数秘術にみる掛け算の方法

　ルドルフ・タシュナー著「数の魔力」（岩波書店）を読んでいたら、２つの数、例えば７５と５７の掛け算の方法が出ていた。

　この方法は、以下のように、左の列では一番上の数７５を順々に半分にしていく（そのとき余りは切り捨てる）。また、右の列では、一番上の数５７を順々に倍にしていく。

　　　　　　　７５　　　　５７

　　　　　　　３７　　　１１４

　　　　　　　１８　　　２２８　・・・この行を消す

　　　　　　　　９　　　４５６

　　　　　　　　４　　　９１２　・・・この行を消す

　　　　　　　　２　　１８２４　・・・この行を消す

　　　　　　　　１　　３６４８

　ここで、左右に偶数が並んでいる行を線で消していく。そして、右列に残った数字をすべて加える。その合計は、５７＋１１４＋４５６＋３６４８＝４２７５となり、これが求める７５Ｘ５７の掛け算の答えになる。

　この方法を発見したのがいつの時代の誰か、不明である（ピタゴラスの時代には、すでに知られていたようである）が、何か魔術的な手順に見えるので、数秘術の１つと見なされていたようである。

　そこで、一般にａＸｂの掛け算の場合に、この方法が正しいものか否か、検証してほしい、ということになる。

　例えば、ａ＝２^ｎの場合には、ａを順々に半分にするとは、順に２^ｎ－１，２^ｎ－２，．．．，２，１の数列を作っていくことである。また、ｂを順々に倍にするとは、順に２ｂ，２^２ｂ，．．．，２^ｎ－１ｂ，２^ｎｂを作っていくことである。最初の行と最後の行を除く途中の行は、すべて左右に偶数が並んでいるので、消える。右の列（ｂの列）の最後の行は、２^ｎｂとなって残る。問題は、最初の行の右列のｂである。ｂが偶数なら最初の行は消えるから、掛け算の答えはａＸｂ＝２^ｎｂとなって正解である。ｂが奇数の場合には、最初の行のｂが残るから、ａＸｂ＝２^ｎｂ＋ｂとなって誤りであるから、最初の行のｂは除外しなければならない。しかし、ａは特殊なケースなので、この除外条件はｂに依存するか否か、怪しい。

　一般に、ａは次の式のように２進数で表現できる。

　　ａ＝２^ｎ＋ａ_１２^ｎ－１＋ａ_２２^ｎ－２＋．．．＋ａ_ｎ－１２＋ａ_ｎ

ここで、ａ_１，ａ_２，．．．，ａ_ｎは１または０の２進数であり、ａ_ｎが０ならａが偶数、ａ_ｎが１ならａが奇数である。

　以下、２番目の行から最後の行までは、

　　ａ／２＝２^ｎ－１＋ａ_１２^ｎ－２＋ａ_２２^ｎ－３＋．．．＋ａ_ｎ－１　　　　　　　　　　２ｂ

　　ａ／２^２＝２^ｎ－２＋ａ_１２^ｎ－３＋．．．＋ａ_ｎ－２　　　　　　　　　　　　　　　２^２ｂ

　　　　．．．　　　　　　　　．．．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．

　　ａ／２^ｎ＝１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２^ｎｂ

となる。各式の最後の項の係数、ａ_ｎ－１，ａ_ｎ－２，．．．，ａ_１が０ならその式が偶数、１ならその式が奇数であるから、最後の行から２番目の行までの右列の合計は、

　　　　　２^ｎｂ＋ａ_１２^ｎ－１ｂ＋ａ_２２^ｎ－２ｂ＋．．．＋ａ_ｎ－１２ｂ

となる。これに最初の行の右列のｂがａ_ｎｂの形式で加わるから、

　　ａＸｂ＝（２^ｎ＋ａ_１２^ｎ－１＋ａ_２２^ｎ－２＋．．．＋ａ_ｎ－１２＋ａ_ｎ）ｂ

となる。

　すなわち、この式の通り、ａが偶数ならａ_ｎが０であるから、ｂの偶奇にかかわらず、最初の行のｂは合計から除外するという例外条件を加えなければならない。この条件を加えるならば、上記の数秘術の掛け算方法は正しいと言える。