（01）
（ⅰ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない、でない。であるならば、Ｂである。従って、
Ａである。 であるならば、Ｂである。従って、
Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない。 ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。でない。であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでない。 であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。 ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
従って、
（01）により、
（02）
「Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。」
のであれば、
（ⅰ）Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）Ａでない。ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）Ｂである。ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
といふ、ことになる。
然るに、
（03）
「ＡならばＢであ（り、ＢならばＡであ）る。」
といふことは、
（ⅰ）Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）Ａでないならば、Ｂでない。
（ⅲ）Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）Ｂであるならば、Ａでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。」
といふことは、
「Ａならば、Ｂである。」
といふことに、他ならない。
然るに、
（05）
① ＡならばＢである。
② Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
といふ「日本語」は、
① Ａ→Ｂ
② ～Ａ∨Ｂ
といふ「論理式」に、相当する。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② であるものの、このことを、「含意の定義」と言ふ。
然るに、
（07）
（ａ）
１ （１）Ａ→ Ｂ Ａ
２（２）Ａ＆～Ｂ Ａ
２（３）Ａ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２（５） Ｂ １３ＭＰＰ
１２（６）～Ｂ＆Ｂ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｂ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｂ ７ＤＮ
１ （９）～Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ａ Ａ
エ（エ） ～Ｂ Ａ
ウエ（オ） Ａ＆～Ｂ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
Ａ＆～Ｂ イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｂ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｂ キＤＮ
１ （ケ） Ａ→ Ｂ ウクＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①ならば、②であり、
②ならば、①である。
従って、
（08）により、
（09）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
（ａ）
１ （１）Ａ→ Ｂ Ａ
２（２）Ａ＆～Ｂ Ａ
２（３）Ａ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２（５） Ｂ １３ＭＰＰ
１２（６）～Ｂ＆Ｂ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｂ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｂ ７ＤＮ
１ （９）～Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
といふ「それ」を、「日本語」に訳すと、
１ （１）ＡならばＢである。 と仮定する。
２（２）ＡであってＢでない。 と仮定する。
２（３）Ａである。 ２で＆Ｅを行った。
２（４）Ｂでない。 ２で＆Ｅを行った。
１２（５）Ｂである。 １と３でＭＰＰを行った。
１２（６）ＢでないがＢである。 ４と５で＆Ｉを行った。
１ （７）Ｂでないでない。 ４と６でＲＡＡを行った。
１ （８）Ｂである。 ７でＤＮを行った。
１ （９）Ａでないか、Ｂである。 ８で∨Ｉを行った。
といふ風に、訳すことになる。
（11）
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ａ Ａ
エ（エ） ～Ｂ Ａ
ウエ（オ） Ａ＆～Ｂ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
Ａ＆～Ｂ イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｂ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｂ キＤＮ
１ （ケ） Ａ→ Ｂ ウクＣＡ
といふ「それ」を、「日本語」に直しても、（10）のやうな、「調子」なるし、因みに言ふと、
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
の「部分」は、
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
１ （２）～（Ａ＆～Ｂ） １ド・モルガンの法則
といふ風に、「まとめる」ことも、出来る。
然るに、
（12）
「ド・モルガンの法則」を、「日常的に、意識すること」は、「普通はない」。
従って、
（01）（09）～（12）により、
（13）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② であるものの、
（ⅰ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない、でない。であるならば、Ｂである。従って、
Ａである。 であるならば、Ｂである。従って、
Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない。 ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。でない。であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでない。 であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。 ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
