２０１９年中学入試問題・算数・浦和明の星女子中学・４番・解き方

見やすいように、問題も載せておきます。

《問題文》
池の周囲を一周するようにランニングやサイクリングができるコースがあります。
毎朝、このコースを、明男くんはランニングで、星子さんは自転車で、同時に、同じ地点から逆方向に走り出します。
２人はそれぞれ一定の速さで何周か走り、８分間隔ですれ違います。
明男くんは１周するのに２４分かかります。

ある朝、明男くんと星子さんは、走り出してから８分後にすれ違いました。
ところが、次にすれ違ったのはその１０分後だったので、明男くんは星子さんを呼び止めて
「いつもは８分間隔ですれ違うのに、どうして今回は１０分かかったのですか。」
と尋ねました。すると、星子さんは
「工事のために自転車で走れない区間があって、そこでは自転車に乗っているときの１／４（４分の１）の速さで自転車を押して歩いたからです。」
と答えました。

（１）明男くんが走っているときと、星子さんが自転車に乗っているときの速さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

《解き方》
この問題では時間以外には具体的な数字が出てきません。
ですから、時間以外の要素、ここでは距離、については、計算しやすい数字に自分で決めてしまって構いません。
これは実際の入試の時にも使えるやり方だと思います。

時間は８分と２４分が出てきていますから、その最小公倍数の２４を１周の距離と決めます。
【２４】としましょう。【】は単位の様なものと考えてください。

明男くんの分速を求めます。
【２４】÷２４分＝【１】

明男くんと星子さんの分速の和を求めます。
【２４】÷８分＝【３】

すると星子さんの自転車での分速も求められますね。
【３】－【１】＝【２】

答え　１：２


（２）星子さんがコースを１周する間に、自転車を押していた時間は何分間ですか。

《解き方》
１度出会ってから次に出会うまでに１０分掛かったとき、明男くんが進んだ距離は【１】×１０分＝【１０】です。
星子さんが進んだ距離を求めましょう。
【２４】－【１０】＝【１４】

この距離を２通りの速さで合計１０分で進んだということです。
つるかめ算ですね。

２通りの速さとは、いつもの【２】と、その１／４（４分の１）の【０．５】です。
押していた時間を聞かれていますから、全部【２】で進んだとしてみましょう。
【２】×１０分＝【２０】

実際との差を求めます。
【２０】－【１４】＝【６】

この【６】を、【２】－【０．５】＝【１．５】で割ります。
【６】÷【１．５】＝４

つまり、４分だけ遅く進むと１０分でちょうど【１４】進めるということです。

答え　４分

２０１９年中学入試問題・算数・浦和明の星女子中学校・４番

池の周囲を一周するようにランニングやサイクリングができるコースがあります。
毎朝、このコースを、明男くんはランニングで、星子さんは自転車で、同時に、同じ地点から逆方向に走り出します。
２人はそれぞれ一定の速さで何周か走り、８分間隔ですれ違います。
明男くんは１周するのに２４分かかります。

ある朝、明男くんと星子さんは、走り出してから８分後にすれ違いました。
ところが、次にすれ違ったのはその１０分後だったので、明男くんは星子さんを呼び止めて
「いつもは８分間隔ですれ違うのに、どうして今回は１０分かかったのですか。」
と尋ねました。すると、星子さんは
「工事のために自転車で走れない区間があって、そこでは自転車に乗っているときの１／４（４分の１）の速さで自転車を押して歩いたからです。」
と答えました。

（１）明男くんが走っているときと、星子さんが自転車に乗っているときの速さの比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）星子さんがコースを１周する間に、自転車を押していた時間は何分間ですか。

2016年中学入試問題・算数・栄光学園中学校・2番 解き方

（1）
条件は２つ。
各位の数字を足すと４０になる。
７けた。

（1-a）
なるべく大きくするには、上の位に９を持ってくる。
足して４０になるのは、９＋９＋９＋９＋４
これで一番大きい数が分かります。
９９９９４００
少しずつ小さくしていきます。
９９９９３１０
９９９９３０１

答え　最も大きい整数：９９９９４００　３番目に大きい整数：９９９９３０１

（1-b）
なるべく小さくするには、上の位に１や０を持ってくる。
９はなるべく下の位に使う。
４０＝９＋９＋９＋９＋４なので、一番小さい数は次の通り。
１０３９９９９
少しずつ大きくしていきます。
１０４８９９９
１０４９８９９

