（01）
もう一度、書くものの、
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサコＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
（３）ある兎は象である。
といふ風に「仮定」すると、
（タ）の行で、「矛盾」が生じるため、
（１）と（２）を、「否定」しないならば、「背理法」により、
（３）ある兎は象である。
といふ「仮定」が「否定」され、その「結果」として、
（３）兎は象ではない。
といふ「結論」を得ることになる。
従って、
（02）により、
（03）
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（04）
１ （１）象以外の鼻は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ（ 兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （〃）兎は象ではない。 Ａ
１ （３） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
５（５） 兎ａ Ａ
２５（６） ～象ａ ４５
１２５（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＭＰＰ
１２５（８） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ７量化子の関係
１２５（９） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ８ＵＥ
１２５（ア） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ド・モルガンの法則
１２５（イ） 鼻ｂａ→～長ｂ ア含意の定義
１２５（ウ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） イＵＩ
１２ （エ） 兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ５ウＣＰ
１２ （オ）∀ｘ｛ 兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ エＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。 エＵＩ
１２ （〃）ｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。 エＵＩ
１２ （〃）兎の鼻は長くない。 エＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（１）象以外の鼻は長くない。
（２）兎は象ではない。
といふ風に、「仮定」すると、当然ではあるが、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「結論」を得ることになる。
然るに、
（06）
｛象、兎、猫、犬、馬｝を、「変域」とするならば、事実として、
｛象｝以外の鼻は長くない。
然るに、
（07）
｛象｝以外の鼻は長くない。
といふことは、
｛象が｝鼻は長い。
といふことである。
従って、
（04）（07）により、
（08）
１ （１）象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃）象以外の鼻は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（10）
（ａ）
１ （１）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ＵＥ
３ （３） ～象ａ Ａ
４（４） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３４（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～～象ａ ３６ＲＡＡ
１ ４（８） 象ａ ７ＤＮ
１ （９） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ａ ４８ＣＰ
１ （ア）∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ９ＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ １ＵＥ
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
４（４） ～象ａ Ａ
１３ （５） 象ａ ２３ＭＰＰ
１３４（６） ～象ａ＆象ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＲＡＡ
１ （８） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４７ＣＰ
１ （９）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ８ＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ａ）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
（ｂ）∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝。
といふ「対偶」に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝。
（〃）すべてのｘについて｛あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いのであれば、ｘは象である｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（13）
（ａ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１（２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ １＆Ｅ
１（３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ １＆Ｅ
１（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ４ＵＥ
１（６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ６ＵＩ
（ｂ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１（２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ １ＵＥ
１（３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
１（４）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ３ＵＩ
１（５） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ４６＆Ｉ
従って、
（13）により、
（14）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（15）
Ｐであるときまたそのときに限ってＱ（Q if and only if P）を主張することは、ＰならばＱと、ＱならばＰを主張することにほかならない。
すなわち記号で書けば、
（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
である。しかしこの複合的表現を用ゐるよりは、
Ｐ⇔Ｑ
と書くのが便利であろう（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、３８頁）。
従って、
（14）（15）により、
（16）
Ｐ⇔Ｑ は、
（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ） の、「代はり」であるため、
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
（ｃ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）＝（ｃ） である。
従って、
（16）により、
（17）
１ （１） 象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ 象ａ ４Ｄｆ.⇔
１ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ 象ａ ４＆Ｅ
５ （５） ～象ａ Ａ
１５ （６） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４５ＭＴＴ
１ （７） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５６ＣＰ
１ （８）∀ｘ｛～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ７ＵＩ
従って、
（04）（17）により、
（18）
１ （１）象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃）象以外の鼻は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ（ 兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （〃）兎は象ではない。 Ａ
１ （３） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
５（５） 兎ａ Ａ
２５（６） ～象ａ ４５
１２５（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＭＰＰ
１２５（８） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ７量化子の関係
