（01）
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （〃） ある兎は象である。 Ａ
２ （２） 兎ａ＆象ａ Ａ（代表的選言項）
２ （３） 兎ａ ２＆Ｅ
２ （４） 象ａ ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
５ （〃） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
５ （６） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５ＵＥ
２５ （７） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
９ （９） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ（代表的選言項）
９ （ア） 耳ｂａ ９＆Ｅ
９ （イ） 長ｂ ９＆Ｅ
２５ （ウ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ７＆Ｅ
２５ （エ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ウＵＥ
２５９ （オ） ～鼻ｂａ アエＭＰＰ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
カ（〃） 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 Ａ
カ（キ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＵＥ
２ カ（ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４キＭＰＰ
２ カ（ケ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク＆Ｅ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
２５９カ（サ） ～長ｂ オコＭＰＰ
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５９カ（ス） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） シＥＩ
２５ カ（セ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） ８９スＥＥ
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（チ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） タ量化子の関係
５ カ（ツ） ～（兎ａ＆象ａ） チＵＥ
５ カ（テ） ～兎ａ∨～象ａ ツ、ド・モルガンの法則
５ カ（ト） ～象ａ∨～兎ａ テ交換法則
５ カ（ナ） 象ａ→～兎ａ ト含意の定義
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
（02）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域（domain）」であるとき、
① ∃ｘＦｘ＝｛Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ｝＝｛ＦａかＦｂかＦｃ｝
② ∀ｘＦｘ＝｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝＝｛ＦａでＦｂでＦｃ｝
然るに、
（03）
① ∃ｘＦｘ＝｛ＦａかＦｂかＦｃ｝であるならば、｛Ｆａ｝だけでも、「真（本当）」であり、
② ∀ｘＦｘ＝｛ＦａでＦｂでＦｃ｝であるならば、｛Ｆａ｝だけでは、「偽（ウソ）」である。
従って、
（03）により、
（04）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２２ＥＥ
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
（５）∃ｘＦｘ ならば、∀ｘＦｘ である。 １５ＣＰ
といふ「推論」は、「妥当（valid）」ではない。
然るに、
（05）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２２ＥＥ
１ （４）∃ｘＦｘ ３ＥＩ
（５）∃ｘＦｘ ならば、∃ｘＦｘ である。 １５ＣＰ
といふ「同義語反復」は、「妥当（valid）」である。
同様に、
（06）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∃ｘＦｘ ２ＥＩ
１ （４）∃ｘＦｘ １２３ＥＥ
（５）∃ｘＦｘ ならば、∃ｘＦｘ である。 １５ＣＰ
といふ「同義語反復」も、「妥当（valid）」である。
然るに、
（07）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
ＵＩの適用は正しい。なぜなら、１は「ａ」を含まないからである。しかし、ＥＥの適用は正しくない。なぜならば、問題になる結論、
ここでは、Ｆａは、「ａ」をふくんでいるからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１４７頁）
従って、
（02）～（07）により、
（08）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
までは、「妥当（valid）」であるが、
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
が、加はった時点で、
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
は、「妥当（valid）」ではない。
といふ、ことになる。
従って、
（08）により、
（09）
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
といふ「ＥＥ」自体は、「妥当（valid）」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５９カ（ス） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） シＥＩ
２５ カ（セ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） ８９スＥＥ
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
といふ「４行」が、「妥当（valid）」である以上、
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５ カ（ス） 長ｂ＆～長ｂ ８９シＥＥ
１ ５ カ（セ） 長ｂ＆～長ｂ １２スＥＥ
といふ「３行」も、「妥当（valid）」である。
然るに、
（11）
いづれにせよ、
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
１ ５ カ（〃） あるｙは、長くて長くない。 １２セＥＥ
といふことは、「矛盾」であり、
１ ５ カ（セ） 長ｂ＆～長ｂ １２スＥＥ
１ ５ カ（〃） 任意のｂは、長くて長くない。 １２スＥＥ
といふことは、「矛盾」である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
１ ５ カ（ソ）
といふ「３つの仮定」、すなはち、
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「３つの仮定」、すなはち、
１ （１） ある兎は象である。 Ａ
５ （５） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
カ（カ） 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 Ａ
といふ「３つの仮定」の内の、「１つ」は、「否定」されなければ、ならない。
従って、
（12）により、
（13）
１ （１） ある兎は象である。 Ａ
５ （５） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
といふ「２つの仮定」を、「否定しない」のであれば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
１ （１） ある兎は象である。
といふ「仮定」、すなはち、
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
といふ「仮定」は、「否定」される。
従って、
（13）により、
（14）
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （１）あるｘは、兎であって、象である。 Ａ
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」であり、 １ソＲＡＡ
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、兎であって、象である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふ「命題」が、「真（本当）」になる。
然るに、
（15）
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、兎であって、象である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふことは、
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、象であって、兎である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふことである。
然るに、
（16）