答え　最も小さい整数：１０３９９９９　３番目に小さい整数：１０４９８９９



（２）
条件は２つ。
各位の数字を掛け合わせると９６になる。
４けた。

９６を素因数分解します。
９６＝２×２×２×２×２×３
これらの素因数からできる１けたの数は次の通り。
２
３
４（２×２）
６（２×３）
８（２×２×２）

なるべく上の位に大きい数を使うと、千の位は８、百の位は６、十の位は２（８と６で２を４個使ってしまったので４は作れませんし、６で３も使っているので３も作れません）、一の位は１となります。
これで最大の数は８６２１と分かります。
だんだん小さくしていきます。
８６１２
８４３１

答え　最も大きい整数：８６２１　３番目に大きい整数：８４３１



（３）
積が３６になる１けたの数の組み合わせから考えていきましょう。

（その１）２個の組み合わせ

（その１－１）６×６
和を３６にする為には、３６－（６＋６）＝２４なので、１を２４個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
６６１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２６けた】

（その１－２）４×９
和を３６にする為には、３６－（４＋９）＝２３なので、１を２３個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
４９１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２５けた】


（その２）３個の組み合わせ

（その２－１）２×２×９
和を３６にする為には、３６－（２＋２＋９）＝２３なので、１を２３個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
２２９１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２６けた】

（その２－２）２×３×６
和を３６にする為には、３６－（２＋３＋６）＝２５なので、１を２５個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
２３６１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２８けた】

（その２－３）３×３×４
和を３６にする為には、３６－（３＋３＋４）＝２６なので、１を２６個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
３３４１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【２９けた】


（その３）４個の組み合わせ

この場合は、２×２×３×３だけです。
和を３６にする為には、３６－（２＋２＋３＋３）＝２６なので、１を２６個使えば良いですね。
つまり次の様な数が作れます。
２２３３１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１【３０けた】

以上で全て出そろいました。
ケタ数だけを聞かれているので、答え方を間違えないように。

答え　２５けた、２６けた、２８けた、２９けた、３０けた　

2016年中学入試問題・算数・栄光学園中学校・2番

整数のすべての位の数字を足したりかけたりすることを考えます。
例えば、345の場合、すべての位の数字を足すと12、かけると60になります。
次の問に答えなさい。

（1）すべての位の数字を足すと、40になる7ケタの整数を考えます。
（1－a）最も大きい整数、3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。
（1－b）最も小さい整数、3番目に小さい整数をそれぞれ答えなさい。

（2）すべての位の数字をかけると、96になる4ケタの整数を考えます。
　最も大きい整数、3番目に大きい整数をそれぞれ答えなさい。

（3）すべての位の数字を足してもかけても、36になる整数があります。
　それらの整数は何ケタですか。
　ケタ数として考えられるものをすべて答えなさい。
　

平成３０年度 ２０１８年 中学入試 算数 市川中学 １番（３） 解き方

４００字のページと２００字のページがあって合計の字数が９８０００字とあるので、一瞬つるかめ算かなと思ってしまうかもしれません。
でも合計のページ数を聞かれているのですから、つるかめ算ではないですね。
では、芋づる算でしょうか。

と思ってもう一度問題をよく読んでみると、３の倍数のページだけ２００字ということですね。
ですから、これは次の様に考えれば良いと分かります。

１ページ目　４００字
２ページ目　４００字
３ページ目　２００字
４ページ目　４００字
５ページ目　４００字
６ページ目　２００字
　　　・
　　　・
　　　・
　　　・
つまり、周期算でしたね。
３ページ毎に１周期と考えられます。
ですから、１周期のページ数は４００字＋４００字＋２００字＝１０００字です。

９８０００字÷１０００字＝９８周期

１周期のページ数は３ページですから、合計のページ数は次の式で求められます。
３ページ×９８周期＝２９４ページ

答え２９４ページ

平成３０年度 ２０１８年 中学入試 算数 市川中学 １番（３） 問題

１ページあたり４００字が書かれている本について調べたところ、本に書かれている文字数は全部で９８０００字でした。
ただし、３の倍数のページには、さし絵が入っているので、文字数は他のページの半分でした。
このとき、本のページ数を求めなさい。

平成３０年度 ２０１８年度 海陽中等教育学校 特別給費生入試（算数）１番（１） 解き方

（あ）
ある数が９の倍数ならば、その数の各位の数の和も９の倍数となります。
例えば２０１８の各位の数の和とは、２＋０＋１＋８＝１１です。
１１は９の倍数ではないので、２０１８も９の倍数ではありません。
２９１６の各位の数の和は、２＋９＋１＋６＝１８です。
１８は９の倍数なので、２９１６も９の倍数です。