１２５（９） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ８ＵＥ
１２５（ア） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ド・モルガンの法則
１２５（イ） 鼻ｂａ→～長ｂ ア含意の定義
１２５（ウ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） イＵＩ
１２ （エ） 兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ５ウＣＰ
１２ （オ）∀ｘ｛ 兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ エＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。 エＵＩ
１２ （〃）ｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。 エＵＩ
といふ「計算」の、
１ （１）象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」を、
１ （１） 象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」に、「差し替へ」たとしても、「結論」は「同じ」である。
従って、
（12）（18）により、
（19）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
（〃）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（01）（16）により、
（20）
１ （１）象が鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３＆Ｅ
１ （５） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３＆Ｅ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４５＆Ｉ
１ （７）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６ＵＩ
従って、
（01）（20）により、
（21）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサコＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
といふ「計算」の、
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「仮定」を、
１ （１）象が鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「仮定」に、「差し替へ」たとしても、「結論」は「同じ」である。
従って、
（03）（21）により、
（22）
（１）象が鼻が長い。然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（23）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」や、
（１）象が鼻が長い。然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、明らかに、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（24）
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（２）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。故に、
（３）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
といふ「推論（三段論法）」や、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。故に、
（３）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」も、「妥当（Valid）」である。
従って、
（18）（20）（23）（24）により、
（25）
（１）象が鼻は長い。
（２）兎は象ではない。
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「日本語」が、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
（２）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
（３）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
といふ「述語論理」に、対応せず、
（１）象は鼻が長い。
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
（３）兎は象ではない。
といふ「日本語」が、、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
（３）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「述語論理」に、対応しない。
といふことは、有り得ない。と、言ふべきである。
然るに、
（01）により、
（26）
（１）象は鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長く、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
従って、
（26）により、
（27）
（１）∀ｘ｛象ｘ→
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、
といふ風に、最初に、言明してゐるため、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長く、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
といふ「文」は、「最初に、その文の内容の範囲を、象に、限定してゐる」。
然るに、
（28）
（Ⅰ）象が鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ＆）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長くなく、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
従って、
（28）により、
（29）
（Ⅰ）∀ｘ｛象ｘ⇔
（〃）∀ｘ｛象ｘ→ ＆ ～象ｘ→
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、＆ ｘが象でないならば、
といふ風に、最初に、言明してゐるため、
（Ⅰ）象が鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ＆）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長くなく、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
といふ「文」は、「最初に、その文の内容の範囲を、象に、限定してゐる」とは、言へない。
然るに、
（30）
「は」の基本的な性質は、主題を表すことです。主題というのは文の最初にあって、その文で述べる内容の範囲を限定するものです。
（白川博之 監修、中上級を教える人のための、日本語文法ハンドブック、2001年、３１４頁）
従って、
（26）～（30）により、
（31）
主題というのは文の最初にあって、その文で述べる内容の範囲を限定するものです。
といふ「定義」からすれば、
（１）象は鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長く、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
といふ「日本語」に於いて、「象は」は、「主題は」であるが、
（Ⅰ）象が鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ＆）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長くなく、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことは
といふ「日本語」に於いて、「象が」は、「主題が」ではない。
もう一度、書くものの、
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサコＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（１）象は鼻が長い。
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
（３）ある兎は象である。
といふ風に「仮定」すると、
（タ）の行で、「矛盾」が生じるため、
（１）と（２）を、「否定」しないならば、「背理法」により、
（３）ある兎は象である。
といふ「仮定」が「否定」され、その「結果」として、
（３）兎は象ではない。
といふ「結論」を得ることになる。
従って、
（02）により、
（03）
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（04）
１ （１）象以外の鼻は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ（ 兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （〃）兎は象ではない。 Ａ
１ （３） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
５（５） 兎ａ Ａ
２５（６） ～象ａ ４５