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、象であって、兎である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふことは、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（〃）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
５ （〃）すべてのｘについて｛ｘが兎ならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。 Ａ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
カ （〃）すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。 Ａ
といふ風に、「仮定」すると、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（〃）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」を、得ることになる。
然るに、
（18）
９ （イ） 長ｂ ９＆Ｅ
２５９ （オ） ～鼻ｂａ アエＭＰＰ
２ カ（ケ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク＆Ｅ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
２５９カ（サ） ～長ｂ オコＭＰＰ
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
であるため、
２ カ（ケ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク＆Ｅ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
を「削除」した場合は、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（ニ）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」を、得ることが、出来ない。
然るに、
（19）
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （〃） ある兎は象である。 Ａ
２ （２） 兎ａ＆象ａ Ａ（代表的選言項）
２ （３） 兎ａ ２＆Ｅ
２ （４） 象ａ ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
５ （〃） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
５ （６） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５ＵＥ
２５ （７） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
９ （９） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ（代表的選言項）
９ （ア） 耳ｂａ ９＆Ｅ
９ （イ） 長ｂ ９＆Ｅ
２５ （ウ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ７＆Ｅ
２５ （エ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ウＵＥ
２５９ （オ） ～鼻ｂａ アエＭＰＰ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
カ（〃） 象は 、鼻以外は長くない。 Ａ
カ（キ） 象ａ→ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＵＥ
２ カ（ク） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４キＭＰＰ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
２５９カ（サ） ～長ｂ オコＭＰＰ
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５９カ（ス） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） シＥＩ
２５ カ（セ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） ８９スＥＥ
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（チ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） タ量化子の関係
５ カ（ツ） ～（兎ａ＆象ａ） チＵＥ
５ カ（テ） ～兎ａ∨～象ａ ツ、ド・モルガンの法則
５ カ（ト） ～象ａ∨～兎ａ テ交換法則
５ カ（ナ） 象ａ→～兎ａ ト含意の定義
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
従って、
（19）により、
（20）
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「 論理式 」から、 ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
といふ「命題関数」を「削除」したとしても、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（〃）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」自体は、「変はらない」。
従って、
（01）～（20）により、
（21）
（Ⅰ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。然るに、
（Ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。故に、
（Ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」と、
（Ⅰ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。然るに、
（Ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。故に、
（Ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」は、両方とも、「妥当（valid）」である。
従って、
（21）により、
（22）
（Ⅰ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。然るに、
（Ⅱ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。故に、
（Ⅲ）象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」と、
（Ⅰ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。然るに、
（Ⅱ）象は、鼻以外は長くない。故に、
（Ⅲ）象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、両方とも、「妥当（valid）」である。
然るに、
（23）
「日本語」で、
① 象は鼻は長い。
といふのであれば、
① 象の「鼻以外」については、「何も述べてゐない」。
従って、
（23）により、
（24）
① 象は鼻は長い。
といふのであれば、
① 象の「鼻」だけでなく、
① 象の「耳」も、「長い」のかも知れない。
然るに、
（25）
② 象は鼻が長い。
といふのであれば、
② 象は「鼻以外」は長くない。
といふことになる。
然るに、
（26）
② 象は「鼻以外」は長くない。
といふのであれば、
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ風に、受け取るのが、「普通」である。
従って、
（25）（26）により、
（27）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 象は「鼻以外」は長くない。
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ「意味」である。
従って、
（21）（22）（27）により、
（28）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 象は「鼻以外」は長くない。
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ「意味」であって、
② 象は「鼻以外」は長くない。
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「述語論理」に、対応する。
従って、
（22）（28）により、
（29）
（Ⅰ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。然るに、
（Ⅱ）象は鼻が長い。故に、
（Ⅲ）象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」が「妥当（valid）」である。
と認めるのであれば、その一方で、
（Ⅱ）象は鼻が長い。
といふ「日本語」が、
（Ⅱ）象は、 鼻以外は長くない＝∀ｘ｛象ｘ→ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（Ⅱ）象は、鼻は長く鼻以外は長くない＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「意味」ではないと、することは、出来ない。
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （〃） ある兎は象である。 Ａ
