（01）
ルカジェヴィッツによる命題論理の公理
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（ｃ）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁改）
然るに、
（02）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
に於いて、
（ｂ）Ｒ＝Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
然るに、
（04）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
（ｄ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）
に於いて、
（ａ）が「真」で、
（ｂ）も「真」であるならば、
（ｄ）も「真」である。
然るに、
（05）
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）
に於いて、
（ｄ） Ｑ＝Ｑ→Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
（ｄ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→（Ｐ→Ｐ）
従って、
（01）（05）により、
（06）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→（Ｐ→Ｐ）
然るに、
（07）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→（Ｐ→Ｐ）
（ｅ） （Ｐ→Ｐ）
に於いて、
（ａ）が「真」で、
（ｄ）も「真」であるならば、
（ｅ）も「真」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
といふ「公理」により、
（ｅ） Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）。
といふ「定理」が「演繹」される。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７５頁改）
然るに、
（09）
１ （１）Ｐである。 と仮定する。
２（２）Ｐでない。 と仮定する。
１２（３）Ｐであって、Ｐでない。 １と２による連言導入。
１ （４）Ｐでない。でない。 ２と３による背理法。
１ （５）Ｐである。 ４の二重否定。
（６）ＰならばＰである。 １と５による条件法。
従って、
（10）
１ （１）Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４） ～～Ｐ ２３ＲＡＡ
１ （５） Ｐ ４ＤＮ
（６）Ｐ→ Ｐ １５ＣＰ
（〃）ＰならばＰである。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「仮定（Ａ）、連言導入（＆Ｉ）、背理法（ＲＡＡ）、二重否定（ＤＮ）、条件法（ＣＰ）」といふ「（自然演繹の）規則」は、
（ｅ） Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）。
といふ「定理」を、「演繹」出来る。
（12）
（ａ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウキ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→ Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １２ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→ Ｒ ３６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９） ［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→
［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １９ＣＰ
（ｃ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） ～～Ｑ ２ＤＮ
１２（４）～～Ｐ １３ＭＴＴ
１２（５） Ｐ ４ＤＮ
１ （６） Ｑ→ Ｐ ２５ＣＰ
（７）（～Ｐ→～Ｑ）→
（ Ｑ→ Ｐ） １６ＣＰ
従って、
（01）（12）により、
（13）
「Ａ（仮定）、∨Ｉ（選言導入）、＆Ｅ（連言除去）、＆Ｉ（連言導入）、ＲＡＡ（背理法）、∨Ｅ（選言除去）、ＤＮ（二重否定）、ＣＰ（条件法）、ＭＰＰ（前件肯定）、ＭＴＴ（後件否定）」
といふ「（自然演繹の１０個の）規則」は、
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（ｃ）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「公理」、すなはち、
（ａ） Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｂ）（Ｐならば（ＱならばＲである））ならば［（ＰならばＱである）ならば（ＰならばＲである）］。
（ｃ）（ＰでないならばＱでない。）ならば（ＱならばＰである）。
といふ「（公理」を、「演繹」出来る。
然るに、
（14）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（〃）ＰであってＰでない。といふことはない。
（15）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
（〃）Ｐであるか、Ｐではない。
従って、
（01）（13）（14）（15）により、
（16）
「（自然演繹の）規則」は、
（ａ）Ｐならば、ＱならばＰである。
（ｂ）Ｐならば、ＱならばＲである。ならば、ＰならばＱである。ならば、ＰならばＲである。
（ｃ）ＰでないならばＱでない。ならば、ＱならばＰである。
といふ「（命題論理の）公理」に加へて、
（ｅ）ＰならばＰである。
（ｆ）ＰであってＰでない。といふことはない。
（ｇ）Ｐであるか、Ｐではない。
といふ、「同一律・矛盾律・排中律」を、「演繹」出来る。
然るに、
（17）
公理（こうり、英: axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という（ウィキペディア）。
従って、
（16）（17）により、
（18）
いづれにせよ、
（ｅ）ＰならばＰである。
（ｆ）ＰであってＰでない。といふことはない。
（ｇ）Ｐであるか、Ｐではない。
といふ、「同一律・矛盾律・排中律」は、「（自然演繹の）公理」には、なり得ない。
ｃｆ.