この知識を使えば、１ばかりが９個並べば、その和は９の倍数ですから、各位が１で９ケタの数も９の倍数です。
従って答はＡ（９）です。

（い）
３３＝３×１１なので、３の倍数かつ１１の倍数であれば条件に合います。
３の倍数についても９の倍数と同様で、各位の数の和が３の倍数なら、もとの数も３の倍数です。
１１の倍数で１が並ぶ数とは、１が偶数個並ぶ数です。
この２つのことから、条件を満たすのは１が６個並んだ数と分かります。
従って答はＡ（６）です。

（う）
この問題は、１３の倍数で１だけが並ぶ数を見つけるということです。

１３について、どのような特徴があるのでしょう。
次の式を見て何かをみつけてください。

１３×１＝１３
１３×２＝２６
１３×３＝３９
１３×４＝５２
１３×５＝６５
１３×６＝７８
１３×７＝９１
１３×８＝１０４
１３×９＝１１７

何がみつかりましたか？

ポイントは各答えの１の位の数です。

１３×１＝１３
１３×２＝２６
１３×３＝３９
１３×４＝５２
１３×５＝６５
１３×６＝７８
１３×７＝９１
１３×８＝１０４
１３×９＝１１７

どうでしょう。
ポイントは、全て異なり、１から９まで揃っているということです。
これを使って１ばかりが並ぶ１３の倍数を見つけていきましょう。
もう少し正確に言うと、「１３にいくつを掛ければ答えが１ばかりが並ぶ数になるかを見つけていきましょう。」ということです。

まず掛ける数の１の位は直ぐに分かりますね。
７です。
１３×７＝９１

では１０の位はいくつでしょう。
９にいくつを足せば１になるかと考えれば直ぐに分かりますね。
足す数は２です。
１の位が２である１３の倍数は１３×４＝５２ですから、１０の位は４です。
１３×４７＝６１１

同様にして、６に５を足せば１１となるので、１００の位の数は５です。
１３×５４７＝７１１１

７に４を足せば１１ですから、１０００の位の数は８です。
１３×８５４７＝１１１１１１

これで全てが１となりましたから、条件を満たします。
従って答はＡ（６）です。

平成３０年度 ２０１８年度 海陽中等教育学校 特別給費生入試（算数）１番（１）

（１）すべての位の数字が１である数を、A（１）＝１，A（２）＝１１，A（３）＝１１１，・・・・・
のように、１の個数を使って表すことにします。

これらの数の中で
（あ）９の倍数となるものを１つ求め、記号Aを使って表しなさい。
（い）３３の倍数となるものを１つ求め、記号Aを使って表しなさい。
（う）１３の倍数となるものを１つ求め、記号Aを使って表しなさい。

早稲田実業学校中等部・２０１４年入試問題・算数２番（２）・解き方

はるか昔、私がまだ受験生だった頃、英作文担当の先生はよく「和文和訳」が英作文のポイントですよと話していました。
つまり、与えられた文を、意味を変えずに、より英作しやすい形に変えなさいということです。
この問題にもまさしく和文和訳が使えます。
意味が分かりやすい形に問題文を変えましょうということです。

①文章を言い換えてみましょう。
１から３００までの数の中に、Aの倍数が５個あったということですね。
すると次のような式が考えられます。
３００÷５＝６０
つまり６０の倍数は３００までに５個あるということです。
ところがこれより小さい数、例えば５９の倍数も３００÷５９＝５あまり５ですから、やはり５個あるということになります。
すると、６個になるのはいくつからだろうと考えられますね。
３００÷６＝５０
つまり５０の倍数は６個あるということです。
ところがこれより大きい数、例えば５１の倍数は３００÷５１＝５あまり４５ですから、５個しかないと分かります。
５０の倍数は６個あるけれど、５１の倍数なら５個しかない。
一方、上は、６０までなら５個のままです。
つまり、Aとして考えられるのは、５１以上６０以下ということになります。
答え　ア＝５１　イ＝６０

②文章を言い換えてみましょう。
１から３００までの数の中で、８の倍数から、８とAとの公倍数を引くと３５個になるということですね。
３００÷８＝３７あまり４ですから、８の倍数は３７個。
つまり、Aと８との公倍数は３００までに２個あるということになります。
公倍数は、最小公倍数の倍数ですから、５１から６０のそれぞれの数と８との最小公倍数を調べてみましょう。
まず言えるのは、８は２以外の素因数を持ちませんから（２以外の素数では割り切れませんから）奇数と８との最小公倍数は、A×８となります。
５１×８＝４０８なので、３００より大きいですから、Aは偶数だと分かります。
最小公倍数を求め、その倍数が３００までに何個あるのか順番に調べていきましょう。
５２と８との最小公倍数＝１０４→３００÷１０４＝２→２個なのでOK
５４と８との最小公倍数＝２１６→３００÷２１６＝１→１個なので条件に合わない。
５６と８との最小公倍数＝５６→３００÷５６＝５→５個なので条件に合わない。
５８と８との最小公倍数＝２３２→３００÷２３２＝１→１個なので条件に合わない。
６０と８との最小公倍数＝１２０→３００÷１２０＝２→２個なのでOK
ということで、Aとして考えられるのは５２と６０です。

