（01）
①（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か埼玉県民）
②（東京都民か埼玉県民）
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
冪等律（idempotence）。
然るに、
（02）
②（東京都民か埼玉県民）
③（東京都民か 男性）
に於いて、
②＝③ ではない。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か埼玉県民）
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か 男性）
に於いて、
①＝③ ではない。
然るに、
（04）
① 東京都民＝東京都民の男性と、東京都民の女性。
② 埼玉県民＝埼玉県民の男性と、埼玉県民の女性。
であるため、
③（東京都民か 男性）の中には、
① 東京都民の男性は、含まれるし、
① 東京都民の女性は、含まれるし、
② 埼玉県民の男性も、含まれるが、
② 埼玉県民の女性は、含まれない。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か埼玉県民）
ではなく、
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か 男性）
であるならば、
② 埼玉県民の男性は、含まれるが、
② 埼玉県民の女性は、含まれない。
従って、
（05）により、
（06）
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か 男性）
④ 東京都民の男性と、東京都民の女性と、埼玉県民の男性。
に於いて、
③＝④ である、
然るに、
（07）
⑤ 東京都民か（埼玉県民で男性）
⑥ 東京都民の男性と、東京都民の女性と、埼玉県民の男性。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
③（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か 男性）
⑤ 東京都民か（埼玉県民で男性）
に於いて、
③＝⑤ である。
従って、
（08）により、
（09）
「番号」を付け直すと、
① 東京都民か（埼玉県民で男性）
②（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か 男性）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（10）
「記号」で書くと、
① 東∨（埼∧男）
②（東∨埼）∧（東∨男）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） 東∨（埼∧男） Ａ
２ （２） 東 Ａ
２ （３） 東∨埼 ２∨Ｉ
２ （４） 東∨男 ２∨Ｉ
２ （５）（東∨埼）∧（東∨男） ２３∧Ｉ
６（６） 埼∧男 Ａ
６（７） 埼 ６∧Ｅ
６（８） 男 ６∧Ｅ
６（９） 東∨埼 ７∨Ｉ
６（ア） 東∨男 ８∨Ｉ
６（イ）（東∨埼）∧（東∨男） ９ア∧I
１ （ウ）（東∨埼）∧（東∨男） １２４５イ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （東∨埼）∧（東∨男） Ａ
１ （２） 東∨埼 １∧Ｅ
１ （３）～～東∨埼 ２ＤＮ
１ （４） ～東→埼 ３含意の定義
１ （５） 東∨男 １∧Ｅ
１ （６） ～～東∨男 ５ＤＮ
１ （７） ～東→男 ６含意の定義
２（８） ～東 Ａ
１２（９） 埼 ４８Ｍ東東
１２（ア） 男 ７８Ｍ東東
１２（イ） （埼∧男） ９ア∧Ｉ
１ （ウ） ～東→（埼∧男） ８イＣ東
１ （エ）～～東∨（埼∧男） ウ含意の定義
１ （オ） 東∨（埼∧男） エＤＮ
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 東∨（埼∧男）
②（東∨埼）∧（東∨男）
に於いて、すなはち、
① その人は東京都民か（埼玉県民で男性）である。 ⇔ 東京都民か埼玉県人であるが、女性ではない。
② その人は（東京都民か埼玉県民）で（東京都民か男性）である。⇔ 東京都民か埼玉県人であるが、女性ではない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「命題計算（Propositional calculation）」としても、「正しい」。
然るに、
（13）
① 東∨（埼∧男）
②（東∨埼）∧（東∨男）
といふ「命題」に関する「式」は、
① 東∪（埼∩男）
②（東∪埼）∩（東∪男）
といふ「集合」に関する「式」に、相当する。
従って、
（13）により、
（14）
① Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）
②（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）
に於いて、
①＝② である。
とする、「集合」に関する「等式（分配法則）」も、「正しい」し、さらに言へば、
③ Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）
④（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
に於いて、
③＝④ である。
とする、「集合」に関する「等式（分配法則）」も、「正しい」。
（15）
（ⅰ）
１ （１） Ａ∪（Ｂ∩Ｃ） Ａ
２ （２） Ａ Ａ
２ （３） Ａ∪Ｂ ２選言導入
２ （４） Ａ∪Ｃ ２選言導入
２ （５）（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ） ２３連言導入
６（６） Ｂ∩Ｃ Ａ
６（７） Ｂ ６連言除去
６（８） Ｃ ６連言除去
６（９） Ａ∪Ｂ ７選言導入
６（ア） Ａ∪Ｃ ８選言導入
６（イ）（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ） ９ア連言導入
１ （ウ）（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ） １２４５イ選言除去
（ⅱ）
１ （１） （Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ） Ａ
１ （２） Ａ∪Ｂ １連言除去
１ （３）～～Ａ∪Ｂ ２ＤＮ
１ （４） ～Ａ→Ｂ ３含意の定義
１ （５） Ａ∪Ｃ １連言除去
１ （６） ～～Ａ∪Ｃ ５ＤＮ
１ （７） ～Ａ→Ｃ ６含意の定義
２（８） ～Ａ Ａ
１２（９） Ｂ ４８ＭＰＰ
１２（ア） Ｃ ７８ＭＰＰ
１２（イ） （Ｂ∩Ｃ） ９ア連言導入
１ （ウ） ～Ａ→（Ｂ∩Ｃ） ８イＣＰ
１ （エ）～～Ａ∪（Ｂ∩Ｃ） ウ含意の定義
１ （オ） Ａ∪（Ｂ∩Ｃ） エＤＮ
（ⅲ）
１ （１） Ａ∩（Ｂ∪Ｃ） Ａ
１ （２） Ａ １連言除去
１ （３） Ｂ∪Ｃ １連言除去
４ （４） Ｂ Ａ
１４ （５） Ａ∩Ｂ ２４連言導入
１４ （６）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ） ５選言導入
７（７） Ｃ Ａ
１ ７（８） Ａ∩Ｃ ２７連言導入
１ ７（９）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ） ８選言導入
１ （ア）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ） ３４６７９選言除去
（ⅳ）
１ （１）（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ） Ａ
２ （２）（Ａ∩Ｂ） Ａ
２ （３） Ａ ２連言除去
２ （４） Ｂ ２連言除去
２ （５） Ｂ∪Ｃ ４選言導入
２ （６） Ａ∩（Ｂ∪Ｃ） ３５連言導入
７（７） （Ａ∩Ｃ） Ａ
７（８） Ａ ７連言除去
７（９） Ｃ ７連言除去
７（ア） Ｂ∪Ｃ ９選言導入
７（イ） Ａ∩（Ｂ∪Ｃ） ８ア連言導入
１ （ウ） Ａ∩（Ｂ∪Ｃ） １２６７イ選言除去
に於ける、
∪ は、∨ に相当し、
∩ は、∧ に相当する。
然るに、
（16）
Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）
と書けば、「集合」であって、
Ａ∨（Ｂ∧Ｃ）
と書けば、「命題」であるが、「集合」と「命題」は、「同じ」ではない。