大人の数学教室142(三角比⑰)

【第17章】

(17)三角形の面積②

余弦定理より

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

(sinA)^2=1-(cosA)^2

=1-(b^2+c^2-a^2)^2/(4b^2c^2)

S=½×bcsinAより、4S=2bcsinA

16S^2=(4S)^2

=(2bcsinA)^2

=4b^2c^2×(sinA)^2

=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2

=

{2bc+(b^2+c^2-a^2)}{2bc-(b^2+c^2-a^2)}

={(b+c)^2-a^2}{a^2-(b-c)^2}

=(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)

t=(a+b+c)/2 とおくと、

a+b+c=2t,

-a+b+c=2(t-a), a-b+c=2(t-b), a+b-c=2(t-c)

16S^2=16t(t-a)(t-b)(t-c)

S^2=t(t-a)(t-b)(t-c)

したがって、

S=√(t(t-a)(t-b)(t-c))

ヘロンの公式【3辺→面積】

三辺の長さがa,b,cである△ABCの面積S

t=(a+b+c)/2 とおくと、

S=√{t(t-a)(t-b)(t-c)}

例)a=7, b=8, c=9のとき、面積Sを求めよ。

t=(7+8+9)/2=12

ヘロンの公式より、

S=√{12×(12-7)×(12-8)×(12-9)}=12√5

途中の式を活用する。

16S^2=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2

例)a=√2, b=√3, c=√5のとき、

16S^2=(2√3×√5)^2-(3+5-2)^2=60-36=24

4S=2√6

よって、S=√6/2

内接円の半径をr とおくと、

S=½×r(a+b+c)

(3辺と内接円の半径→面積)

三角形の面積を求めるには

① 2 辺とはさむ角

② 3 辺と外接円の半径

③ 3 角と外接円の半径

④ 3 辺→ヘロンの公式

⑤ 3 辺と内接円の半径

例)a=7, b=3, c=8のとき、外接円の半径Rと内接円の半径rを求めよ。

【解】

t=(7+3+8)/2=9

S=√{9×(9-7)×(9-3)×(9-8)}=6√2

S=(abc)/(4R)より、

R=(abc)/(4S)=168/(24√2)

=(168√2)/48=(7√2)/2

S=½×r(a+b+c)より、

r=(2S)/(a+b+c)=(12√2)/18=(2√2)/3

大人の数学教室141(三角比⑯)

【第16章】

(16)三角形の面積①

△ABC の面積をS とする。

頂点C から直線ABに垂線を引き、直線ABとの交点をD とする。CD=AC×sinA が△ABCの高さになる。

S=½×AB×AC×sinA=½bc×sinA

同様にして

S=½bc×sinA=½ca×sinB=½ab×sinC

(2辺とそのはさむ角→面積)

正弦定理よりsinA=a/(2R) だから、

S=(abc)/(4R)

(3辺と外接円の半径→面積)

正弦定理よりb=2R×sinB, c=2R×sinC

S=2R^2×sinA×sinB×sinC

(3角と外接円の半径→面積)

例)a=4, c=3, A=120°, C=30°のとき、面積Sを求めよ。

B=180°-(120°+30°)=30°

S=½×3×4×cos30°=6×√3/2=3√3

(aとcのはさむ角はB)

大人の数学教室140(三角比⑮)

【第15章】

(15)最大角と最大辺

△ABCにおいて、

最大辺の対角が最大角である。

最大角の対辺が最大辺である。

a≧b ⇔ A≧B を示す。

【証明】

余弦定理より、

2abc(cosA-cosB)

=a(b^2+c^2-a^2)-b(c^2+a^2-b^2)

=(a-b)c^2+a(b^2-a^2)+b(b^2-a^2)

=(a-b)c^2-(a+b)(a^2-b^2)

=(a-b)c^2-(a-b)(a+b)^2

=(a-b){c^2-(a+b)^2}

=(a-b)(a+b+c){c-(a+b)}

a＞0, b＞0, c＞0 で、c＜a+b だから、

a≧b

⇔ (a-b)(a+b+c){c-(a+b)}≦0

⇔2abc(cosA-cosB)≦0

⇔ cosA≦cosB

⇔ A≧B

最大辺の対角が鋭角のときは鋭角三角形

例)a=7, b=5, c=8のとき

cosC=(7^2+5^2-8^2)/(2×7×5)

=(49+25-64)/70=1/7＞0

最大角Cは鋭角だから、

△ABCは鋭角三角形

最大角の余弦(cos)を求めることで、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形が分かる。

大人の数学教室139(三角比⑭)

【第14章】

(14)三角形の解法

三角形の3つの辺と3つの角のうち、3つの値から、他の値を求める。

正弦定理より

(a,b,c)=(sinA,sinB,sinC) だから、

(A,B,C)⇔(a,b,c)

(60°,60°,60°)⇔(1,1,1)

(45°,45,°90°)⇔(1,1,√2)

(90°,30°,60°)⇔(2,1,√3)

加法定理より(後日解説予定)

sin15°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°-cos45°sin30°

=√2/2×√3/2-√2/2×1/2

=(√6-√2)/4

sin75°=sin(45°+30°)

=sin45°cos30°+cos45°sin30°

=(√6+√2)/4

sin105°=sin(180°-75°)

=sin75°=(√6+√2)/4

(15°,15°,150°)⇔(√3-1,√3-1,√2)

(15°,30°,135°)⇔(√3-1,√2,2)

(15°,45°,120°)⇔(√3-1,2,√6)

(15°,75°,90°)⇔(√6-√2,√6+√2,4)

(30°,30°,120°)⇔(1,1,√3)

(30°,45°,105°)⇔(1,√2,√6+√2)

(45°,60°,75°)⇔(2,√6,√3+1)

大人の数学教室138(三角比⑬)

【第13章】

(13)三角形の形状決定

△ABC の形状を決定する。

①正三角形⇔3 辺が等しい

②二等辺三角形⇔2 辺が等しい

⇔2 角が等しい

③直角三角形⇔三平方の定理が成り立つ

正弦定理と余弦定理を利用して、辺の関係あるいは角の関係を調べる。

正弦定理より

sinA=a/(2R), sinB=b/(2R), sinC=c/(2R)

余弦定理より

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

例)sinA=2cosBsinCを満たす△ABCはどんな三角形か。

【解】

2RsinA=2cosB(2RsinC)

正弦定理より、

a=2c×cosB

余弦定理より、

a=2c×(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

a^2=c^2+a^2-b^2

b^2=c^2

b＞0, c＞0より、b=c

よって、b=cの二等辺三角形