同一律【どういつりつ】 論理学で矛盾律，排中律とともに三大原理と呼ばれるものの一つ。〈 自同律〉，〈同一原理〉ともいい，英語ではlaw of identity。 この原理は，主語と述語の関係を基軸にした伝統的論理学では〈AはAである〉と定式化され，自明な命題の代表例（コトバンク）。
従って、
（19）
「自然演繹」の場合は、面白いことに、「公理」は１つもありません。ここに自然演繹の大きな特徴があります（小島博之、証明と論理に強くなる、2017年、１４１頁改）。
といふ、ことになる。
ルカジェヴィッツによる命題論理の公理
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（ｃ）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁改）
然るに、
（02）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
に於いて、
（ｂ）Ｒ＝Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
然るに、
（04）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）］
（ｄ） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）
に於いて、
（ａ）が「真」で、
（ｂ）も「真」であるならば、
（ｄ）も「真」である。
然るに、
（05）
（ｄ）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｐ）
に於いて、
（ｄ） Ｑ＝Ｑ→Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
（ｄ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→（Ｐ→Ｐ）
従って、
（01）（05）により、
（06）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→（Ｐ→Ｐ）
然るに、
（07）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｄ）［Ｐ→（Ｑ→Ｐ）］→（Ｐ→Ｐ）
（ｅ） （Ｐ→Ｐ）
に於いて、
（ａ）が「真」で、
（ｄ）も「真」であるならば、
（ｅ）も「真」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
といふ「公理」により、
（ｅ） Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）。
といふ「定理」が「演繹」される。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７５頁改）
然るに、
（09）
１ （１）Ｐである。 と仮定する。
２（２）Ｐでない。 と仮定する。
１２（３）Ｐであって、Ｐでない。 １と２による連言導入。
１ （４）Ｐでない。でない。 ２と３による背理法。
１ （５）Ｐである。 ４の二重否定。
（６）ＰならばＰである。 １と５による条件法。
従って、
（10）
１ （１）Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３）Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４） ～～Ｐ ２３ＲＡＡ
１ （５） Ｐ ４ＤＮ
（６）Ｐ→ Ｐ １５ＣＰ
（〃）ＰならばＰである。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「仮定（Ａ）、連言導入（＆Ｉ）、背理法（ＲＡＡ）、二重否定（ＤＮ）、条件法（ＣＰ）」といふ「（自然演繹の）規則」は、
（ｅ） Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）。
といふ「定理」を、「演繹」出来る。
（12）
（ａ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨ Ｐ １∨Ｉ
３ （３） Ｑ＆～Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３ （５） Ｑ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｑ＆ Ｑ ３４＆Ｉ
４ （７）～（Ｑ＆～Ｐ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｐ Ａ
３ （９） ～Ｐ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｐ＆～Ｐ ７８＆Ｉ
８ （イ）～（Ｑ＆～Ｐ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（Ｑ＆～Ｐ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｑ Ａ
オ（オ） ～Ｐ Ａ
エオ（カ） Ｑ＆～Ｐ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
（Ｑ＆～Ｐ） ウキ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｐ オキ
１ エ （ケ） Ｐ クＤＮ
１ （コ） Ｑ→ Ｐ エケＣＰ
（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １コＣＰ
（ｂ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １２ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→ Ｒ ３６ＣＰ
１ （８） （Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９） ［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→
［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］ １９ＣＰ
（ｃ）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
２（３） ～～Ｑ ２ＤＮ
１２（４）～～Ｐ １３ＭＴＴ
１２（５） Ｐ ４ＤＮ
１ （６） Ｑ→ Ｐ ２５ＣＰ
（７）（～Ｐ→～Ｑ）→
（ Ｑ→ Ｐ） １６ＣＰ
従って、
（01）（12）により、
（13）
「Ａ（仮定）、∨Ｉ（選言導入）、＆Ｅ（連言除去）、＆Ｉ（連言導入）、ＲＡＡ（背理法）、∨Ｅ（選言除去）、ＤＮ（二重否定）、ＣＰ（条件法）、ＭＰＰ（前件肯定）、ＭＴＴ（後件否定）」
といふ「（自然演繹の１０個の）規則」は、
（ａ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（ｃ）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「公理」、すなはち、
（ａ） Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｂ）（Ｐならば（ＱならばＲである））ならば［（ＰならばＱである）ならば（ＰならばＲである）］。
（ｃ）（ＰでないならばＱでない。）ならば（ＱならばＰである）。
といふ「（公理」を、「演繹」出来る。
然るに、
（14）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（〃）ＰであってＰでない。といふことはない。
（15）
１ （１） ～（Ｐ∨～Ｐ） Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） Ｐ∨～Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ∨～Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） ～（Ｐ∨～Ｐ）＆
（Ｐ∨～Ｐ） １６＆Ｉ
（８）～～（Ｐ∨～Ｐ） １７ＲＡＡ
（９） Ｐ∨～Ｐ ８ＤＮ
（〃）Ｐであるか、Ｐではない。
従って、
（01）（13）（14）（15）により、
（16）
「（自然演繹の）規則」は、
（ａ）Ｐならば、ＱならばＰである。
（ｂ）Ｐならば、ＱならばＲである。ならば、ＰならばＱである。ならば、ＰならばＲである。
（ｃ）ＰでないならばＱでない。ならば、ＱならばＰである。
といふ「（命題論理の）公理」に加へて、
（ｅ）ＰならばＰである。
（ｆ）ＰであってＰでない。といふことはない。
（ｇ）Ｐであるか、Ｐではない。
といふ、「同一律・矛盾律・排中律」を、「演繹」出来る。
然るに、
（17）
公理（こうり、英: axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という（ウィキペディア）。
従って、
（16）（17）により、
（18）
いづれにせよ、
（ｅ）ＰならばＰである。
（ｆ）ＰであってＰでない。といふことはない。
（ｇ）Ｐであるか、Ｐではない。
といふ、「同一律・矛盾律・排中律」は、「（自然演繹の）公理」には、なり得ない。
ｃｆ.
同一律【どういつりつ】 論理学で矛盾律，排中律とともに三大原理と呼ばれるものの一つ。〈 自同律〉，〈同一原理〉ともいい，英語ではlaw of identity。 この原理は，主語と述語の関係を基軸にした伝統的論理学では〈AはAである〉と定式化され，自明な命題の代表例（コトバンク）。
従って、
（19）
「自然演繹」の場合は、面白いことに、「公理」は１つもありません。ここに自然演繹の大きな特徴があります（小島博之、証明と論理に強くなる、2017年、１４１頁改）。
といふ、ことになる。