１２５（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＭＰＰ
１２５（８） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ７量化子の関係
１２５（９） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ８ＵＥ
１２５（ア） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ド・モルガンの法則
１２５（イ） 鼻ｂａ→～長ｂ ア含意の定義
１２５（ウ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） イＵＩ
１２ （エ） 兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ５ウＣＰ
１２ （オ）∀ｘ｛ 兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ エＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。 エＵＩ
１２ （〃）ｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。 エＵＩ
１２ （〃）兎の鼻は長くない。 エＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（１）象以外の鼻は長くない。
（２）兎は象ではない。
といふ風に、「仮定」すると、当然ではあるが、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「結論」を得ることになる。
然るに、
（06）
｛象、兎、猫、犬、馬｝を、「変域」とするならば、事実として、
｛象｝以外の鼻は長くない。
然るに、
（07）
｛象｝以外の鼻は長くない。
といふことは、
｛象が｝鼻は長い。
といふことである。
従って、
（04）（07）により、
（08）
１ （１）象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃）象以外の鼻は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（10）
（ａ）
１ （１）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ＵＥ
３ （３） ～象ａ Ａ
４（４） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） Ａ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３４（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～～象ａ ３６ＲＡＡ
１ ４（８） 象ａ ７ＤＮ
１ （９） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ａ ４８ＣＰ
１ （ア）∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ９ＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ １ＵＥ
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
４（４） ～象ａ Ａ
１３ （５） 象ａ ２３ＭＰＰ
１３４（６） ～象ａ＆象ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＲＡＡ
１ （８） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４７ＣＰ
１ （９）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ８ＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ａ）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
（ｂ）∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝。
といふ「対偶」に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝。
（〃）すべてのｘについて｛あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いのであれば、ｘは象である｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（13）
（ａ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１（２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ １＆Ｅ
１（３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ １＆Ｅ
１（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ４ＵＥ
１（６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ６ＵＩ
（ｂ）
１（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１（２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ １ＵＥ
１（３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２＆Ｅ
１（４）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ３ＵＩ
１（５） ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ４６＆Ｉ
従って、
（13）により、
（14）
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（15）
Ｐであるときまたそのときに限ってＱ（Q if and only if P）を主張することは、ＰならばＱと、ＱならばＰを主張することにほかならない。
すなわち記号で書けば、
（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
である。しかしこの複合的表現を用ゐるよりは、
Ｐ⇔Ｑ
と書くのが便利であろう（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、３８頁）。
従って、
（14）（15）により、
（16）
Ｐ⇔Ｑ は、
（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ） の、「代はり」であるため、
（ａ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
（ｂ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝
（ｃ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）＝（ｃ） である。
従って、
（16）により、
（17）
１ （１） 象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ 象ａ ４Ｄｆ.⇔
１ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ 象ａ ４＆Ｅ
５ （５） ～象ａ Ａ
１５ （６） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４５ＭＴＴ
１ （７） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５６ＣＰ
１ （８）∀ｘ｛～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ７ＵＩ
従って、
（04）（17）により、
（18）
１ （１）象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃）象以外の鼻は長くない。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ（ 兎ｘ→～象ｘ） Ａ
２ （〃）兎は象ではない。 Ａ
１ （３） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
５（５） 兎ａ Ａ
２５（６） ～象ａ ４５
１２５（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＭＰＰ
１２５（８） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ７量化子の関係
１２５（９） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ８ＵＥ
１２５（ア） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ド・モルガンの法則
１２５（イ） 鼻ｂａ→～長ｂ ア含意の定義
１２５（ウ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） イＵＩ
１２ （エ） 兎ａ→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ５ウＣＰ
１２ （オ）∀ｘ｛ 兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ エＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。 エＵＩ
１２ （〃）ｘが兎であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。 エＵＩ
といふ「計算」の、
