洗足学園中学校平成２５年度入試（第１回）・算数大問３（１）・問題

下の（図１）のように、１～８の整数を１つずつ枠の中に入れ、縦、横に書かれた整数の和がすべて等しくなるようにします。ただし、どの数も１回しか使えません。

（図１）
１－８－４
７　　　３
５－２－６

下の（図２）のア～オに残りの整数を入れ、縦、横に書かれた整数の和がすべて等しくなるようにします。
このとき、イにあてはまる整数を答えなさい。

（図２）
１－ア－３
イ　　　ウ
エ－オ－２

２００９年武蔵中学校入学試験問題。算数４番。解き方。

（１）
どんな組み合わせがあるのか、見やすく書き出してみましょう。
５個の合計が重くなる順番に書き出していきます。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
３個　　　１個　　　１個
２個　　　２個　　　１個
２個　　　１個　　　２個
１個　　　３個　　　１個
１個　　　２個　　　２個
１個　　　１個　　　３個

あれあれ、「５通りの重さががあることがわかりました」と問題文に書いてありますが、組み合わせは６通りありますね。
この中のどれか２つの組み合わせは同じ重さだということです。

比べにくいので、最初に１個ずつをそれぞれの袋にいれてしまったと考えて、残り２個の入れ方だけを比べてみましょう。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
２個　　　０個　　　０個
１個　　　１個　　　０個
１個　　　０個　　　１個
０個　　　２個　　　０個
０個　　　１個　　　１個
０個　　　０個　　　２個

こうして比べてみると、３番目と４番目では、どちらが重くなるのか分からないですね。
つまり、この２種類の組み合わせは同じ重さの可能性があるということです。
すると、この２種類が同じ重さだと考えないと、重さが５通りということにならないと分かります。
つまり同じ重さになるのは（２、１、２）と（１、３、１）です。

答え（２，１，２）と（１，３，１）


（２）
重い順に、それぞれの組み合わせに記号を付けましょう。

Ａ（大）　Ｂ（中）　Ｃ（小）
３個　　　１個　　　１個・・・・・（１番目）
２個　　　２個　　　１個・・・・・（２番目）
２個　　　１個　　　２個・・・・・（３番目）
１個　　　３個　　　１個・・・・・（３番目）
１個　　　２個　　　２個・・・・・（４番目）
１個　　　１個　　　３個・・・・・（５番目）

２番目の合計は７９ｇ
４番目の合計は７１ｇ

ここで３番目の重さが２種類あることにも注目しましょう。
２個　　　１個　　　２個・・・・・（３番目）
１個　　　３個　　　１個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
つまり
１個　　　０個　　　１個・・・・・（３番目）
０個　　　２個　　　０個・・・・・（３番目）
この２種類が同じ重さです。
このことから次のことが分かります。
Ａ１個とＣ１個の合計と、Ｂ２個が同じ重さ。
↓
ＡとＣの平均はＢと等しい。
↓
ＡとＢとの差、ＢとＣとの差は等しい。

そこで、ＡとＢとの差＝ＢとＣとの差＝【１】とすると、それぞれの玉の重さは次のように、一番軽いＣを基準にして表すことができます。

Ｃ１個の重さ＝Ｃ
Ｂ１個の重さ＝Ｃ＋【１】
Ａ１個の重さ＝Ｂ＋【１】＝Ｃ＋【２】


これを使って７９ｇとなる組み合わせから式を作ってみましょう。

　Ａ２個＋Ｂ２個＋Ｃ１個
＝（Ｃ＋【２】）×２＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×２＋【２】×２＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×１
＝Ｃ×５＋【４】＋【２】
＝Ｃ×５＋【６】・・・・・これが７９ｇと等しい。

次に７１ｇとなる組み合わせからも式を作ります。

　Ａ１個＋Ｂ２個＋Ｃ２個
＝（Ｃ＋【２】）×１＋（Ｃ＋【１】）×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×１＋【２】×１＋Ｃ×２＋【１】×２＋Ｃ×２
＝Ｃ×５＋【２】＋【２】
＝Ｃ×５＋【４】・・・・・これが７１ｇと等しい。