２ （２） 兎ａ＆象ａ Ａ（代表的選言項）
２ （３） 兎ａ ２＆Ｅ
２ （４） 象ａ ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
５ （〃） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
５ （６） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５ＵＥ
２５ （７） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
９ （９） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ（代表的選言項）
９ （ア） 耳ｂａ ９＆Ｅ
９ （イ） 長ｂ ９＆Ｅ
２５ （ウ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ７＆Ｅ
２５ （エ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ウＵＥ
２５９ （オ） ～鼻ｂａ アエＭＰＰ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
カ（〃） 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 Ａ
カ（キ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＵＥ
２ カ（ク） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４キＭＰＰ
２ カ（ケ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク＆Ｅ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
２５９カ（サ） ～長ｂ オコＭＰＰ
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５９カ（ス） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） シＥＩ
２５ カ（セ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） ８９スＥＥ
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（チ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） タ量化子の関係
５ カ（ツ） ～（兎ａ＆象ａ） チＵＥ
５ カ（テ） ～兎ａ∨～象ａ ツ、ド・モルガンの法則
５ カ（ト） ～象ａ∨～兎ａ テ交換法則
５ カ（ナ） 象ａ→～兎ａ ト含意の定義
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
（02）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域（domain）」であるとき、
① ∃ｘＦｘ＝｛Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ｝＝｛ＦａかＦｂかＦｃ｝
② ∀ｘＦｘ＝｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ｝＝｛ＦａでＦｂでＦｃ｝
然るに、
（03）
① ∃ｘＦｘ＝｛ＦａかＦｂかＦｃ｝であるならば、｛Ｆａ｝だけでも、「真（本当）」であり、
② ∀ｘＦｘ＝｛ＦａでＦｂでＦｃ｝であるならば、｛Ｆａ｝だけでは、「偽（ウソ）」である。
従って、
（03）により、
（04）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２２ＥＥ
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
（５）∃ｘＦｘ ならば、∀ｘＦｘ である。 １５ＣＰ
といふ「推論」は、「妥当（valid）」ではない。
然るに、
（05）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２２ＥＥ
１ （４）∃ｘＦｘ ３ＥＩ
（５）∃ｘＦｘ ならば、∃ｘＦｘ である。 １５ＣＰ
といふ「同義語反復」は、「妥当（valid）」である。
同様に、
（06）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∃ｘＦｘ ２ＥＩ
１ （４）∃ｘＦｘ １２３ＥＥ
（５）∃ｘＦｘ ならば、∃ｘＦｘ である。 １５ＣＰ
といふ「同義語反復」も、「妥当（valid）」である。
然るに、
（07）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
ＵＩの適用は正しい。なぜなら、１は「ａ」を含まないからである。しかし、ＥＥの適用は正しくない。なぜならば、問題になる結論、
ここでは、Ｆａは、「ａ」をふくんでいるからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１４７頁）
従って、
（02）～（07）により、
（08）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
までは、「妥当（valid）」であるが、
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
が、加はった時点で、
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
は、「妥当（valid）」ではない。
といふ、ことになる。
従って、
（08）により、
（09）
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２３ＥＥ
といふ「ＥＥ」自体は、「妥当（valid）」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５９カ（ス） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） シＥＩ
２５ カ（セ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） ８９スＥＥ
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
といふ「４行」が、「妥当（valid）」である以上、
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５ カ（ス） 長ｂ＆～長ｂ ８９シＥＥ
１ ５ カ（セ） 長ｂ＆～長ｂ １２スＥＥ
といふ「３行」も、「妥当（valid）」である。
然るに、
（11）
いづれにせよ、
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
１ ５ カ（〃） あるｙは、長くて長くない。 １２セＥＥ
といふことは、「矛盾」であり、
１ ５ カ（セ） 長ｂ＆～長ｂ １２スＥＥ
１ ５ カ（〃） 任意のｂは、長くて長くない。 １２スＥＥ
といふことは、「矛盾」である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
１ ５ カ（ソ）
といふ「３つの仮定」、すなはち、
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「３つの仮定」、すなはち、
１ （１） ある兎は象である。 Ａ
５ （５） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
カ（カ） 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。 Ａ
といふ「３つの仮定」の内の、「１つ」は、「否定」されなければ、ならない。
従って、
（12）により、
（13）
１ （１） ある兎は象である。 Ａ
５ （５） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
といふ「２つの仮定」を、「否定しない」のであれば、「背理法（ＲＡＡ）」により、
１ （１） ある兎は象である。
といふ「仮定」、すなはち、
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
といふ「仮定」は、「否定」される。
従って、
（13）により、
（14）
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （１）あるｘは、兎であって、象である。 Ａ
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」であり、 １ソＲＡＡ
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、兎であって、象である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふ「命題」が、「真（本当）」になる。
然るに、
（15）
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、兎であって、象である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふことは、
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、象であって、兎である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふことである。
然るに、
（16）
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（〃）あるｘが、象であって、兎である。といふことはない。 １ソＲＡＡ
といふことは、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（〃）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふことに、他ならない。
