大人の数学教室088(場合の数⑦)

【第7章】

(4)順列と組合せの違い

順序を考慮に入れるかいれないか。

入れる場合は順列

入れない場合は組合せ

例17)8人の会員から役職を決めたい。何通りの決め方があるか。

①会長、副会長、会計をそれぞれ1人ずつ決める。

〈役職に順序があるから順列〉

P[8,3]=8×7×6=336(通り)

②代表3人を決める。

〈代表には順序がないから組合せ〉

C[8,3]=(8×7×6)/(3×2×1)=56(通り)

③会長1人と副会長2人と会計2人を決める。

〈会長→副会長→会計と決める〉

8×C[7,2]×C[5,2]=8×21×10=1680(通り)

順列P[n,r]=n!/(n-r)!

組合せC[n,r]=P[n,r]/r!=n!/{r!(n-r)!}

大人の数学教室087(場合の数⑥)

【第6章】

【Cの性質】

C[n,0]=1

C[n,n]=1

nCrはn個からr個取り出した組み合せを考えたとき、n個から取り出さないn-r個を選んだことになる。

C[n,r]=C[n,n-r]

例15)C[20,18]=C[20,2]

n+1個からr個を取り出す。

特定の1つを含む場合と含まない場合を考える。

特定の1つを含む場合は、残りn個からr-1個取る。C[n,r-1]通り

特定の1つを含まない場合は、残りn個からr個取る。C[n,r]1通り

よって、C[n+1,r]=C[n,r-1]+C[n,r]

例16)Aを含む9人から3人の代表を決める。

すべての場合 C[9,3]

①Aを含むとき

残り8人から2人を決める。C[8,2]

②Aを含まないとき

残り8人から3人を決める。C[8,3]

よって、

C[9,3]=C[8,2]+C[8,3]

大人の数学教室086(場合の数⑤)

【第5章】

(3)組合せ

異なるn 個のものうちr 個取り出し、

組を考えたものを、n 個からr 個取り出した 「組合せ」 という。その組の総数を C[n,r] と表す。

(※本来の記号は、Cの左に小さくn、右に小さくrを書く。)

順番は考えない。

n 個からr 個の組を作る。→ C[n,r] 通り

r 個を順番を考え並べる。→ P[r,r]=r! 通り

r個の組を作り、そのr個を並べる

⇒ n 個からr 個取り出した順列→ nPr

よって、C[n,r]×r!=P[n,r]

C[n,r]=P[n,r]/r!=n!/{r!(n-r)!}

例11)1円玉、5円玉、10円玉、50円玉、100円玉、500円玉が1 枚ずつある。

このうち2枚でできるか金額は何通りか。

〔C[6,2]=15〕

例12)正n 角形の頂点を結び三角形を作る。何個の三角形ができるか。

〔C[n,3]〕

例13)正n 角形の対角線は何本あるか。

〔C[n,2]-n〕

例14)平行な縦線m 本、平行な横線n 本がある。すべての横線が、すべての縦線と交わっている。平行四辺形は何個あるか。

〔C[m,2]×C[n,2]〕

大相撲秋場所

実力伯仲の4人の力士A, B,C,D。

14日目までの成績は、Aは14勝、BとCは13勝1敗、Dは12勝2敗。

千秋楽では、AとB、CとDが当たる。

優勝となる確率を考える。

(※実力は伯仲しているので、それぞれ勝つ確率は1/2とする。)

63の倍数

n^8-n^2は63の倍数であることを示せ。