２つの式を比べてみます。
Ｃ×５＋【６】＝７９ｇ
Ｃ×５＋【４】＝７１ｇ

ここから、
【６】－【４】＝７９ｇ－７１ｇ
【２】＝８ｇ
【１】＝４ｇ

さらに【４】＝１６ｇですから、
Ｃ×５＝７１ｇ－１６ｇ
Ｃ×５＝５５ｇ
Ｃ＝１１ｇ

Ｂ＝１１＋４＝１５ｇ
Ａ＝１５＋４＝１９ｇ

答え　Ａ１９ｇ　Ｂ１５ｇ　Ｃ１１ｇ


別解
Ａ１個＋Ｃ１個＝Ｂ２個を使って消去算として考える方法。

７９ｇ＝Ａ×２＋Ｂ×２＋Ｃ×１・・・・・（式あ）
７１ｇ＝Ａ×１＋Ｂ×２＋Ｃ×２・・・・・（式い）

（式あ）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７９ｇ＝Ａ×２＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×１
７９ｇ＝Ａ×３＋Ｃ×２・・・・・（式う）

（式い）にＢ×２＝Ａ＋Ｃを代入して
７１ｇ＝Ａ×１＋Ａ×１＋Ｃ×１＋Ｃ×２
７１ｇ＝Ａ×２＋Ｃ×３・・・・・（式え）

（式う）×２より
１５８ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×４・・・・・（式お）
（式え）×３より
２１３ｇ＝Ａ×６＋Ｃ×９・・・・・（式か）

（式か）－（式お）より
５５ｇ＝Ｃ×５
これより、Ｃ＝１１ｇ

（式う）にＣ＝１１を代入して、Ａ＝（７９－２２）÷３＝１９
Ａ＋Ｃ＝Ｂ×２なので、Ｂ＝（１１＋１９）÷２＝１５

答え　Ａ１９ｇ　Ｂ１５ｇ　Ｃ１１ｇ

２００９年武蔵中学校入学試験問題。算数４番。問題

Ａ、Ｂ、Ｃ３種類の玉があります。
同じ種類の玉は同じ重さで、３種類のあいだでは、思い方からＡ、Ｂ、Ｃの順になっています。
どの種類の玉も１個以上ふくむように、合計５個の玉を袋に入れてその重さを計りました。
ただし、袋の重さは考えません。

考えられるすべての場合を調べたところ、５通りの重さがあることがわかりました。
Ａを３個、Ｂを１個、Ｃを１個袋に入れるとき、この組み合わせを（３，１，１）という記号で表すことにします。

次の問いに答えなさい。

（１）
３種類の玉の組み合わせ方が異なるのに、同じ重さになるものがあります。
それはどの組み合わせとどの組み合わせですか。
記号（　，　，　）を使って答えなさい。

（２）
５通りの重さのうち、２番目に重いのは７９ｇ、４番目に重いのは７１ｇでした。
Ａ、Ｂ、Ｃの玉１個の重さをそれぞれ求めなさい。

１９９８年筑波大学附属中学校入学試験問題。算数５番。解き方

４３２１から３６９の倍数を引くと、□の数が求められます。
□の数は、１，２，３，４の数からできている４桁の数ということですから、１の位の数も１か２か３か４です。
一方、３６９の１の位は９ですが、９の倍数の１の位には全ての数が出てきますから、３６９の何倍の数を引けば、□の数の１の位が１か２か３か４になるかと考えます。
つまり、３６９の倍数の１の位がいくつならば□の数の１の位が１～４のどれかになるかと考えていくのです。

（４３２１－９）の１の位の数＝２（OKです）
次に進みます。
４３２１－３６９＝３９５２（NGです）
一応４桁全てを書きましたが、解く時は、１０の位に５が出た時点でNGと分かりますね。

（４３２１－８）の１の位の数＝３（OKです）
次に進みます。
３６９×２＝７３８
４３２１－７３８＝３５８３（NGです）
これも１０の位が８ですから、その時点でNGと分かりますね。

