f(n)がqr^(n-1)の形のときを考える。
a[1]=1, a[n+1]=2a[n]+3^n
【解】
2g(n)-g(n+1)=3^n
g(n)=k×3^(n-1)とする。
g(n+1)=k×3^n
2g(n)-g(n+1)=(2k-3k)×3^(n-1)=-k×3^(n-1)
比較して、-k=3→k=-3
g(n)=-3×3^(n-1)=-3^n
a[n+1]=2a[n]+2g(n)-g(n+1)
a[n+1]+g(n+1)=2{a[n]+g(n)}
b[n]=a[n]+g(n)とする。
b[n+1]=2b[n]
b[1]=a[1]+g(1)=1-3=-2
b[n]=-2×2^(n-1)=-2^n
よって、
a[n]=b[n]-g(n)=-2^n+3^n=3^n-2^n
【1】p≠rとする。
a[n+1]=pa[n]+qr^(n-1)
g(n)=kr^(n-1)
g(n+1)=kr^n
pg(n)-g(n+1)=(pk-rk)r^(n-1)
(p-r)k=q→k=q/(p-r)
g(n)=q/(p-r)×r^(n-1)
b[n]=a[n]+g(n)
b[n+1]=pb[n]
b[1]=a[1]+g(1)=a[1]+q/(p-r)
b[n]=b[1]p^(n-1)
よって、
a[n]=b[1]p^(n-1)-g(n)
={a[1]+q/(p-r)}p^(n-1)-q/(p-r)r^(n-1)
m=q/(p-r)とする。
a[n]=(a[1]+m)p^(n-1)-mr^(n-1)
a[n]=Ap^(n-1)+Br^(n-1)の形をしている。
a[1]=1
a[2]=2+3=5
a[n]=A×2^(n-1)+B×3^(n-1)とする。
a[1]=A+B=1
a[2]=2A+3B=5
A=-2, B=3
a[n]=-2×2^(n-1)+3×3^(n-1)=3^n-2^n
【2】p=rのとき、
a[n+1]=pa[n]+qp^(n-1)
a[2]=pa[1]+q
pa[2]=p^2×a[1]+qp
a[3]=pa[2]+qp=a[1]p^2+2qp
次のように予測できる
a[n]=a[1]p^(n-1)+(n-1)qp^(n-2)
(たしかめ)
a[n+1]=a[1]p^n+nqp^(n-1)
pa[n]+qp^(n-1)
=a[1]p^n+(n-1)qp^(n-1)+qp^(n-1)
=a[1]p^n+nqp^(n-1)
=a[n+1]
a[n+1]=ka[n]+f(n) の一般項を求める。
ただし、k≠1
kg(n)-g(n+1)=f(n)
を満たす式g(n)を考える。
a[n+1]=ka[n]+kg(n)-g(n+1)
a[n+1]+g(n+1)=k{a[n]+g(n)}
b[n]=a[n]+g(n)とする。
b[n+1]=kb[n]→等比数列となる。
b[n]=b[1]k^(n-1)
よって、
a[n]=b[1]k^(n-1)-g(n)
f(n):多項式→g(n):多項式
f(n)=qr^(n-1)→g(n)=kr^(n-1) (p≠r)
【例】
a[1]=1,a[n+1]=2a[n]+6n-5+3^n
g(n)=an+b+k×3^(n-1)
g(n+1)=an+(a+b)+k3^n
2g(n)-g(n+1)
=an+(b-a)+(2k-3k)3^(n-1)
比較して
a=6, b=1, k=-3
g(n)=6n+1-3^n
a[n+1]=2a[n]+2g(n)-g(n+1)
a[n+1]+g(n+1)=2{a[n]+g(n)}
b[n]=a[n]+g(n)とする。
b[n+1]=2b[n]
b[1]=1+6+1-3=5より、
b[n]=5×2^(n-1)
a[n]=5×2^(n-1)-6n-1+3^n
(2024/1/13)
