【チョコレートケーキの7等分】

チョコレートケーキを7等分せよ。

上面と側面にチョコレートが均等の厚さで塗られている円形のチョコレートケーキがある。
ケーキ、チョコレートの量が同じになるように7切れに分けたい。どうすればいいか？

幾何学的には不可能である。幾何学的というのは、定規とコンパスだけでという意味である。そんな条件のない日常的にできる方法を考えてみよう。もちろん、本当の意味で7切れとも同じでなければいけない。

数学だけの力だけでなく、豊かな発想力が必要になる。数学でできることとできないことを把握して、できないことをどう補えばよいかを考えるのだ。数学的な裏付けの下、解法を見つける。

【thinking time】
この問題のチョコレートケーキは、ザッハトルテ。オーストリアのウィーンで1832年に生まれたお菓子で、産みの親は当時16歳の料理人フランツ・ザッハー。
チョコレートケーキはたくさんの種類があるようです。



さて、一つの解法を紹介しよう。
準備物は、たこ糸、竹串2本、マジック(赤と黒)、ナイフ、セロテープ

①たこ糸をケーキの円周にあて、たこ糸を円周の長さにする。(この部分が幾何学的に不可能な部分である。)
②1本の竹串にたこ糸の端を付ける。
③少し離したもう1本の竹串にかけて元の竹串にかけてを繰り返し3往復させ端を元の竹串に付ける。糸をピンと張り、竹串にところの糸に赤のマジックで印を付ける。(糸を6等分する)
④同様に、3往復半させて、糸に黒のマジックで印を付ける。(糸を7等分する)
⑤再びケーキの円周にあて、端と3番目の赤印を結ぶ線分をたこ糸で作る。2番目の赤印と4番目の赤印を結ぶ線分をたこ糸で作る。その交点が円の中心。竹串で印を付ける。
⑥中心と黒印(端を含む)を結ぶ線分にナイフを入れて切る。
⑦7切れとも同じ半径の扇形で、円弧が等しい。上面の面積が等しいので、ケーキの量は同じ、上面のチョコレートの量も同じ。円弧が等しいから側面のチョコレートの量も同じ。

この方法だと、黒印の付け方(⑥)で任意の等分ができる。
5等分だったら、2往復半

他にも方法がありそうですね。
数学の知識と日常の知恵で解く問題でした。

角の二等分線の長さ

△ABCにおいて、
a=3,b=4, c=2とする。
∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。
ADを求めよ。

円に内接する四角形

円Oに内接する四角形ABCDがある。
ACは直径でないとする。
点A, Cにおける接線の交点をPとする。
∠APC=50°のとき、∠ADCを求めよ。

長方形の内部の点

長方形ABCDの内部に点Eがある。
EA=1, EB=4, EC=8のとき、EDを求めよ。

外接円の半径と内接円の半径

△ABCにおいて、a=4, b=5, c=6とする。
外接円の半径R, 内接円の半径rとする。
Rrを求めよ。