（４３２１－７）の１の位の数＝４（OKです）
次に進みます。
３６９×３＝１１０７
４３２１－１１０７＝３２１４（OKです）

答え　３２１４

１９９８年筑波大学附属中学校入学試験問題。算数５番。問題

１，２，３，４の４つの数字でできている４けたの数が２つあります。
１つは４３２１で、もう１つは□です。４３２１－□は３６９の倍数になります。
□にあてはまる数を求めなさい。

四谷大塚６年夏期講習・講習会判定テスト第２回・２番（６）・解き方

この形から、台形を思い浮かべるのは自然だと思います。
台形の面積として求めるのが普通でしょうか。

求める図形をＮ番目としてみましょう。
すると、一番上の段の個数はＮ個となるので、
合計の個数は次の式で表せます。

〔Ｎ＋｛Ｎ＋（Ｎー１）｝〕×Ｎ÷２
（上底＋下底）×高さ÷２の式と比べて理解してください。
｛Ｎ＋（Ｎ－１）｝の部分が下底にあたります。

この式を整理していきましょう。
（Ｎ＋２×Ｎ－１）×Ｎ÷２
これが１１７個なので次の式ができます。

（Ｎ＋２×Ｎ－１）×Ｎ＝１１７×２

さらに整理してみましょう。

（３×Ｎ－１）×Ｎ＝２３４

ここで２３４を素数の積で表してみます。
２３４＝２×３×３×１３

（３×Ｎ－１）×Ｎ＝２×３×３×１３
この式から
２６×９を見つけ、Ｎ＝９と求められます。

四谷大塚が配布した解説の式はこの解き方をコンパクトにしたものでしょう。
でも、とても分かりづらいですね。

そこで、別の解き方がないか、考えてみましょう。
例えば４番目の形は次のように見ることができます。

○○○○
○○○○●
○○○○●●
○○○○●●●

つまり左側の白石の部分は４×４（４の平方数）
右側の黒石の部分は１＋２＋３（１から３までの合計、つまり３までの三角数）
と考えられます。

だから、求める図形は
Ｎの平方数と
（Ｎ－１）までの三角数の合計となります。

三角数というのをもっと詳しく知りたい人は、日能研ブックスの「算数ベストチェック」の５２ページを読んでください。

１１７に近い平方数をみつけていきましょう。
１００＝１０×１０
三角数は（１＋９）×９÷２＝４５
１００＋４５＝１４５
だから、これは当てはまりません。

次は
８１＝９×９
三角数は（１＋８）×８÷２＝３６
８１＋３６＝１１７
あ～、ピッタリですね（＾ｏ＾）

これなら簡単に、しかも短時間で求められると思います。

なお、４５の一つ前の三角数を求める時は、４５－９と計算するともっと速いですね。
意味は分かりますね。
１から９までの合計から９を引けば１から８までの合計になります。

答え　９番目

四谷大塚６年夏期講習・講習会判定テスト第２回・２番（６）

あるきまりにしたがって、碁石を次のように並べました。
碁石が１１７個並んでいるのは何番目ですか。

１番目
●

２番目
●●
●●●

３番目
●●●
●●●●
●●●●●

４番目
●●●●
●●●●●
●●●●●●
●●●●●●●

２０１５年土佐塾中学校入学試験問題（県外Ⅱ）。算数２番。解き方。

（１）
Ａ、Ｂ、Ｃについて、連比で合わせましょう。
Ａを６と９の最小公倍数の１８にします。
Ｂは１０，Ｃは３になります。
Ａ：Ｂ：Ｃ＝１８：１０：３です。
実際の年令はＢが４０才ですから、Ｃは３×（４０÷１０）＝１２で、
１２才となります。

答え　１２才

（１）別解
Ａ：４０＝９：５
からＡの年令を求めても良いですね。
Ａ＝４０÷５×９＝７２才

次にＡとＣから比例式を作ります。
７２：Ｃ＝６：１
Ｃ＝７２÷６×１＝１２


（２）
Ａも同じように現在の年令を求めておきます。
１８×４＝７２で、７２才です。
４：１になるのは【１】年後としましょう。
（７２＋【１】）：（１２＋【１】）＝４：１
二人とも同じだけ年を取るので、差は変わりません。
７２－１２＝６０
この６０が、４：１の差の３に等しくなればよいので、６０÷３＝２０
すなわち、Ｃが２０才になったときが４：１になるときです。
【１】＝２０－１２＝８

