（01）
① 鼻が長くない象はゐる。⇔
① ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）⇔
① あるｘとあるｙについて、ｘは象であり、ｙはｘの鼻であり、ｙは長くない。
従って、
（01）により、
（02）
② 鼻が長くない象はゐない。⇔
② ～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）⇔
② あるｘとあるｙについて、ｘは象であり、ｙはｘの鼻であり、ｙは長くない。といふことはない。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） Ａ
１ （２）∀ｘ～∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） １量化子の関係
１ （３）∀ｘ∀ｙ～（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） １量化子の関係
１ （４） ∀ｙ～（象ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ３ＵＥ
１ （５） ～（象ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ） ４ＵＥ
１ （６） ～象ａ∨～鼻ｂａ∨～～長ｂ ５ド・モルガンの法則
１ （７） ～象ａ∨～鼻ｂａ∨長ｂ ６ＤＮ
１ （８） （～象ａ∨～鼻ｂａ）∨長ｂ ７結合法則
９ （９） （～象ａ∨～鼻ｂａ） Ａ
９ （ア） ～（象ａ＆鼻ｂａ） ９ド・モルガンの法則
９ （イ） ～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ ア∨Ｉ
ウ（ウ） 長ｂ Ａ
ウ（エ） ～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ ウ∨Ｉ
１ （オ） ～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ ９アイウエ∨Ｅ
１ （カ） 象ａ＆鼻ｂａ→ 長ｂ オ含意の定義
１ （キ） ∀ｙ（象ａ＆鼻ｙａ→ 長ｙ） カＵＩ
１ （ク） ∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→ 長ｙ） キＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→ 長ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（象ａ＆鼻ｙａ→ 長ｙ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ＆鼻ｂａ→ 長ｂ ２ＵＥ
１ （４） ～（象ａ＆鼻ｂａ）∨長ｂ ３含意の定義
５ （５） ～（象ａ＆鼻ｂａ） Ａ
５ （６） ～象ａ∨～象ｂ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～象ａ∨～象ｂ ∨長ｂ ６∨Ｉ
８（８） 長ｂ Ａ
８（９） ～象ａ∨～象ｂ ∨長ｂ ８∨Ｉ
１ （ア） ～象ａ∨～象ｂ ∨長ｂ ４５７８９∨Ｅ
１ （イ） ～（象ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ） ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ∀ｙ～（象ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ～（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ウＵＩ
１ （オ）∀ｘ～∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） エ量化子の関係
１ （カ）～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） オ量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
② ～∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ→ 長ｙ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（05）
「交換法則」により、
② 象ｘ＆鼻ｙｘ＝鼻ｙｘ＆象ｘ
③ 象ｘ＆鼻ｙｘ＝鼻ｙｘ＆象ｘ
従って、
（02）（04）（05）により、
（06）
② 鼻が長くない象はゐない。⇔
② ～∃ｘ∃ｙ（鼻ｙｘ＆象ｘ＆～長ｙ）⇔
③ ∀ｘ∀ｙ（鼻ｙｘ＆象ｘ→ 長ｙ）⇔
③ すべてのｘとすべてのｙについて、ｘが象であり、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長い。
然るに、
（07）
④｛象、兎、馬、キリン｝を「変域（ドメイン）」とすると、
④「鼻は象が長く、耳は兎が長く、顔は馬が長く、首はキリンが長い。」
従って、
（07）により、
（08）
④ 鼻は象が長い。⇔
④ 鼻は象は長く、象以外（兎、馬、キリン）は長くない。⇔
④ ∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
④ すべてのｘとｙについて、ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。
従って、
（06）（08）により、
（09）
③ 鼻が長くない象はゐない＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｙｘ＆象ｘ）→長ｙ｝。
④ 鼻は象が長い ＝∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。
に於いて、
③の右辺は、④の右辺の「部分論理式」である。
然るに、
（10）
１ （１）鼻は象が長い。 Ａ
１ （〃）∀ｘ∀ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ Ａ
２ （２）兎は象ではないが、兎には鼻がある。 Ａ
２ （〃）∃ｙ∃ｘ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
１ （３） ∀ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝ １ＵＥ
１ （４） （鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ３ＵＥ
１ （５） （鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ ４＆Ｅ
６ （６） ∃ｘ（兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ｘｂ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ ８＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ８＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ８＆Ｅ
７（イ） 鼻ａｂ＆～象ｂ アイ＆Ｉ
１ ７（ウ） ～長ａ ４ウＭＰＰ
１ ７（エ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ９ア＆Ｉ
１ ７（オ） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ ウエ＆Ｉ
１ ７（カ） ∃ｘ（兎ｂ＆鼻ｘｂ＆～長ｘ） オＥＩ
１ ６ （キ） ∃ｘ（兎ｂ＆鼻ｘｂ＆～長ｘ） ６７カＥＥ
１ ６ （ク）∃ｙ∃ｘ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） キＥＩ
１２ （ケ）∃ｙ∃ｘ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ２６クＥＥ
１２ （〃）あるｙは兎であって、あるｘはｙの鼻であって、ｘは長くない。 ２６クＥＥ
１２ （〃）鼻が短い兎がゐる。 ２６クＥＥ
従って、
（09）（10）により、
（11）
④ 鼻は象が長い。
といふ「命題」ではなく、
③ 鼻が長くない象はゐない。
といふ「命題」からは、
⑤ 鼻が短い兎がゐる。
といふ「命題」を、「導出」することは、出来ない。