答え　５２、６０

早稲田実業学校中等部・2014年入試問題・算数2番（２）・問題

１から３００までの数が１つずつ書かれた３００枚のカードがあります。
ある２けたの整数Aで割り切れる数が書かれたカードを取り除いたところ、取り除かれたカードは５枚でした。
次の①、②に答えなさい。

①　Aとして考えられる数は、ア以上イ以下です。アとイに入る最も適した数を求めなさい。

②　さらに、残ったカードの中から８で割り切れる数が書かれたカードを取り除いたところ、取り除かれたカードは３５枚でした。
Aとして考えられる数をすべて求めなさい。

洗足学園中学校・２０１７年（平成２９年）中学入試問題算数・第１回・２番（２）・解き方

全部商品A（１個４０円）を買ったとしたら、商品B（１個８０円）の合計との差はいくらになるでしょう。
Aの合計金額。４０円×５０個＝２０００円
Bの合計金額。８０円×０個＝０円
差は２０００－０＝２０００円です。

ここから１個ずつAをBに取り替えていくと考えます。
１個取り替えるとどうなるでしょう。
Aの合計金額。４０円×４９個＝１９６０円
Bの合計金額。８０円×１個＝８０円
差は１９６０－８０＝１８８０円です。

つまり、１個AをBに取り替えると、差は２０００－１８８０＝１２０円縮まります。
Aの合計が４０円減って、Bの合計が８０円増えますから、差は４０＋８０＝１２０円縮まると考えても良いです。

実際の差は８００円ですから、２０００円－８００円＝１２００円縮まれば良いですね。
１個取り替えると１２０円縮まったので、１２００円縮める為には何個取り替えれば良いでしょうか。

１２００÷１２０＝１０個

つまり、５０個のうち、１０個をBに替えれば、この問題の条件に合います。
５０個－１０個＝４０個
商品Aを４０個、商品Bを１０個買えば、Aの合計金額がBの合計金額より８００円高いということになります。

確かめ。

商品A
４０円×４０個＝１６００円
商品B
８０円×１０個＝８００円

１６００円－８００円＝８００円
条件通りです。

答え　４０個

洗足学園中学校・２０１７年（平成２９年）中学入試問題算数・第１回・２番（２）

１個４０円の品物Ａと１個８０円の品物Ｂを合わせて５０個買ったところ、品物Ａの代金の合計が、品物Ｂの代金の合計よりも８００円高くなりました。
このとき、品物Ａを何個買いましたか。

浦和明の星女子中学校２０１７年度入試問題・算数４番・解き方

説明の中で分数が出てきますが、分数は次のように表しています。
（例）
１÷３＝（３分の１）
１５÷４＝（４分の１５）＝（３と４分の３）

（１）
Ａさんは時速１０ｋｍで１０ｋｍの距離を走ったのですから、ちょうど１時間でゴールしたことになります。
するとＢさんも同じですね。
時速１２ｋｍと時速４ｋｍで、合計１時間で１０ｋｍ走ったということになります。
速さのつるかめ算ということになります。
そして、時速１２ｋｍで走った時間を聞かれているのですね。

一般的には面積図で解きますが、つるかめ算の考え方を確認する為に、式で解いていきましょう。

もし１時間全部を時速４ｋｍで進んだとすると何ｋｍ進めるか。
時速４ｋｍ×１時間＝４ｋｍ

実際の距離との差を求めます。
１０ｋｍ－４ｋｍ＝６ｋｍ

この６ｋｍ分は、時速１２ｋｍで進んで稼いだ分ということです。

１２ｋｍ－４ｋｍ＝８ｋｍですから、時速１２ｋｍで進むと、１時間について８ｋｍ多く進めるということになります。
実際の差は６ｋｍですから、６÷８で（４分の３）時間となり、時速１２ｋｍで進んだのは（４分の３）時間と分かります。
つまり時速１２ｋｍで進んだ時間は６０分×（４分の３）＝４５分です。