答え　８年後

（２）別解
（７２＋【１】）：（１２＋【１】）＝４：１
の式に、内項の積＝外項の積を使う方法もあります。
（１２＋【１】）×４＝（７２＋【１】）×１
式を整理します。
４８＋【４】＝７２＋【１】
【３】＝２４
【１】＝８


（３）
現在のＡとＢとの年令の和は７２才＋４０才＝１１２才
これも（２）と同じように解いていきます。
AとBの年令の和が、Cの年令の６倍になるのは、今から【１】年後とします。
ここで（２）と違うのは、ＡとＢの和は、【１】年後には【２】増えるということです。
分かりますね、二人だからです。
一方、Ｃが増えるのは【１】です。
式を作りましょう。
（１１２＋【２】）：（１２＋【１】）＝６：１
ここでは、内項の積＝外項の積を使ってみましょう。
（１２＋【１】）×６＝（１１２＋【２】）×１
式を整理します。
７２＋【６】＝１１２＋【２】
【４】＝４０
【１】＝１０

答え　１０年後

２０１５年土佐塾中学校入学試験問題（県外Ⅱ）。算数２番。問題

A、B、Cの３人がいます。
今、Bの年令は４０才で、AとBの年令の比は９：５、AとCの年令の比は６：１です。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）今、Cは何才ですか。

（２）AとCの年令の比が４：１になるのは、今から何年後ですか。

（３）AとBの年令の和が、Cの年令の６倍になるのは、今から何年後ですか。

2014年中学入試算数・東京農業大学第一高等学校中等部・第２回試験・１番（３）・解き方

「ある小数」を１０倍して小数第１位を四捨五入すると４９になるのですから、四捨五入して４９になる小数の範囲を求めましょう。

４８．５以上４９．５未満です。

それぞれ１０で割ってもとの小数の範囲を求めます。

４８．５÷１０＝４．８５以上
４９．５÷１０＝４．９５未満

また、９倍して小数第１位を四捨五入すると４５になるのですから、こちらも四捨五入して４５となる小数の範囲を求めましょう。

４４．５以上４５．５未満です。

それぞれ９で割ってもとの小数の範囲を求めます。

４４．５÷９＝４．９４４４・・・・以上
４５．５÷９＝５．０５５５・・・・未満

ここまでで、求める「ある小数」の範囲が全てそろいました。

小さい順に書き並べてみましょう。

４．８５以上
４．９４４４・・・・以上
４．９５未満
５．０５５５・・・・未満

この全てを満たすのが求める小数ですから、「ある小数」の小数第２位の数字は４です。

答え　４

2014年中学入試算数・東京農業大学第一高等学校中等部・第２回試験・１番（３）

「ある小数」を１０倍して小数第１位を四捨五入すると４９になり、９倍して小数第１位を四捨五入すると４５になります。
「ある小数」の小数第２位の数字を求めなさい。

予習シリーズ６上９回基本問題１（１）の類似問題・解き方

和が１２になる３つの数字の組み合わせを書き出すと、次のようになります。
このとき、思いつきで書き並べたら抜けが出やすいのは言うまでもありません。
ですから、大きい数順に並べるというルールで書き出していきましょう。

（９，３，０）
（９，２，１）
（８，４，０）
（８，３，１）
（８，２，２）
（７，５，０）
（７，４，１）
（７，３，２）
（６，６，０）
（６，５，１）
（６，４，２）
（６，３，３）
（５，５，２）
（５，４，３）
（４，４，４）

数字の組み合わせは以上です。

次にこれらの組からそれぞれ何通りの３桁の数ができるかを考えていきます。

（９，３，０）からは９３０，９０３，３９０，３０９の４つの数ができます。これは積の公式を使って、２×２×１＝４と求めることもできます。
百の位に０は使えないので２通り。十の位は残り２つの数のどちらでも良いので２通り。一の位は残りの数字一つですから１通りという意味です。これらの自由な組み合わせで３桁の数ができるので、それぞれの数字を掛け合わせるのです。これが積の公式の意味です。
ということで、４通り。