といふ「証明」と、
（ａ）
１ （１）Ａ→ Ｂ Ａ
２（２）Ａ＆～Ｂ Ａ
２（３）Ａ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２（５） Ｂ １３ＭＰＰ
１２（６）～Ｂ＆Ｂ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｂ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｂ ７ＤＮ
１ （９）～Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ａ Ａ
エ（エ） ～Ｂ Ａ
ウエ（オ） Ａ＆～Ｂ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
Ａ＆～Ｂ イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｂ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｂ キＤＮ
１ （ケ） Ａ→ Ｂ ウクＣＡ
といふ「証明」とは、「全く、似てゐない」。
然るに、
（14）
（ⅰ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない、でない。であるならば、Ｂである。従って、
Ａである。 であるならば、Ｂである。従って、
Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない。 ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。でない。であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでない。 であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。 ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
といふ「日本語」は、例へば、「英語や、フランス語や、ウェールズ語や、ナバホ語や、ピダハン語や、ヒシカリアナ語や、アラビア語」にも、「翻訳」できなければ、ならない。
従って、
（14）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② であることは、「英語や、フランス語や、ウェールズ語や、ナバホ語や、ピダハン語や、ヒシカリアナ語や、アラビア語」に於いても、さうでなければ、ならない。
従って、
（06）（14）により、
（15）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② である。といふ「含意の定義」は、「全世界的に、正しい」と、すべきである。
然るに、
（16）
１（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） Ａ
１（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
１（２） ～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） １含意の定義
１（３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ２含意の定義
１（４） ～Ｐ∨（Ｐ∨～Ｑ） ３交換法則
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ４結合法則
１（〃）（Ｐでないか、Ｐである。）か、Ｑでないか、少なくとも、その一方は正しい。
従って、
（17）
「Ｐならば（ＱならばＰである）。」といふ、幾分、不思議な感じがする「ルカジェヴィッツの公理（１）」は、要するに、
「（Ｐでないか、Ｐである。）か、Ｑでないか、少なくとも、その一方は正しい。」といふことは、「常に正しい」。
といふことに、他ならない。
然るに、
（18）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
（イ） ～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
（ウ） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ イ交換法則
（エ） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ウ結合法則
（カ） Ｐ→（～Ｑ∨Ｐ） エ含意の定義
（キ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） カ含意の定義
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。 カ含意の定義
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。 は「ルカジェヴィッツの公理（１）」である。
然るに、
（19）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような10個の基本的規則だけを持つ。
仮定の規則 "The Rule of Assumption" （A）
モーダスポネンス "Modus Ponendo Ponens" （MPP）
モーダストッレンス"Modus Tollendo Tollens"（MTT）
二重否定の規則 "The Rule of Double Negation" （DN）
条件付き証明の規則 "The Rule of Conditional Proof" （CP）
＆-導入の規則 "The Rule of ＆-introduction" （＆I）
＆-除去の規則 "The Rule of ＆-elimination" （＆E）
∨-導入の規則 "The Rule of ∨-introduction" （∨I）
∨-除去の規則 "The Rule of ∨-elimination" （∨E）
背理法 "Reductio Ad Absurdum" （RAA）
（ウィキペディア改）
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
「Ｐならば（ＱならばＰである）。」といふ、幾分、不思議な感じがする「ルカジェヴィッツの公理（１）」は、Ｅ.Ｊ.レモンによる、「10個の基本的規則」で「証明」出来る。
（21）
１（１） （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ は、「プリンキピア・マテマティカの公理（１）」である。
１（３）～Ｐ＆～Ｐ ∨Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｐ ∨Ｐ ３反復律
１（〃） ～Ｐ ∨Ｐ は、「排中律」である。
１（５） Ｐ→ Ｐ ５含意の定義
１（〃） Ｐ→ Ｐ は、「同一律」である。
従って、
従って、
（18）（21）により、
（22）
「ＰかＰならばＰである。」といふ、「プリンキピア・マテマティカの公理（１）」も、「Ｅ.Ｊ.レモンによる、「10個の基本的規則」で「証明」出来る。
