3辺から余弦定理を使って角を求める問題で、各辺が自然数の方がかっこいい。
そこで次の問題を考えた。
△ABCにおいて、
各辺a,b,cの長さが自然数で、A=60°である。そのときの3辺を求めよ。
例えば、(a,b,c)=(7,3,8)→A=60°
余弦定理より、
a^2=b^2+c^2-2bc×cos60°
b^2-bc+c^2-a^2=0
b=(c±√D)/2
D=c^2-4(c^2-a^2)=4a^2-3c^2=(kc)^2
(2a)^2=(k^2+3)c^2
k=1→a=c→b=c→a=b=c
k^2+3=m^2
(m-k)(m+k)=3
m+k=p,m-k=3/p
pは√3より大きい有理数
m=(p+3/p)/2=(p^2+3)/(2p)
k=(p-3/p)/2=(p^2-3)/(2p)
(2a)^2=(mc)^2→a=mc/2
→a=(p^2+3)/(4p)×c
D=(kc)^2
b=(c±kc)/2=(1±k)/2×c
→b=(1+k)/2×c→(p^2+2p-3)/(4p)×c
→b=(1-k)/2×c→(-p^2+2p+3)/(4p)×c
したがって、pを有理数とする。
p＞√3
a:b:c=(p^2+3):(p^2+2p-3):(4p)
√3＜p＜3
a:b:c=(p^2+3):(-p^2+2p+3):(4p)
p=2
→a:b:c=7:5:8
→a:b:c=7:3:8
p=3→a:b:c=12:12:12=1:1:1→正三角形
p=4→19:21:16
p=7/3
→a:b:c=76/9:64/9:28/3=19:16:21
→a:b:c=76/9:20/9:28/3=19:5:21
p=5/2
→a:b:c=37/4:33/4:10=37:33:40
→a:b:c=37/4:7/4:10=37:4:40
(2020/12/4)
a=19, b=5, b=21のとき、Aを求めよ。
余弦定理より、
cosA=(5^2+21^2-19^2)/(2×5×21)=1/2
よって、A=60°
