大人の数学教室072(整数⑩)

整数を扱うのに、知っておくと便利なものに、「合同式」がある。高校の範囲を越えるけれども、はまると面白い分野なので、お付き合いください。

【第1章】

(1)合同式

整数a,b、自然数nに対し、

a-bがnの倍数のとき、

aとbは、nを法として「合同」といい、

a≡b (mod n)

と表す。

例えば、8と13は

8-13=-5だから、5を法として合同

8≡13 (mod 5)

8÷5=1 … 3

13÷5=2 … 3

5で割ったときの余りが等しい。

a≡b (mod n)のとき、

「aをnで割ったときの余りとbをnで割ったときの余りが等しい。」

(これを、a≡b (mod n)の定義としている場合も多いが、性質等の証明するのに上記の方が楽なので、上記の定義を採用した。)

nで割ったときの余りは、0~n-1。

整数をn個のグループに分け、同じグループの数同士は「合同」とする。

(例)ある年の3月1日は日曜日だった。

6月1日は何曜日か。

3月1日を1日目とする。

31+30+31+1=93より、

6月1日は93日目。93=7×13+2

93≡2 (mod 7)

1つ曜日をずらして、月曜日

x≡1 (mod 7)は日曜日

x≡2 (mod 7)は月曜日

のように、曜日は合同式で考えられる。

時計もmod 12の合同式で考えられる。

15時は、(午後)3時で

15≡3 (mod 12)

時事川柳【2020/8/30】

モリカケも サクラもすべて 闇の中 (鯉正)

(2020/8/30)

安倍首相退陣表明

森友問題、加計問題、桜を見る会問題、1億5000万円問題の説明責任を一切果たさず退陣する。

政治家の「説明責任」=「沈黙」

三角形の垂線の長さ

三辺の長さが、7,8,9である三角形において、各頂点から対辺に下ろした垂線の長さの和を求めよ。

大人の数学教室071(整数⑨)

【第4章】

(5)3元1次連立方程式

加減法や代入法で文字を消去するのが基本である。1次不定方程式を利用する解法も紹介しよう。

(例)

5x-4y+6z=8・・・①

7x-6y+10z=14・・・②

4x+9y+7z=74・・・③

【解】

①②より、

12y=15x+18z-24=14x+20z-28

x-2z=-4 …1次不定方程式

(x,z)=(2t,t+2)

12y=30t+18(t+2)-24=48t+12

y=4t+1

(x,y,z)=(2t,4t+1,t+2)

③に代入

8t+9(4t+1)+7(t+2)=74

(8+36+7)t+(9+14)=74

51t=51

t=1

(x,y,z)=(2,5,3)

2式から1次不定方程式を作り、その解からx,y,zを媒介変数tで表す。それをもう１つの式に代入してtの値を求める。

大人の数学教室070(整数⑧)

【第3章】

(4)べズーの定理

a,bが互いに素のとき、

ax+by=1を満たす整数(p,q)が存在する。

(例)37x+27y=4を満たす整数(x,y)を求めよ。

(解)

a=37, b=27とする。

37=27+10より、10=37-27=a-b

27=10×2+7より、

7=27-10×2=b-2(a-b)=-2a+3b

10=7+3より、

3=10-7=(a-b)-(-2a+3b)=3a-4b

7=3×2+1より、

1=7-3×2=(-2a+3b)-2(3a-4b)=-8a+11b

辺々に4を掛けて、

4=-32a+44b

37×(-32)+27×44=4

特殊解(x,y)=(-32,44)を得る。

一般解(x,y)=(27t-32, -37t+44)

べズーの定理で、ax+by=1の特殊解(p,q)を求めることができれば、

ax+by=kの特殊解(kp,kq)が得られる。

上の例では、t=1とすると、

(-5, 7)も特殊解である。

37×(-5)+27×7=4

途中の計算を使って、

10=a-b, 7=-2a+3bより、

4=7×2-10=2(-2a+3b)-(a-b)=-5a+7b

すなわち、37×(-5)+27×7=4

特殊解(x,y)=(-5,7)

一般解(x,y)=(27t-5, -37t+7)