（９，２，１）にも積の公式を使いましょう。３×２×１＝６です。
９も２も１もどの位でも使えるので、この式となります。
ということで６通り。

（８，４，０）は数字の構成は（９，３，０）と同じですから、４通り。

（８，３，１）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（８，２，２）は、８がどの位に来るかで考えれば良いです。ですから３通りです。
念のために書いておくと、８３３，３８３，３３８の３通りということです。

（７，５，０）は数字の構成は（９，３，０）と同じですから、４通り。

（７，４，１）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（７，３，２）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（６，６，０）は０があり、同じ数字があるというやっかいな組みなので、書き出しで求めます。６６０と６０６の２つですから、２通り。

（６，５，１）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（６，４，２）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（６，３，３）は数字の構成は（８，２，２）と同じですから、３通り。

（５，５，２）は数字の構成は（８，２，２）と同じですから、３通り。

（５，４，３）は数字の構成は（９，２，１）と同じですから、６通り。

（４，４，４）は４４４以外の数はできないのは説明するまでもないでしょうから、１通り。

以上を足し合わせます。

６通り×７＋４通り×３＋３通り×３＋２通り＋１通り＝６６通り

答　６６通り

予習シリーズ６上９回基本問題１（１）の類似問題

３けたの整数の各位の数字を足し算した値をＡとするとき、Ａが１２になるような３けたの整数は何個ありますか。

２０１４年中学受験算数問題・鴎友学園女子中学校・第１回試験・３番〔解き方）

（１）
３÷３０＝０余り３
（３×３）÷３０＝９÷３０＝０余り９
（３×３×３）÷３０＝（９×３）÷３０＝２７÷３０＝０余り２７
（３×３×３×３）÷３０＝（２７×３）÷３０＝８１÷３０＝２余り２１
（３×３×３×３×３）÷３０＝（８１×３）÷３０＝２４３÷３０＝８余り３

これで答は３と分かります。

答　３

（２）
（１）の式を上から順に見ていくと、上の式の割られる数を順に３倍していっているということがつかめます。
ということは、答や余りも３倍すればよいということです。
（１）の４行目の式の答は「２余り２１」です。
これを３倍すると、「６余り６３」です。
ところが、３０で割った余りを求めるのですから、６３の中にも３０が２個入っているので、「６余り６３」は「８余り３」と整理できます。
すると、次の計算の答はどうなるでしょう。
「８余り３」を３倍すると、「２４余り９」です。
これは余りが３０以下なのでこのままで大丈夫ですね。

以下、各式の余り自体を順に３倍して、３０で割った余りについて考えていけば良いので書き出してみましょう。

「２４余り９」　３倍して「７２余り２７」
次からは余りだけ考えていきます。
２７×３＝８１　８１÷３０＝２余り２１

ここまで分かったら、改めて余りについてだけ書き出してみましょう。

書き出す手順は次の順番です。
３の個数→仮の余り→「仮の余り÷３０」の結果→本当の余り

１個→３→０余り３→３
２個→３×３＝９→０余り９→９
３個→９×３＝２７→０余り２７→２７
４個→２７×３＝８１→２余り２１→２１
５個→２１×３＝６３→２余り３→３
６個→３×３＝９→０余り９→９

さあ、これで規則性がみつかりました。
４個で１周期ですね。
５０÷４＝１２余り２
余り２ですから、上の表より９と分かります。

答　９

ただし、実際の試験会場ではここまで考えている余裕がないかもしれません。
どんどん計算していっても規則性は見つけられたと思います。
計算がしっかり出来るなら、それで充分かもしれませんね。

２０１４年中学受験算数問題・鴎友学園女子中学校・第１回試験・３番

次の問いに答えなさい。

（１）３を５回かけた数、つまり、３×３×３×３×３を３０で割ったときの余りを求めなさい。

（２）３を２０１４回かけた数を３０で割ったときの余りを求めなさい。