【4次式の因数分解】

P=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

=(px^2+qx+r)(sx^2+tx+u)のとき、

係数をひっくり返す。

Q=ex^4+dx^3+cx^2+bx+a

=(rx^2+qx+p)(ux^2+tx+s)

【証明】

Pの係数を比較すると

4次→ps=a

3次→pt+qs=b

2次→pu+qt+rs=c

1次→qu+rt=d

定数→ru=e

(rx^2+qx+p)(ux^2+tx+s)の展開式の係数

4次→ru=e

3次→rt+qu=d

2次→rs+qt+pu=c

1次→qs+pt=b

定数→ps=a

よって、

(rx^2+qx+p)(ux^2+tx+s)

=ex^4+dx^3+cx^2+bx+a=Q

【証明終】

P=12x^4+5x^3+21x^2-3x+5の因数分解

【解】

Q=5x^4-3x^3+21x^2+5x+12とする。

y=5xとする。

5^3Q

=y^4-3y^3+105y+125y+(12×125)

a+c=-3

b+d+ac=105

ad+bc=125

bd=12×125=2^2×3×5^3

b=5^3×p→d=q→pq=12

qa+125c=125

aは125の倍数

d=105-ac-b→5の倍数→不適

よって、

b=5p, d=25q→pq=12

ac=105-(b+d)

D=(a+c)^2-4ac≧0→ac≦(a+c)^2/4

105-(b+d)≦9/4

b+d≧105-9/4=102+3/4

q=1→p=12→b=60, d=25

q=2→p=6→b=30, d=50

q=3→p=4→b=20, d=75

q=4→p=3→b=15, d=100

→a+c=-3, 100a+15c=125, ac=-10

→a=2,c=-5

5^3×Q=(y^2+2y+15)(y^2-5y+100)

=(25x^2+10x+15)(25x^2-25x+100)

よって、

Q=(5x^2+2x+3)(x^2-x+4)

したがって、

P=(3x^2+2x+5)(4x^2-x+1)

(2023/3/11)

時事川柳【2023/4/23】(居眠り)

全員に 居眠りされて 否決され(鯉正)

(2023/4/23)

改正新型コロナウイルス対策特別措置法の成立を前に、20日の委員会採決で見られた場面が物議を醸している。

委員長：賛成の方の起立を願います→起立による採決で動かない無所属の上田清司参議院議員(74)。

居眠りなのか？反対なのか？

否決された理由が「居眠り多数」とならなければよいが…

瓜田に覆を納れず、李下に冠を正さず

【負の数を掛けたり割ったりすると】

-2x＞6→x＜-3

不等式で、
両辺を負の数で掛けたり割ったりすると、なぜ不等号の向きが変わるのか？

次の事項は、正しいとする。
【不等号の性質】
①a＞b→a+c＞b+c
②a＞b→a-c＞b-c
③c＞0のとき、
a＞b→ac＞bc
a＞b→a/c＞b/c
④a＞b→b＜a 【両辺の逆転】

【移項】
a+c＞b-d
→a+c-c＞b-d-c :両辺からcを引く
→a＞b-d-c :左辺を計算する
→a+d＞b-d-c+d :両辺にdを足す
→a+d＞b-c :右辺を計算する

最初の式と最後の式を比べる。
a+c＞b-d→a+d＞b-c

cに注目すると、左辺から右辺に移って符号が変わる。
dに注目すると、右辺から左辺に移って符号が変わる。
不等号を挟んで辺を移ると、符号が変わる。
これを、「移項」という。

【負の数を掛けたり割ったりする】
c＜0とする。移項して、0＜-c
a＞b
→a×(-c)＞b×(-c) :両辺に-c＞0を掛ける
→-ac＞-bc :両辺を計算する
→bc＞ac :移項する
→ac＜bc :両辺の逆転
よって、
c＜0のとき、a＞b→ac＜bc

同様に、
a＞b→a/(-c)＞b/(-c)→-a/c＞-b/c
→b/c＞a/c→a/c＜b/c

したがって、
c＜0のとき、
a＞b→ac＜bc
a＞b→a/c＜b/c

すなわち、
負の数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが変わる。

(2023/4/17)

【蛇足:①②③④の補足】
a＞b→a+c＞b+c
a＞b→a-c＞b-c
上皿天秤をイメージすると成り立つ。

c＞0のとき、
a＞b→ac＞bc, a/c＞b/c
n:自然数のとき、①より成り立つ
m:自然数のとき、
a＞b→a/m＜b/mとする。
(a/m)×m＜(b/m)×m→a＜b
矛盾するから、a＞b→a/m＞b/m
a＞b→an＞bn→(an)/m＞(bn)/m
→a×(n/m)＞b×(n/m)
すなわち、cが任意の有理数で成り立つ
例えば、√2=1.41421356…
少数のどこで区切っても有理数になるので成り立つから、√2でも成り立つと考える方が自然である。
そう考えても、矛盾が生まれないからOK→無理数でも成り立つ
実数でも成り立つとする。

a＞b→b＜a
表記の仕方を変えただけ。

√Pが整数

a,b,cは連続する1桁の自然数とする。

a,b,cを並べて3桁の数Pを作る。

√Pが整数となるPを求めよ。

例えば、√324=18

時事川柳【2023/4/11】(身分証明書)

紛失の マイナカードが 身分証(鯉正)

(2023/4/11)

持ち歩くことの増えるマイナンバーカード。

紛失したときの手続きは

①マイナンバーカード機能停止の手続き(マイナンバー総合フリーダイアル)

②警察に遺失届

③お住まいの市町村へ届け

手続きのときの身分証は何？