a≠0とする。
方程式 ax^2+bx+c=0 を2次方程式という。
【step 1】x^2=p→x=±√p
ただし、
p＜0のときは、実数の範囲にはなく、
虚数単位i を利用する。
s＞0で、p=-s＜0のとき
√p=√(-s)=(√s)i→例、√(-5)=(√5)i
x^2=9→x=±√9=±3
x^2=7→x=±√7
x^2=0→x=±√0→x=0
x^2=-3→x=±√(-3)=±(√3)i
(※)b=0のとき、ax^2+c=0
ax^2=-c→x^2=-(c/a)
【step 2】AB=0⇔A=0 または B=0
(x-α)(x-β)=0
⇔x-α=0 または x-β=0
⇔x=α または x=β
⇔x=α,β
(px+q)(sx+t)=0
⇔px+q=0 または sx+t=0
⇔x=-q/p または x=-t/s
⇔x=-q/p, -t/s
(※)ax^2+bx+cが因数分解できれば、2つの1次方程式解くことでOK
(※)c=0のとき、ax^2+bx=0
x(ax+b)=0
⇔x=0 または ax+b=0
⇔x=0, -b/a
x^2+x-6=0⇔(x+3)(x-2)=0⇔x=-3, 2
6x^2-5x-6=0⇔(2x-3)(3x+2)=0⇔x=3/2, -2/3
4x^2+6x=0⇔2x(2x+3)=0⇔x=0,-3/2
【step 3】平方完成を利用
(※)x^2+2px+p^2=(x+p)^2
(※)a=1, bが偶数(b=2p)
x^2+2px+c=0
x^2+2px+p^2-p^2+c=0
(x+p)^2=p^2-c→【step 1】の形
x+p=±√(p^2-c)
x=-p±√(p^2-c)
x^2-12x+32=0
x^2-12x+36=36-32
(x-6)^2=4
x-6=±2
x=6±2
x=8, 4
x^2-18x-7=0
x^2-18x+9^2=81+7
(x-9)^2=88
x-9=±√88=±2√22
x=9±2√22
x^2-4x+148=0
x^2-4x+4=4-148
(x-2)^2=-144
x-2=±√(-144)=±(√144)i=±12i
x=2±12i
【step 4】解の公式
ax^2+bx+c=0
[×4a]→4a^2x^2+4abx+4ac=0
(2ax)^2+2b(2ax)=-4ac
(2ax)^2+2b(2ax)+b^2=b^2-4ac
(2ax+b)^2=b^2-4ac
2ax+b=±√(b^2-4ac)
2ax=-b±√(b^2-4ac)
x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
ここで、
D=b^2-4acとすると、
x=(-b±√D)/(2a)
実際の計算では、Dを求めてから計算する方が楽なことが多い。
2x^2+5x+1=0
D=5^2-4×2×1=25-8=17
x=(-5±√17)/4
3x^2-4x-5=0
D=(-4)^2-4×3×(-5)=16+60=76
x=(4±√76)/6=(4±2√19)/6=(2±√19)/3
6x^2-3x+2=0
D=(-3)^2-4×6×2=9-48=-39
x={3±√(-39)}/12={3±(√39)i}/12
2x^2+x-6=0
D=1^2-4×2×(-6)=1+48=49=7^2
x=(-1±7)/4→x=3/2, -2
(※)2x^2+x-6=(2x-3)(x+2)
(2025/3/12)