従って、
（01）～（16）により、
（17）
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
５ （〃）すべてのｘについて｛ｘが兎ならば、あるｙはｘの耳であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。 Ａ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
カ （〃）すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。 Ａ
といふ風に、「仮定」すると、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（〃）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」を、得ることになる。
然るに、
（18）
９ （イ） 長ｂ ９＆Ｅ
２５９ （オ） ～鼻ｂａ アエＭＰＰ
２ カ（ケ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク＆Ｅ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
２５９カ（サ） ～長ｂ オコＭＰＰ
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
であるため、
２ カ（ケ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ク＆Ｅ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
を「削除」した場合は、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（ニ）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」を、得ることが、出来ない。
然るに、
（19）
１ （１） ∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （〃） ある兎は象である。 Ａ
２ （２） 兎ａ＆象ａ Ａ（代表的選言項）
２ （３） 兎ａ ２＆Ｅ
２ （４） 象ａ ２＆Ｅ
５ （５） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
５ （〃） 兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
５ （６） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５ＵＥ
２５ （７） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ３６ＭＰＰ
２５ （８） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
９ （９） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ（代表的選言項）
９ （ア） 耳ｂａ ９＆Ｅ
９ （イ） 長ｂ ９＆Ｅ
２５ （ウ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ７＆Ｅ
２５ （エ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ウＵＥ
２５９ （オ） ～鼻ｂａ アエＭＰＰ
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
カ（〃） 象は 、鼻以外は長くない。 Ａ
カ（キ） 象ａ→ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） カＵＥ
２ カ（ク） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４キＭＰＰ
２ カ（コ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ケＵＥ
２５９カ（サ） ～長ｂ オコＭＰＰ
２５９カ（シ） 長ｂ＆～長ｂ イサ＆Ｉ
２５９カ（ス） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） シＥＩ
２５ カ（セ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） ８９スＥＥ
１ ５ カ（ソ） ∃ｙ（長ｙ＆～長ｙ） １２セＥＥ
５ カ（タ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） １ソＲＡＡ
５ カ（チ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） タ量化子の関係
５ カ（ツ） ～（兎ａ＆象ａ） チＵＥ
５ カ（テ） ～兎ａ∨～象ａ ツ、ド・モルガンの法則
５ カ（ト） ～象ａ∨～兎ａ テ交換法則
５ カ（ナ） 象ａ→～兎ａ ト含意の定義
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
従って、
（19）により、
（20）
カ（カ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
といふ「 論理式 」から、 ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
といふ「命題関数」を「削除」したとしても、
５ カ（ニ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ナＵＩ
５ カ（〃）すべてのｘについて、ｘが象ならば、ｘは兎ではない。 ナＵＩ
５ カ（〃）象は兎ではない。 ナＵＩ
といふ「結論」自体は、「変はらない」。
従って、
（01）～（20）により、
（21）
（Ⅰ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。然るに、
（Ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。故に、
（Ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」と、
（Ⅰ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。然るに、
（Ⅱ）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。故に、
（Ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」は、両方とも、「妥当（valid）」である。
従って、
（21）により、
（22）
（Ⅰ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。然るに、
（Ⅱ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。故に、
（Ⅲ）象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」と、
（Ⅰ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。然るに、
（Ⅱ）象は、鼻以外は長くない。故に、
（Ⅲ）象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、両方とも、「妥当（valid）」である。
然るに、
（23）
「日本語」で、
① 象は鼻は長い。
といふのであれば、
① 象の「鼻以外」については、「何も述べてゐない」。
従って、
（23）により、
（24）
① 象は鼻は長い。
といふのであれば、
① 象の「鼻」だけでなく、
① 象の「耳」も、「長い」のかも知れない。
然るに、
（25）
② 象は鼻が長い。
といふのであれば、
② 象は「鼻以外」は長くない。
といふことになる。
然るに、
（26）
② 象は「鼻以外」は長くない。
といふのであれば、
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ風に、受け取るのが、「普通」である。
従って、
（25）（26）により、
（27）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 象は「鼻以外」は長くない。
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ「意味」である。
従って、
（21）（22）（27）により、
（28）
② 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② 象は「鼻以外」は長くない。
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ「意味」であって、
② 象は「鼻以外」は長くない。
② 象は鼻は長く「鼻以外」は長くない。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「述語論理」に、対応する。
従って、
（22）（28）により、
（29）
（Ⅰ）兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。然るに、
（Ⅱ）象は鼻が長い。故に、
（Ⅲ）象は兎ではない。
といふ「推論（三段論法）」が「妥当（valid）」である。
と認めるのであれば、その一方で、
（Ⅱ）象は鼻が長い。
といふ「日本語」が、
（Ⅱ）象は、 鼻以外は長くない＝∀ｘ｛象ｘ→ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（Ⅱ）象は、鼻は長く鼻以外は長くない＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「意味」ではないと、することは、出来ない。