１ （１）象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」を、
１ （１） 象が鼻は長い。 Ａ
１ （〃） ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
といふ「仮定」に、「差し替へ」たとしても、「結論」は「同じ」である。
従って、
（12）（18）により、
（19）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
（〃）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（01）（16）により、
（20）
１ （１）象が鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ⇔∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２Ｄｆ.⇔
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３＆Ｅ
１ （５） 象ａ＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３＆Ｅ
１ （６） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４５＆Ｉ
１ （７）∀ｘ｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６ＵＩ
従って、
（01）（20）により、
（21）
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
２ （〃）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）ある兎は象である。 Ａ
３ （〃）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
３ （〃）あるｘは兎であって象である。 Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） １ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
２ ６ （ウ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
エ （エ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （カ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （キ） ～鼻ｂａ→～長ｂ カＵＥ
２ ６ （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
オ （コ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６オ （サ） ～鼻ｂａ ケコＭＰＰ
１２ ６オ （シ） ～長ｂ キサコＭＰＰ
オ （ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６オ （セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ ウオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない。 ナＵＩ
といふ「計算」の、
１ （１）象は鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「仮定」を、
１ （１）象が鼻が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「仮定」に、「差し替へ」たとしても、「結論」は「同じ」である。
従って、
（03）（21）により、
（22）
（１）象が鼻が長い。然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」を行ひたいのであれば、
（１）象が鼻が長い。
といふ「日本語」は、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ風に、「翻訳」することになる。
然るに、
（23）
（１）象が鼻は長い。然るに、
（２）兎は象ではない。故に、
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」や、
（１）象が鼻が長い。然るに、
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。故に、
（３）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、明らかに、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（24）
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（２）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。故に、
（３）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
といふ「推論（三段論法）」や、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。故に、
（３）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」も、「妥当（Valid）」である。
従って、
（18）（20）（23）（24）により、
（25）
（１）象が鼻は長い。
（２）兎は象ではない。
（３）兎の鼻は長くない。
といふ「日本語」が、
（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
（２）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
（３）∀ｘ｛兎ｘ→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。
といふ「述語論理」に、対応せず、
（１）象は鼻が長い。
（２）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。
（３）兎は象ではない。
といふ「日本語」が、、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
（３）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「述語論理」に、対応しない。
といふことは、有り得ない。と、言ふべきである。
然るに、
（01）により、
（26）
（１）象は鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長く、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
従って、
（26）により、
（27）
（１）∀ｘ｛象ｘ→
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、
といふ風に、最初に、言明してゐるため、
（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長く、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
といふ「文」は、「最初に、その文の内容の範囲を、象に、限定してゐる」。
然るに、
（28）
（Ⅰ）象が鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ＆）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長くなく、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
従って、
（28）により、
（29）
（Ⅰ）∀ｘ｛象ｘ⇔
（〃）∀ｘ｛象ｘ→ ＆ ～象ｘ→
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、＆ ｘが象でないならば、
といふ風に、最初に、言明してゐるため、
（Ⅰ）象が鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ＆）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長くなく、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
といふ「文」は、「最初に、その文の内容の範囲を、象に、限定してゐる」とは、言へない。
然るに、
（30）
「は」の基本的な性質は、主題を表すことです。主題というのは文の最初にあって、その文で述べる内容の範囲を限定するものです。
（白川博之 監修、中上級を教える人のための、日本語文法ハンドブック、2001年、３１４頁）
従って、
（26）～（30）により、
（31）
主題というのは文の最初にあって、その文で述べる内容の範囲を限定するものです。
といふ「定義」からすれば、
（１）象は鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長く、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことはない｝。
といふ「日本語」に於いて、「象は」は、「主題は」であるが、
（Ⅰ）象が鼻が長い。
（〃）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ＆）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（〃）すべてｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長く、ｘが象でないならば、あるｙはｘの鼻であって、そのｙは長くなく、あるｚがｘの鼻でなく、尚且つ、長い。といふことは
といふ「日本語」に於いて、「象が」は、「主題が」ではない。