（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆｂ Ａ
２（３） Ｆｂ＆Ｆｂ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆｃ Ａ
２（３） Ｆｃ＆Ｆｃ ２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆｃ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
然るに、
（03）
（ⅰ）
① Ｆａ
② （Ｆａ＆Ｆａ）
③ （Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）
④｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①⇒②⇒③⇒④ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
から、
②（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
②（Ｆｃ＆Ｆｃ）
を「除く」と、
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）により、
（07）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
を「否定」すると、すなはち、
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
を「否定」すると、「ド・モルガンの法則」により、
②～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
然るに、
（08）
（ⅱ）
１ （１）～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ Ａ
１ （２）～（Ｆａ＆Ｆｂ）＆～（Ｆａ＆Ｆｃ） １ド・モルガンの法則
１ （３）～（Ｆａ＆Ｆｂ） ２＆Ｅ
１ （４）～Ｆａ∨～Ｆｂ ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｆａ→～Ｆｂ ４含意の定義
１ （６） ～（Ｆａ＆Ｆｃ） ２＆Ｅ
１ （７） ～Ｆａ∨～Ｆｃ ６ド・モルガンの法則
１ （８） Ｆａ→～Ｆｃ ７含意の定義
９（９） Ｆａ Ａ
１９（ア） ～Ｆｂ ５９ＭＰＰ
１９（イ） ～Ｆｃ ８９ＭＰＰ
１９（ウ） ～Ｆｂ＆～Ｆｃ アイ＆Ｉ
１ （エ） Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ） ９ウＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１２（３） ～Ｆｂ＆～Ｆｃ １２＆Ｉ
１２（４） ～Ｆｂ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｆｃ ３＆Ｅ
１ （６） Ｆａ→～Ｆｂ ２４ＣＰ
１ （７）～Ｆａ∨～Ｆｂ ６含意の定義
１ （８）～（Ｆａ＆Ｆｂ） ７ド・モルガンの法則
１ （９） Ｆａ→～Ｆｃ ２５ＣＰ
１ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｃ ９含意の定義
１ （イ） ～（Ｆａ＆Ｆｃ） ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）＆～（Ｆａ＆Ｆｃ） ８イ＆Ｉ
１ （エ）～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
② ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝
③ Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
② ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
③ ｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝ ＆ ｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝ ＆ ｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）（10）により、
（11）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、
①｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に「等しい」。
然るに、
（12）
①｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
② Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
③ Ｆａ＆Ｆｂ
④ Ｆａ＆Ｆｃ
⑤ Ｆｂ＆Ｆｃ
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
に於いて、
①＆② は、「矛盾」し、
①＆③ は、「矛盾」し、
①＆④ は、「矛盾」し、
①＆⑤ は、「矛盾」し、
①＆⑥ は、「矛盾」せず、
①＆⑦ は、「矛盾」せず、
①＆⑧ は、「矛盾」しない。
然るに、
（13）
「含意の定義」により、
①｛ Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛ Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛ Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
⑥ Ｆａ＝「偽」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
⑥ ～Ｆａ＝「真」
⑦ ～Ｆｂ＝「真」
⑧ ～Ｆｃ＝「真」
であるため、
②｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝
であるが、
②｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝
であれば、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
であって、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
は、「真」である。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ＝「偽」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
然るに、
（16）
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
⑥ Ｆａ＝「真」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
②｛～真∨（～偽＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝
である。
然るに、
（16）により、
（17）
～真＝偽
～偽＝真
であるため、
②｛～真∨（～偽＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝
であるならば、
②｛偽∨（真＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝
である。
然るに、
（18）
（真＆真）＝真
（偽＆真）＝偽
であるため、
②｛偽∨（真＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝
であるならば、
②｛偽∨（真）｝＆｛真∨（偽）｝＆｛真∨（偽）｝
であるものの、
②｛偽∨（真）｝＆｛真∨（偽）｝＆｛真∨（偽）｝
であれば、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
であって、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
は、「真」である。
従って、
（11）（16）（17）（18）により、
（19）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
⑥ Ｆａ＝「真」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
従って、
（12）（15）（19）により、
（20）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「０個」が「真」であるか、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「１個」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
従って、
（20）により、
（21）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「２個か３個」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」ではなく、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「肯定」は、「真」である。
従って、
（21）により、
（22）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「少なくとも、２つ」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「肯定」は、「真」である。
従って、
（22）により、
（23）
性質Ｆをもつ「すくなくとも２つの相異なる対象が存在する」ということを表現するするためには、われわれは符号を必要とする。
すなわち、
∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
― どちらもＦをもつ同一でないｘとｙが存在する。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）
といふ『説明』は、「正しい」。