（ⅰ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない、でない。であるならば、Ｂである。従って、
Ａである。 であるならば、Ｂである。従って、
Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない。 ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。でない。であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでない。 であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。 ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
従って、
（01）により、
（02）
「Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。」
のであれば、
（ⅰ）Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）Ａでない。ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）Ｂである。ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
といふ、ことになる。
然るに、
（03）
「ＡならばＢであ（り、ＢならばＡであ）る。」
といふことは、
（ⅰ）Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）Ａでないならば、Ｂでない。
（ⅲ）Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）Ｂであるならば、Ａでない。
といふことに、他ならない。
従って、
（02）（03）により、
（04）
「Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。」
といふことは、
「Ａならば、Ｂである。」
といふことに、他ならない。
然るに、
（05）
① ＡならばＢである。
② Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
といふ「日本語」は、
① Ａ→Ｂ
② ～Ａ∨Ｂ
といふ「論理式」に、相当する。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② であるものの、このことを、「含意の定義」と言ふ。
然るに、
（07）
（ａ）
１ （１）Ａ→ Ｂ Ａ
２（２）Ａ＆～Ｂ Ａ
２（３）Ａ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２（５） Ｂ １３ＭＰＰ
１２（６）～Ｂ＆Ｂ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｂ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｂ ７ＤＮ
１ （９）～Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ａ Ａ
エ（エ） ～Ｂ Ａ
ウエ（オ） Ａ＆～Ｂ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
Ａ＆～Ｂ イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｂ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｂ キＤＮ
１ （ケ） Ａ→ Ｂ ウクＣＰ
従って、
（07）により、
（08）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①ならば、②であり、
②ならば、①である。
従って、
（08）により、
（09）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
（ａ）
１ （１）Ａ→ Ｂ Ａ
２（２）Ａ＆～Ｂ Ａ
２（３）Ａ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２（５） Ｂ １３ＭＰＰ
１２（６）～Ｂ＆Ｂ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｂ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｂ ７ＤＮ
１ （９）～Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
といふ「それ」を、「日本語」に訳すと、
１ （１）ＡならばＢである。 と仮定する。
２（２）ＡであってＢでない。 と仮定する。
２（３）Ａである。 ２で＆Ｅを行った。
２（４）Ｂでない。 ２で＆Ｅを行った。
１２（５）Ｂである。 １と３でＭＰＰを行った。
１２（６）ＢでないがＢである。 ４と５で＆Ｉを行った。
１ （７）Ｂでないでない。 ４と６でＲＡＡを行った。
１ （８）Ｂである。 ７でＤＮを行った。
１ （９）Ａでないか、Ｂである。 ８で∨Ｉを行った。
といふ風に、訳すことになる。
（11）
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ａ Ａ
エ（エ） ～Ｂ Ａ
ウエ（オ） Ａ＆～Ｂ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
Ａ＆～Ｂ イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｂ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｂ キＤＮ
１ （ケ） Ａ→ Ｂ ウクＣＡ
といふ「それ」を、「日本語」に直しても、（10）のやうな、「調子」なるし、因みに言ふと、
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
の「部分」は、
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
１ （２）～（Ａ＆～Ｂ） １ド・モルガンの法則
といふ風に、「まとめる」ことも、出来る。
然るに、
（12）
「ド・モルガンの法則」を、「日常的に、意識すること」は、「普通はない」。
従って、
（01）（09）～（12）により、
（13）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② であるものの、
（ⅰ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない、でない。であるならば、Ｂである。従って、
Ａである。 であるならば、Ｂである。従って、
Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない。 ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。でない。であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでない。 であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。 ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
