y-1)=(5x-10)(5x-1)=5(x-2)(5x-1)

よって、P=(x-2)(5x-1)

たすき掛けの本質は、

acx+(ad+bc)x+bdから、a,b,c,dを見つける計算である。

P=acx^2+(ad+bc)x+bd

y=acxとする。

acP=(acx)^2+(ad+bc)acx+acbd

=y^2+(ad+bc)y+abcd

=(y+bc)(y+ad)

=(acx+bc)(acx+ad)

=c(ax+b)×a(cx+d)=ac(ax+b)(cx+d)

よって、P=(ax+b)(cx+d)

(※)P=ax^2+bx+c

y=axとする。

aP=y^2+by+ac

【例①】

P=3x^2-7x-6

y=3xとする。

3P=9x^2-21x-18=y^2-7y-18

=(y-9)(y+2)

=(3x-9)(3x+2)=3(x-3)(3x+2)

P=(x-3)(3x+2)

【例②】

P=6x^2+x-15

y=6xとする。

6P=36x^2+6x-90=y^2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(6x+10)(6x-9)=2(3x+5)×3(2x-3)

P=(3x+5)(2x-3)

(※)係数が大きくなると、

yの2次式の因数分解で大変な場合もある。

【例③】

P=48x^2-115x-150

y=48xとする。

48P=(48x)^2-115(48x)-150×48

=y^2-115y-150×48

=(y-160)(y+45)

=(48x-160)(48x+45)

=16(3x-10)×3(16x+15)

=48(3x-10)(16x+15)

P=(3x-10)(16x+15)

【x^2+bx+c→α+β=b, αβ=cとなるα,β】

①p^2がcの因数で、pがbの因数である最大なものをpとする。

②s+t=b/p, st=c/p^2→s,tを見つける

(s,tは互いに素)

(※)s,tは互いに素だから、累乗はひとまとまりで考える。

③(α,β)=(ps,pt)

④x^2+bx+c=(x+α)(x+β)

-115=-5×23

-150×48=-2×3×5^2×2^4×3=-2^5×3^2×5^2

p=5

s+t=-23, st=-2^5×3^2=-32×9

→(s,t)=(-32,9)→(α,β)=(-160,45)

(※)2021/7/2【海外のたすき掛け】参照

(2023/3/17)

タイルの敷き詰め

大中小の正方形のタイルがある。

大は1枚、中は2枚、小は3枚。

これらを隙間なく並べて長方形を作る。

この長方形を一番小さいタイルで敷き詰めることができるとき、小さいタイルは何枚必要か？

13で割った余り

P=7^2023+7^2022+…+7+1を13で割った余りを求めよ。

【3桁・4桁同士の積】

P=2357×6421
*************************************
=(2300+57)×(6400+21)
=23×64×10000
+23×21×100+57×64×100
+57×21
*************************************
23×64=1212+80+180=1472
23×21=403+20+60=483
57×64=3028+200+420=3648
57×21=1007+50+140=1197
483+3648=4131

P=14720000+413100+1197
=15133100+1197
=15134297

***の部分を省略する。

【例】P=26 57× 84 19
26×84=1624+80+480=1704+480=2184
26×19=254+180+60=254+240=494
57×84=4028+200+560=4788
57×19=563+450+70=563+520=1083
494+4788=5282
P=21840000+528200+1083
=21840000+529283
=22369283

【仕組み】
A,Bを3桁か4桁の数とする。
下から2桁ずつ区切る。
A=100a+b
B=100c+d
a,b,c,dは、1桁か2桁の数
A×B=(100a+b)(100c+d)
=ac×10000+(ad+cb)×100+bd

【例】P=532×817
5×8=40
5×17=50+35=85
32×8=240+16=256
32×17=314+210+20=544
85+256=341
400000+34100+544
=434100+544
=434644

【例】P=637×4756
6×47=240+42=282
6×56=300+36=336
37×47=1249+210+280=1249+490=1739
37×56=1542+180+350=1542+530=2072
336+1739=2075
P=2820000+207500+2072
=3027500+2072
=3029572

(※)2023/3/2【おみやげ算からの考察】(2桁同士の積)を参照