答え　４５分

（２）
ゴール手前１ｋｍのところ、つまりスタートしてから９ｋｍのところでＣさんはＡさんを追い抜いたとあります。
９ｋｍを進むのにＡさんは何時間掛かったのでしょうか。
９÷１０＝（１０分の９）時間ですね。

するとＣさんは、時速８ｋｍと時速１２ｋｍで合計（１０分の９）時間掛けて９ｋｍ進んだということになります。
これも（１）と同じく、速さのつるかめ算ということになります。
そして、時速８ｋｍで進んだ時間を聞かれているのですね。

先ほどと同じ解き方で解きます。
時速１２ｋｍ×（１０分の９）時間＝（５分の５４）ｋｍ＝（１０と５分の４）ｋｍ

実際の距離との差を求めます。
（１０と５分の４）ｋｍ－９ｋｍ＝（１と５分の４）ｋｍ

この（１と５分の４）ｋｍ分は、時速８ｋｍで進んで減った分ということです。

１２ｋｍ－８ｋｍ＝４ｋｍですから、時速８ｋｍで進むと、１時間について４ｋｍ進んだ距離が減るということになります。

実際の差は（１と５分の４）ｋｍですから、（１と５分の４）÷４で（２０分の９）時間となり、時速８ｋｍで進んだのは（２０分の９）時間と分かります。
つまり時速８ｋｍで進んだ時間は６０分×（２０分の９）＝２７分です。

答え　２７分

（３）
ＣさんがＡさんを追い抜いたのはスタートしてから（１０分の９）時間後ですから、その時Ｂさんがどこにいたかを求めましょう。
その時、既にＢさんは時速４ｋｍで歩いていました。
Ｂさんがゴールするまでの時間は、１時間－（１０分の９）時間＝（１０分の１）時間です。
すると時速４ｋｍ×（１０分の１）時間＝（５分の２）ｋｍですから、ゴールの手前（５分の２）ｋｍのところを歩いていたと分かります。
ですから、１ｋｍ－（５分の２）ｋｍ＝（５分の３）ｋｍで、Ｃさんの前方、（５分の３）ｋｍを歩いていたということになります。

ここからは旅人算で解きます。
距離÷（二人の速さの差）で追いつくまでの時間を求めます。

（５分の３）ｋｍ÷（時速１２ｋｍ－時速４ｋｍ）＝（４０分の３）時間
この間にＣさんが進んだ距離を求めます。
時速１２ｋｍ×（４０分の３）時間＝（１０分の９）ｋｍ

ゴールまでの距離は１ｋｍ－（１０分の９）ｋｍ＝（１０分の１）ｋｍですね。

答え　１００ｍ

式で説明すると実はとても分かりにくいですね。
私が指導する際はまずダイヤグラムを書いて概要をつかませます。
５年から指導しているお子さんには、速さを学ぶ最初の段階からダイヤグラムを説明し、書かせていきますから、６年の時点ではダイヤグラムを書きながら問題を解くのが普通になっています。
そして、必要に応じ、面積図などを併用して解いていきます。

浦和明の星女子中学校・2017年入試問題・算数4番

Aさん、Bさん、Cさんの3人が１０ｋｍのマラソンをしました。
Aさんは、スタートしてからゴールするまで、時速１０ｋｍで走りました。
Bさんは、スタートしてから時速１２ｋｍで走っていましたが、途中から時速４ｋｍで歩いたので、Aさんと同時にゴールしました。
Cさんは、スタートしてから時速８ｋｍで走っていましたが、途中で速度を時速１２ｋｍに上げたので、ゴールまでの距離が１ｋｍの地点でAさんを追い抜き、その後Bさんも追い抜いて一番早くゴールしました。

（１）Bさんが時速１２ｋｍで走った時間は何分間ですか。
（２）Cさんが時速８ｋｍで走った時間は何分間ですか。
（３）CさんがBさんを追い抜いたのは、ゴールまでの距離が何ｍの地点ですか。

洗足学園中学校平成２５年度入試（第１回）・算数大問３（１）・解き方

１から８までの和は（１+８）×８÷２＝３６
４隅の数は縦の和で１回、横の和で１回、合計２回ずつ使われています。
ですから、縦または横の１列の和をAとすると、
A×４＝３６＋１＋３＋２＋エと言えます。
これを整理すると次の式ができます。
A×４＝４２＋エ
エに当てはまるのは、まだ使われていない数の４～８のどれかです。
４２に足して和が４の倍数になるのは６しかないのでエ＝６と決まります。
するとAは次のように決まります。
（４２+６）÷４＝１２
よって
イ＝１２-１-６＝５

答え　５