といふ「証明」と、
（ａ）
１ （１）Ａ→ Ｂ Ａ
２（２）Ａ＆～Ｂ Ａ
２（３）Ａ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２（５） Ｂ １３ＭＰＰ
１２（６）～Ｂ＆Ｂ ４５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｂ ４６ＲＡＡ
１ （８） Ｂ ７ＤＮ
１ （９）～Ａ∨Ｂ ８∨Ｉ
（ｂ）
１ （１） ～Ａ∨ Ｂ Ａ
２ （２） Ａ＆～Ｂ Ａ
３ （３） ～Ａ Ａ
２ （４） Ａ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｂ Ａ
２ （８） ～Ｂ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ａ Ａ
エ（エ） ～Ｂ Ａ
ウエ（オ） Ａ＆～Ｂ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
Ａ＆～Ｂ イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｂ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｂ キＤＮ
１ （ケ） Ａ→ Ｂ ウクＣＡ
といふ「証明」とは、「全く、似てゐない」。
然るに、
（14）
（ⅰ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない、でない。であるならば、Ｂである。従って、
Ａである。 であるならば、Ｂである。従って、
Ａであるならば、Ｂである。
（ⅱ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ａでない。 ならば、Ｂであるのか、Ｂでないのかは、分からない。
（ⅲ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。でない。であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでない。 であるならば、Ａでない。従って、
Ｂでないならば、Ａでない。
（ⅳ）
Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。従って、
Ｂである。 ならば、Ａでないのか、Ａであるのかは、分からない。
といふ「日本語」は、例へば、「英語や、フランス語や、ウェールズ語や、ナバホ語や、ピダハン語や、ヒシカリアナ語や、アラビア語」にも、「翻訳」できなければ、ならない。
従って、
（14）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② であることは、「英語や、フランス語や、ウェールズ語や、ナバホ語や、ピダハン語や、ヒシカリアナ語や、アラビア語」に於いても、さうでなければ、ならない。
従って、
（06）（14）により、
（15）
① Ａ→Ｂ＝ＡならばＢである。
② ～Ａ∨Ｂ＝Ａでないか、Ｂであるか、少なくとも、その一方は正しい。
に於いて、
①＝② である。といふ「含意の定義」は、「全世界的に、正しい」と、すべきである。
然るに、
（16）
１（１） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） Ａ
１（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。
１（２） ～Ｐ∨（Ｑ→Ｐ） １含意の定義
１（３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ２含意の定義
１（４） ～Ｐ∨（Ｐ∨～Ｑ） ３交換法則
１（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ ４結合法則
１（〃）（Ｐでないか、Ｐである。）か、Ｑでないか、少なくとも、その一方は正しい。
従って、
（17）
「Ｐならば（ＱならばＰである）。」といふ、幾分、不思議な感じがする「ルカジェヴィッツの公理（１）」は、要するに、
「（Ｐでないか、Ｐである。）か、Ｑでないか、少なくとも、その一方は正しい。」といふことは、「常に正しい」。
といふことに、他ならない。
然るに、
（18）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
（イ） ～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
（ウ） ～Ｐ∨～Ｑ∨Ｐ イ交換法則
（エ） ～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ） ウ結合法則
（カ） Ｐ→（～Ｑ∨Ｐ） エ含意の定義
（キ） Ｐ→（Ｑ→Ｐ） カ含意の定義
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。 カ含意の定義
（〃）Ｐならば（ＱならばＰである）。 は「ルカジェヴィッツの公理（１）」である。
然るに、
（19）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような10個の基本的規則だけを持つ。
仮定の規則 "The Rule of Assumption" （A）
モーダスポネンス "Modus Ponendo Ponens" （MPP）
モーダストッレンス"Modus Tollendo Tollens"（MTT）
二重否定の規則 "The Rule of Double Negation" （DN）
条件付き証明の規則 "The Rule of Conditional Proof" （CP）
＆-導入の規則 "The Rule of ＆-introduction" （＆I）
＆-除去の規則 "The Rule of ＆-elimination" （＆E）
∨-導入の規則 "The Rule of ∨-introduction" （∨I）
∨-除去の規則 "The Rule of ∨-elimination" （∨E）
背理法 "Reductio Ad Absurdum" （RAA）
（ウィキペディア改）
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
「Ｐならば（ＱならばＰである）。」といふ、幾分、不思議な感じがする「ルカジェヴィッツの公理（１）」は、Ｅ.Ｊ.レモンによる、「10個の基本的規則」で「証明」出来る。
（21）
１（１） （Ｐ∨Ｐ）→Ｐ は、「プリンキピア・マテマティカの公理（１）」である。
１（３）～Ｐ＆～Ｐ ∨Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｐ ∨Ｐ ３反復律
１（〃） ～Ｐ ∨Ｐ は、「排中律」である。
１（５） Ｐ→ Ｐ ５含意の定義
１（〃） Ｐ→ Ｐ は、「同一律」である。
従って、
従って、
（18）（21）により、
（22）
「ＰかＰならばＰである。」といふ、「プリンキピア・マテマティカの公理（１）」も、「Ｅ.Ｊ.レモンによる、「10個の基本的規則」で「証明」出来る。