（01） 例２.１
０１ 自然数は偶数であるかまたは奇数である。
０２ 奇数の自乗は奇数である。
０３ 奇数は偶数ではない。
これらをもとにして
「自乗すると偶数になる自然数は偶数である。」
を証明する。この証明の文章構造がどのようになっているか眺められたい。
［証明］
０４ ａを任意の自然数を表す変数とし、
０５ ａの自乗が偶数であると仮定する。
《ａが偶数であることを示せばよい。そのためには、ａが偶数でないと仮定して矛盾を示せばよい。》
― 途中省略。―
１５ したがって、ａの自乗が偶数であるならば、ａは偶数である。
《ａは任意の自然数を表す変数である。》
（上江中洲忠弘、述語論理入門、2007年、１７頁）
然るに、
（01）により、
（02）
① 奇数の自乗は奇数である。
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
③ ある自然数の２乗が奇数でない（偶数である）ならば、その自然数の１乗も奇数でない（偶数である）。
に於いて、
②＝③ は『対偶』である。
然るに、
（04）
③ ある自然数の２乗が偶数である（奇数でない）ならば、その自然数の１乗も偶数である（奇数でない）。
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
① 奇数の自乗は奇数である。
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
③ ある自然数の２乗が偶数である（奇数でない）ならば、その自然数の１乗も偶数である（奇数でない）。
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
① 奇数の自乗は奇数である。
といふ「日本語」を、
② ある自然数の１乗が奇数である（偶数でない）ならば、その自然数の２乗も奇数である（偶数でない）。
といふ「意味」であるとして、
③ ある自然数の２乗が偶数である（奇数でない）ならば、その自然数の１乗も偶数である（奇数でない）。
といふ『対偶』を考へれば、そのまま、
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
といふ「命題」になる。
従って、
（01）（06）により、
（07）
④ 自乗すると偶数になる自然数は偶数である。
といふことを「証明」する際に、わざわざ、
［証明］
０４ ａを任意の自然数を表す変数とし、
０５ ａの自乗が偶数であると仮定する。
《ａが偶数であることを示せばよい。そのためには、ａが偶数でないと仮定して矛盾を示せばよい。》
― 途中省略。―
１５ したがって、ａの自乗が偶数であるならば、ａは偶数である。
《ａは任意の自然数を表す変数である。》
といふ「証明（背理法）」を行ふ「必要」はない。
然るに、
（08）
因みに、
（フェルマーの最終定理。アンドリュー・ワイルズはこうして証明した。楕円曲線と谷山・志村予想。超入門。）
といふのは、「（謎の数学者の）話」を聞く限り、
（１）「フェルマーの最終定理」が「マチガイ」ならば、「谷山・志村予想」も「マチガイ」である。然るに、
（２）「谷山・志村予想」も「マチガイ」ではない。従って、
（３）「フェルマーの最終定理」も「マチガイ」ではない。
といふ、『対偶による証明』のやうである。